1、第三課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式專題,專題概述,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,常作為解答題的一問(wèn)出現(xiàn),難度較大,解決此類問(wèn)題一般是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)單調(diào)性或最值問(wèn)題解決.,考點(diǎn)一 構(gòu)造函數(shù)證明不等式(高頻考點(diǎn)),考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí),考查角度1:移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式 高考掃描:2016高考新課標(biāo)全國(guó)卷,2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷. 【例1】 (2016全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1. (1)討論f(x)的單調(diào)性;,(3)設(shè)c1,證明當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx.,反思?xì)w納 當(dāng)不等式左、右兩邊都含有自變量時(shí),可以移項(xiàng)后構(gòu)造函數(shù),證明所構(gòu)造函數(shù)的最值

2、與0的大小關(guān)系.常見(jiàn)方法是:若證明f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立,則構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或最值,證明h(x)0.,考查角度2:最值轉(zhuǎn)化法證明不等式 【例2】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702120 已知f(x)=xln x-ax,g(x)=-x2-2. (1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間m,m+3(m0)上的最值;,考查角度3:變形轉(zhuǎn)化后證明不等式,構(gòu)造函數(shù)證明與函數(shù)零點(diǎn)(方程根)有關(guān)的不等式,考點(diǎn)二,(2)若方程f(x)=a有兩個(gè)根x1,x2(x12a.,反思?xì)w納 若函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)是x0,且x1,x2是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),則關(guān)于x1,x2,x0的不等

3、式常用證明方法如下: (1)構(gòu)造一元函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x); (2)求F(x),確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性; (3)結(jié)合F(0)=0判斷F(x)的符號(hào),確定f(x0+x)與f(x0-x)的大小關(guān)系; (4)結(jié)合y=f(x)的單調(diào)性確定x1+x2與x0的大小關(guān)系.,【即時(shí)訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=xe-x(xR). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;,(1)解:f(x)=(1-x)e-x.令f(x)=0,解得x=1.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+). 函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)

4、,且f(1)= ,無(wú)極小值.,(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,證明當(dāng)x1時(shí),f(x)g(x);,(2)證明:由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2. 令F(x)=f(x)-g(x)=xe-x+(x-2)ex-2. 于是F(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x. 當(dāng)x1時(shí),2x-20,從而e2x-2-10. 又e-x0,所以F(x)0,從而函數(shù)F(x)在1,+)上是增函數(shù). 又F(1)=e-1-e-1=0,所以x1時(shí),有F(x)F(1)=0, 即f(x)g(x).,(3)如果x1x2,且f(x1)=f(x2),證明x1+x

5、22.,(3)證明:因?yàn)閒(x1)=f(x2)且x1x2, 設(shè)x10,知x11. 由(2)可知, f(x2)g(x2),g(x2)=f(2-x2), 所以f(x2)f(2-x2),從而f(x1)f(2-x2). 因?yàn)閤21,所以2-x22-x2,即x1+x22.,賦值法證明正整數(shù)不等式,考點(diǎn)三,【例5】 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702123 若函數(shù)f(x)=ex-ax-1(a0)在x=0處取極值. (1)求a的值,并判斷該極值是函數(shù)最大值還是最小值;,(1)解:因?yàn)閤=0是函數(shù)極值點(diǎn),所以f(0)=0, 所以a=1. f(x)=ex-x-1,易知f(x)=ex-1. 當(dāng)x(0,+)時(shí),f(x)0,當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)0, 故極值f(0)是函數(shù)最小值.,反思?xì)w納 (1)函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式,其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式,證明此類問(wèn)題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式,用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量.通過(guò)多次求和達(dá)到證明的目的.此類問(wèn)題一般至少2個(gè)問(wèn)號(hào),已知的不等式常由第一個(gè)問(wèn)號(hào)根據(jù)待證式的特征而得到. (2)已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式),而待證不等式為與對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式(或與指數(shù)有關(guān)的不等式),還要注意指、對(duì)數(shù)式的互化,如exx