1、第二節(jié) 行列式的性質(zhì),性質(zhì)1 將行列式的行、列互換，行列式的值不變。即設(shè),一、行列式的性質(zhì),稱為D的轉(zhuǎn)置行列式。從而有,這條性質(zhì)說(shuō)明行列式的行和列的地位是相同的。也就是說(shuō)，對(duì)“行”成立的性質(zhì)，對(duì)于“列”成立的,性質(zhì)3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k得到行列式D1，等于數(shù)k乘以此行列式。即,性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式反號(hào)。即,推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。,推論2 如果行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零。,推論1 如果行列式中有一行（列）的元素全為零。則此行列式的值為零。,注：行列式如果某一行（列）有公共因子可以提出到行列

2、式外面；,數(shù)乘以行列式相當(dāng)于這個(gè)數(shù)乘到這個(gè)行列式的某一行或列。,性質(zhì)4 如果行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式能描述成兩個(gè)行列式之和。具體如下：,注：如果行列式中某一行（列）的元素都是三數(shù)之和，則此行列式能描述成三個(gè)行列式的和；如果行列式中有k行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則此行列式能描述成2k個(gè)行列式的和。,例題,性質(zhì)五 把行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)k加到另一行（列）的相應(yīng)元素，行列式的值不變。即,例1 設(shè),解答,例題,（性質(zhì)3）,注意,（性質(zhì)4、 性質(zhì)3）,=4,（性質(zhì)2的推論）,例2 計(jì)算行列式,解,=0+0=0,在這五條性質(zhì)中性質(zhì)5使用的頻率比較多，現(xiàn)在我們就

3、看一下它在行列式的計(jì)算中的作用。,零元增多了！,= 4,上三角行列式！,這就是行列式的性質(zhì)的一大應(yīng)用，利用性質(zhì)把非三角行列式化成三角行列式（主要用的是性質(zhì)5）,例3 計(jì)算行列式,解 利用行列式的性質(zhì)，有,例4 計(jì)算n階行列式,分析 此行列式的特點(diǎn)很明顯：每行諸元素之和相等。這種行列式的計(jì)算是通過(guò)其余各行（列）加到某一行（列）上，提出公因子后使得該行（列）各元素為1，再用性質(zhì)化為三角形行列式。,解,這種類型的題比較多。習(xí)作題,例5 計(jì)算n階行列式,解 把行列式的第一行乘以（-1）加到其他各行上去，得,這是個(gè)爪型行列式，對(duì)爪型行列式的求法主要是利用行列式性質(zhì)5將其中的一個(gè)爪子去掉得到三角行列式。,

4、例6 設(shè),證明,例子,這是用兩條線將行列式分成四塊了，其中一塊為0，與0不在同一對(duì)角線上的兩塊必須方塊,證 對(duì),化為下三角形行列式,故,back,例7 計(jì)算,類似的有,這時(shí),這兩種行列式的結(jié)果當(dāng)作結(jié)論來(lái)用，但在使用過(guò)程中首先要學(xué)會(huì)劃分行列式使得某一塊為零。,例8 計(jì)算,解,例9 計(jì)算2n階行列式,解,把D2n中的第2n行依次與第2n-1行、第2行對(duì)調(diào)，再把2n,列依次與第2n-1列、 、第2列對(duì)調(diào)，得,從而，有,遞推公式,這個(gè)例子用的是遞推法求解行列式，這種方法在我們后面的學(xué)習(xí)里會(huì)常遇到。有了遞推公式，我們就可以將較高階的行列式轉(zhuǎn)變?yōu)榍筝^低階行列式的值，減少了計(jì)算量。,另一解法,將行列式中的第1列、第2列、 、第n列乘以