1、弦的橫向振動問題 細(xì)桿的縱向振動問題 波動方程的定解條件,數(shù)學(xué)物理方程, ,物理、力學(xué)、電磁學(xué)、自動化工程、生物工程等領(lǐng)域中,研究某物理量和其它物理量之間的變化關(guān)系。,物理學(xué)中的定律，往往只給出這些函數(shù)和它們的各 階導(dǎo)數(shù)與自變量的關(guān)系。,牛頓第二定律: F = m a a物體加速度;F合外力;m物體質(zhì)量 虎克定律: (1) f = k x; f 彈力;k彈性系數(shù); x彈簧伸長 (2) p = Y ux; Y楊氏模量; ux彈性體相對伸長,單擺的數(shù)學(xué)模型:,一階偏導(dǎo)數(shù):,幾何意義曲線的切線斜率,二元函數(shù): u = u(x, t ),幾何意義曲線曲率近似,二階偏導(dǎo)數(shù):,二階偏導(dǎo)數(shù) 物理意義物體運(yùn)動

2、加速度,弦的橫向振動問題,一根均勻柔軟的細(xì)弦線,一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn),另一端 沿 x 軸拉緊固定在 x 軸上的 L 處，受到擾動，開 始沿 x 軸(平衡位置)作微小橫振動(細(xì)弦線上各 點(diǎn)運(yùn)動方向垂直于x 軸).試建立細(xì)弦線上任意點(diǎn)位移 函數(shù) u(x,t) 所滿足的規(guī)律 .,設(shè)細(xì)弦上各點(diǎn)線密度為, 細(xì)弦上質(zhì)點(diǎn)之間相互作用力為張力T(x，t),水平合力為零 T2 cos 2T1 cos 1 = 0 cos 1cos 2 1 T2T1T,鉛直合力: F=m a T( sin 2sin 1) = ds utt sin 1 tan 1 T( tan 2tan 1) = ds utt,dsdx ,其中,一維

3、波動方程: utt = a2 uxx,考慮有恒外力密度f(x，t)作用時，可以得到一維波動方程的非齊次形式 utt = a2 uxx + f(x, t),T ux(x+dx，t)ux(x，t) = ds utt, utt= a2 uxx,細(xì)桿的縱向振動問題,細(xì)桿縱向振動時，細(xì)桿各點(diǎn)伸縮，質(zhì)點(diǎn)位移 u(x，t) 改變，質(zhì)點(diǎn)位移相對伸長為 ux，截面應(yīng)力 P = Y ux Y 是楊氏模量。截面的張力 T = SP。,均勻細(xì)桿長為L，線密度為，楊氏模量為Y，桿的 一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)，細(xì)桿受到沿桿長方向的擾動 (沿x軸方向的振動)桿上質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù) u(x，t),T(x, t) = SY ux(x, t

4、), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t),SY ux(x+dx, t) ux(x, t) ,用牛頓第二定律 SY ux(x+dx，t)ux(x，t) = S dxutt,令 a2 = Y/?；?，得 utt = a2 uxx,或,由,弦振動問題定解條件,細(xì)弦一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn),另一端固定在 x 軸上的 L 處.受到垂直于 x 軸方向的擾動,作微小橫振動。初始條件包括初始位移和初始速度,u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0,或: u(0,t)=0, u(L,t)=0,初始條件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 或: u(x,

5、0)= (x) , ut(x,0)=g(x),邊界條件表示端點(diǎn)狀態(tài),初始條件表示歷史狀態(tài),波動方程定解條件I,波動方程定解條件II,細(xì)弦的線密度為,一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn),另一端固定在 x 軸上的 L 處.弦的中點(diǎn)受到垂直于 x 軸方向的沖量 I 的作用,作微小橫振動。函數(shù) u(x,t) 表示位移,波動方程定解條件III,細(xì)桿在 x = 0 點(diǎn)固定, 在 x = L 處受外力 F(t) 作用, F(t) SY ux( L , t ) = 0 ,波動方程定解條件IV,弦的一端固定在原點(diǎn),另一端與 x 軸上 L 處的彈簧相接.受到擾動,作上下微小橫振動。,在右端點(diǎn)處(張力=彈性力) : Tux= -Ku,令 =T/K, 得u + uxx=L=0,習(xí)題 2.1（P.22）1、2、3、4,偏微分方程定解條件小結(jié):,第一種情況: 初始條件( 求解區(qū)域為無界區(qū)域 ) 第二種情況: 初邊值條件(求解區(qū)域為有界區(qū)域) 第一類邊界條件: 給定函數(shù)在邊界上的函數(shù)值 第二類邊界條件: 給定函數(shù)在邊界上的導(dǎo)數(shù)值 第三類邊界條件: 給定函數(shù)在邊界上的函數(shù)值和