1、網(wǎng)絡(luò)游戲開發(fā)DirectX,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),四元數(shù) 圖形幾何變換,四元數(shù) 圖形幾何變換,四元數(shù),掌握四元數(shù)的相關(guān)運算 掌握圖形幾何變換的概念及數(shù)學(xué)實現(xiàn),1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 1復(fù)數(shù),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),復(fù)數(shù)是由實部和虛部組成的。,復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的幾何表示為。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 1復(fù)數(shù),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),復(fù)數(shù)的運算有9種方式。,復(fù)數(shù)的范數(shù),復(fù)數(shù)的范數(shù)可以看作表示復(fù)數(shù)的向量的模。,復(fù)數(shù)與標(biāo)量相乘/除,符合乘法分配律，實部與虛部分別進行乘除運算。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 1復(fù)數(shù),第1章

2、計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),復(fù)數(shù)加法與減法,實部與實部相加減，虛部與虛部相加減。,復(fù)數(shù)加法恒等元,任何復(fù)數(shù)相加，結(jié)果仍為該復(fù)數(shù)，表示為(0+0*i)。,復(fù)數(shù)加法逆元素,任何復(fù)數(shù)與其加法逆元素相加，結(jié)果為復(fù)數(shù)加法恒等元。z=(a+b*i) 的加法逆元素為z*=（-a-b*i）。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 1復(fù)數(shù),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),共軛復(fù)數(shù),當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。在幾何意義上，復(fù)平面內(nèi)兩個互為共軛復(fù)數(shù)的點關(guān)于實軸對稱。,復(fù)數(shù)乘法,用一個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別去乘另一個復(fù)數(shù)的實部和虛部，把結(jié)果相加。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 1復(fù)數(shù)

3、,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),復(fù)數(shù)除法,需要把除數(shù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)進行。,復(fù)數(shù)與其倒數(shù),復(fù)數(shù)的倒數(shù)和復(fù)數(shù)本身相乘，結(jié)果為1。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 2四元數(shù),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),四元數(shù)的概念,四元數(shù)（quaternion）是由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓（William Rowan Hamilton）于1843年發(fā)明的。四元數(shù)并不代表現(xiàn)實世界的任何東西，只在數(shù)學(xué)意義上存在。,四元數(shù)本身可視為是在復(fù)數(shù)基礎(chǔ)上的拓展?？煞Q為是超復(fù)數(shù)（hyper-complex number）。四元數(shù)是指有一個實部和3個虛部的復(fù)數(shù)。,也可表示為,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 2四元數(shù),第1章 計算

4、機圖形學(xué)基礎(chǔ),四元數(shù)的概念,虛數(shù)基（i,j,k）可以看作是虛擬坐標(biāo)系中3個相互垂直的單位向量，并且滿足下面的關(guān)系。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 2四元數(shù),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),四元數(shù)的范數(shù),四元數(shù)的運算和復(fù)數(shù)運算相似。,四元數(shù)加法與減法,加法逆元素,和原四元數(shù)相加，結(jié)果為0的四元數(shù)。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 2四元數(shù),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),加法恒等元,四元數(shù)乘法,用向量的形式表示為。,和任意四元數(shù)相加，結(jié)果仍為該四元數(shù)的四元數(shù)。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 2四元數(shù),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),乘法恒等元,實部相等，虛部各分量均相反的兩個四元

5、數(shù)互為共軛四元數(shù)。,共軛四元數(shù),相當(dāng)于數(shù)學(xué)意義上的1。,1.2 線性代數(shù)基礎(chǔ) 1.2.3 四元數(shù) 2四元數(shù),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),單位四元數(shù),四元數(shù)乘以它的倒數(shù)結(jié)果應(yīng)為1。,四元數(shù)的倒數(shù),模為1的四元數(shù)，可以用三角函數(shù)的形式表示。,1.3 圖形幾何變換 1.3.1 齊次坐標(biāo),第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),由n+1維向量表示一個n維向量。,使用齊次坐標(biāo)的優(yōu)勢在于： 1）提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標(biāo)系變換到另一個坐標(biāo)系的有效方法。 2）可以表示無窮遠(yuǎn)點。例如，n+1維中，h=0的齊次坐標(biāo)實際上表示了一個n維的無窮遠(yuǎn)點，可以進行點的投影。,1.3 圖形幾何變換 1.

6、3.2 基本變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),在計算機圖形學(xué)中，用矩陣T表示一個平移矩陣，三維坐標(biāo)系下，T是一個44的矩陣。,平移變換,1.3 圖形幾何變換 1.3.2 基本變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),向量沒有位置屬性，因此，向量的平移變換沒有意義。,平移變換,平移矩陣的逆矩陣可以表示為：,1.3 圖形幾何變換 1.3.2 基本變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),旋轉(zhuǎn)變換保持圖形各部分之間的線性關(guān)系和角度關(guān)系，變換后物體的形狀不會發(fā)生改變。 在計算機圖形學(xué)中，用矩陣R來表示一個旋轉(zhuǎn)矩陣，三維坐標(biāo)系下，R是一個44的矩陣。,旋轉(zhuǎn)變換,繞x軸旋轉(zhuǎn),1.3 圖形幾何變換 1.3.2 基本變換,第1章

7、計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),旋轉(zhuǎn)變換,繞z軸旋轉(zhuǎn),繞y軸旋轉(zhuǎn),1.3 圖形幾何變換 1.3.2 基本變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),點的旋轉(zhuǎn)變換就是點向量與矩陣相乘。,旋轉(zhuǎn)變換,對于繞任意軸旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)矩陣R，從中取出與旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)的33的子矩陣，可以計算出其對角元素之和是一個與坐標(biāo)軸無關(guān)的常數(shù)，稱為跡（Trace）：,1.3 圖形幾何變換 1.3.2 基本變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),在計算機圖形學(xué)中，用矩陣S來表示一個縮放矩陣，三維坐標(biāo)系下，S是一個44的矩陣。,縮放變換,如果對縮放矩陣的縮放因子s的一個或者3個分量置負(fù)，就會產(chǎn)生一個反射矩陣（Reflective Matrux），或者稱為鏡像矩

8、陣（Mirror Matrix）。如果其中兩個因子是-1，將會旋轉(zhuǎn)180度。,1.3 圖形幾何變換 1.3.2 基本變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),可以把多個變換矩陣組合起來，稱為變換級聯(lián),變換級聯(lián),進行組合變換時，組合變換的矩陣為各個變換矩陣的乘積。由于矩陣乘法運算不滿足乘法交換律，因此，矩陣相乘的先后順序會直接影響最終結(jié)果。 通常情況下，變換時先進行縮放，再進行旋轉(zhuǎn)，最后平移。,1.3 圖形幾何變換 1.3.2 基本變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),把一個點恢復(fù)為原狀，可以用變換后的點乘以變換矩陣的逆矩陣。,逆矩陣,1）旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣： 。 2）如果矩陣是單個變換，可以直接按

9、照各自的逆矩陣規(guī)則計算出相應(yīng)的逆矩陣。 3）如果矩陣是組合矩陣，可以通過計算得到其逆矩陣。,1.3 圖形幾何變換 1.3.3 特殊變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),歐拉變換是一種非常直觀的方式，主要用來構(gòu)造一個自定位（如攝像機）或者使任何實體處于特定方向的矩陣，其命名源于瑞典的著名數(shù)學(xué)家Euler Leonard。,歐拉變換,1.3 圖形幾何變換 1.3.3 特殊變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),歐拉變換是繞3個旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積。,歐拉變換,繞x軸旋轉(zhuǎn)的角稱為傾斜角（pitch），繞y軸旋轉(zhuǎn)的角稱為翻滾角（head，在飛行模擬中稱為偏轉(zhuǎn)角yaw），繞z軸旋轉(zhuǎn)的角稱為搖擺角（roll）。,歐拉

10、角的局限性在于： 1）歐拉變換的順序不能交換； 2）歐拉角會產(chǎn)生萬向節(jié)死鎖（GimbalLock）現(xiàn)象。,1.3 圖形幾何變換 1.3.3 特殊變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),單位四元數(shù)可以用來表示繞任意軸的旋轉(zhuǎn)。,四元數(shù)變換,旋轉(zhuǎn)軸為uq，旋轉(zhuǎn)角度為2。,1.3 圖形幾何變換 1.3.3 特殊變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),四元數(shù)轉(zhuǎn)換為矩陣。,四元數(shù)變換,矩陣轉(zhuǎn)換為四元數(shù)。,1.3 圖形幾何變換 1.3.4 投影變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),平行投影使用一組平行投影線將投影對象投影到投影面。,平行投影,投影對象與投影平面的距離不會影響到投影對象的投影結(jié)果大小。,1.3 圖形幾何變換 1.3

11、.4 投影變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),平行投影分為兩種。,平行投影,正交平行投影的投影線與投影平面成90角。,正交平行投影,1.3 圖形幾何變換 1.3.4 投影變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),平行投影,斜交平行投影的投影線與投影面成交角。,斜交平行投影,1.3 圖形幾何變換 1.3.4 投影變換,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),透視投影,透視投影使用一組由投影中心產(chǎn)生的放射投影線，將三維對象投影到投影平面上去。,小結(jié)（理論課）,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),圖形學(xué)相關(guān)的線型代數(shù)知識： 四元數(shù)及其運算 圖形幾何變換 平移 旋轉(zhuǎn) 縮放 投影 四元數(shù)相關(guān)變換 歐拉變換,小測驗（題目部分）,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),選擇題（單選題） 1下面的變換中，哪種是不可逆的？（ ） A平移 B旋轉(zhuǎn) C縮放 D投影 判斷題 2三維坐標(biāo)系中，圖形的變換矩陣都是44的方陣。（ ） 3使用四元數(shù)進行旋轉(zhuǎn)變換，容易引起萬向節(jié)死鎖問題。（ ）,小測驗（答案部分）,第1章 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ),選擇題（單選題） 1下面的變換中，哪種是不可逆的