1、4 最大公因式,5 因式分解,6 重因式,10 多元多項(xiàng)式,11 對稱多項(xiàng)式,3 整除的概念,2 一元多項(xiàng)式,1 數(shù)域,7 多項(xiàng)式函數(shù),9 有理系數(shù)多項(xiàng)式,8 復(fù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 的因式分解,第一章 多項(xiàng)式,一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,1.8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù) 多項(xiàng)式的因式分解,1. 代數(shù)基本定理,一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,若 則 在復(fù)數(shù)域,上必有一根,推論1,使,推論2,復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式，即,則 可約,2. 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理,若 則 在復(fù)數(shù)域,上可唯一分解成一次因式的乘積,推論1,推論2,若 則 在,其中 是不同的復(fù)數(shù)，,上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式,復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）,若

2、，則 有n個(gè),二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,命題：若 是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 的復(fù)根，則 的共軛復(fù)數(shù) 也是 的復(fù)根,若 為根，則,兩邊取共軛有, 也是為 復(fù)根,證：,設(shè),實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理,，若 ， 則 可唯一 地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積,證：對 的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納, 時(shí)，結(jié)論顯然成立., 假設(shè)對次數(shù)n的多項(xiàng)式結(jié)論成立,設(shè) ，由代數(shù)基本定理, 有一復(fù)根 ,若 為實(shí)數(shù), 則 ，其中,若 不為實(shí)數(shù)，則 也是 的復(fù)根，于是,設(shè) ，則,即在R上 是 一個(gè)二次不可約多項(xiàng)式,從而,由歸納假設(shè) 、 可分解成一次因式與二次,不可約多項(xiàng)式的乘積,由歸納原理，定理得證,在R上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式,推論1,其中,且 ，即 為,R上的不可約多項(xiàng)式.,推論2,實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式和某些二,例2. 求 在 上與在 上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.,1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) 有n個(gè)復(fù)根，,次不可約多項(xiàng)式，所有次數(shù)3的多項(xiàng)式皆可約.,解：,例1.已知 是方程,的一個(gè)根