1、4.2 根軌跡繪制的基本法則,7. 根軌跡的分離點和會合點,根軌跡在復平面上的某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。,分離點,會合點,這個點對應于特 征方程的二重根,在下圖畫出了兩條根軌跡。a點叫做分離點，b點叫做會合點。它們表示當時，特征方程式會出現(xiàn)重根。,分離點會合點判別：,實軸上相鄰開環(huán)極點之間是根軌跡必有分離點 實軸上相鄰開環(huán)零點之間是根軌跡必有會合點,實軸上開環(huán)零點、極點之間是根軌跡，可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點,基于代數(shù)重根法則，如果方程 f(x)=0有重根，則f (x)=0的根也是f(x)=0的根。,分離點會合點求?。?重根法：,聯(lián)立求解上述兩個方程

2、，得出分離點公式,例：已知,解：,補充：分離點方程式,解出sd是分離點坐標,若無零點，右端等于0,例4-6 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求根軌跡在實軸上的分離點。 解：（一）用重根法求分離點 D（s）s（s1）（s2）；N（s）1，故 D（s）3s26s2；N（s）0 利用 D(s)N(s) - N(s)D(s)=0 3s2+6s+2=0 解之，得 s10.423，s21.577,本題的實軸根軌跡區(qū)間為：（ ，2和1，0， 故分離點只有一個。因s2不在根軌跡區(qū)間，也就不可能是分離點，故分離點必落在s1處。 解：（二）,分離點方程為,即,解之，得 s10.423，s21.577(舍),分離角

3、,分離角：分離點處根軌跡的切線與正實軸的夾角,8. 根軌跡的出射角和入射角,根軌跡的出射角是指起始于開環(huán)極點的根軌跡在起點處的切線與正實軸的夾角。用a 表示 根軌跡的入射角是指終止于開環(huán)零點的根軌跡在終點處的切線與正實軸的夾角。用b表示,8. 根軌跡的出射角和入射角,根軌跡離開共軛復數(shù)極點的出發(fā)角 稱為出射角 根軌跡趨于共軛復數(shù)零點的終止角 稱為入射角,入射角,出射角,出射角為,入射角為,例4-11：已知開環(huán)傳遞函數(shù)零極點分布圖，試確定根軌跡的出射角。,解：,9. 根軌跡與虛軸的交點,利用勞斯判據(jù) 令s=j代入閉環(huán)特征方程,交點處的增益稱為臨界根軌跡增益，用Kgp表示,例4-12：已知系統(tǒng)的開

4、環(huán)傳函，試求其根軌跡與虛軸的交點。,解：,（1）閉環(huán)特征方程,（2）用勞斯判據(jù)計算交點和臨界放大系數(shù),勞斯表,特征方程,在第一列中，令 行等于零，則得臨界放大系數(shù) 根軌跡與虛軸的交點可根據(jù) 行的輔助方程求得，即 即得根軌跡與虛軸的交點為,設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 開環(huán)極點之和為,10. 閉環(huán)極點的和與積,閉環(huán)極點之和為,閉環(huán)極點之積為,且n-m2有：,當 n-m2 時，閉環(huán)極點之和等于開 環(huán)極點之和且為常數(shù),閉環(huán)極點之積和開環(huán)零極點關(guān)系為,例4-13 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 根軌跡與虛軸的交點已在例4-10中求得，為 試尋找其相應的第三個閉環(huán)極點，并求出交點處的臨界增益Kgp。 解: 本例的閉

5、環(huán)特征方程為 或,是三階方程，應有3個閉環(huán)極點。閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，即 所以,為求取臨界增益Kgp，可引用式（4-34）所描述的閉環(huán)極點之積的關(guān)系。在本例中，c0Kg，故 即 即Kgp6。其結(jié)果與例4-10相同。,（1）起點（ ）。開環(huán)傳遞函數(shù)的極點即根軌跡的起點。 （2）終點（ ）。根軌跡的終點即開環(huán)傳遞函數(shù)的零點（包括 m 個有限零點和（n-m）個無限零點）。 （3）根軌跡數(shù)目及對稱性。根軌跡分支數(shù)目為 ，根軌跡對稱于實軸。 （4）實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的零點、極點之和應是奇數(shù)。,根軌跡繪制法則歸納如下：,（5）分離點與會合點。滿足方程,（6）根軌跡的漸近線。 漸近線的

6、傾角,漸近線交點,（8）根軌跡與虛軸交點。把 代入特征方程式 ，即可解出交點處的臨界 值和交點坐標。,入射角,出射角,（7）根軌跡的出射角與入射角,a =180(2k+1)+ - b=180(2k+1) + -,4.3 控制系統(tǒng)根軌跡繪制,1. 單回路控制系統(tǒng)根軌跡的繪制,例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為,試繪制閉環(huán)根軌跡。,圓心在開環(huán)零點，圓的半徑,例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為,試繪制閉環(huán)根軌跡。,解:,分支數(shù) 起點 終點 實軸上的根軌跡,漸近線 分離點會合點 出射、入射角 與虛軸的交點,例 4-14 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s)=Kg / s (s+1) (s+2) 試繪制系統(tǒng)的根軌

7、跡圖。 解： 求根軌跡的步驟如下： （1）根軌跡對稱于實軸。 （2）本系統(tǒng)n=3,m=0,因此根軌跡共 有三條分支，起點為系統(tǒng)的開環(huán)極點 0，-1，-2。終點都趨向于無窮遠處。,Kg/s(s+1)(s+2),C(s),R(s),-,圖4-10,（3）實軸上的根軌跡分布在0與-1之間，以及-2的左方。如圖所示。,圖4-11 根軌跡及其漸近線,（4）由于n-m=3，故漸近線有三條。 漸近線的傾角=180（2k+1）/3,令k=0,1,2，得 =60， 180； 漸近線的截距-a= （0-1-2）/3=-1。 （5）由圖可出，由于實軸-1和0兩個開環(huán)極點之間存在根軌 跡，故-10間必有分離點，在例4

8、-6中已求得分離點在 實軸上-0.42處。 （6）因在-0.42處共有兩條軌跡會合后分離，故按 d =180l 可求得分離角d =90 （7）根軌跡與虛軸的交點：在例4-10中已求出為s1=j =j1.414，該點對應的Kgp=6。,解之，得 s10.423，s21.577(舍),令s=j代入閉環(huán)特征方程 （8）應用幅值條件確定相應根軌跡的Kg值。例如，求分離點的Kg值。 完整的根軌跡如圖4-11所示。,2. 參量根軌跡的繪制,系統(tǒng)開環(huán)傳函中除 Kg 外其余參數(shù)發(fā)生變化時閉環(huán)特征方程的根變化的軌跡為參量根軌跡。,例 控制系統(tǒng)如圖所示，當Kg =4時，試繪制 開環(huán)極點 p 變化時參量根軌跡。,重

9、點：寫出等效開環(huán)傳遞函數(shù),解:,由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效開環(huán)傳函,繪制參量根軌跡的步驟,寫出原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。,以特征方程中不含參量的各項除特征方程，得系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，該方程 中原系統(tǒng)的參量即為等效系統(tǒng)的根軌跡 增益。,繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。,例 4-15 已知具有測速發(fā)電機反饋的控制系統(tǒng)如圖4-16a所示。試繪出速度反饋系數(shù)由0變化時的根軌跡。,解：本題是關(guān)于繪制的參量根軌跡的問題。先將圖a作結(jié)構(gòu)圖等效變換成圖b的單回路形式 再按圖b得出開環(huán)傳遞函數(shù)為 Gk(s)=G(s)H(s)=5(1+s)/s(5s+1) 由此得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 s(5s+1)+

10、5(1+s)=0 將特征方程化簡整理成是否包含的兩大部分,3. 正反饋系統(tǒng)的根軌跡的繪制,閉環(huán)傳函,閉環(huán)特征方程,正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程,實軸上的根軌跡,漸近線與實軸的 夾角,出射角、入射角,注釋：負反饋系統(tǒng)的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡或180根軌跡 正反饋系統(tǒng)的根軌跡稱為零度根軌跡,繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡時，前面介紹過的10條法則中，有3條與相角方程有關(guān)的法則，要作如下相應的修改，其余7條法則對正、負反饋系統(tǒng)則是相同的。 （1）實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡區(qū)段的右側(cè)實軸上，開環(huán)零點和極點數(shù)目之和應為偶數(shù)。 （2）根軌跡的漸近線： 漸近線與實軸的交點a常規(guī)根軌跡相同 漸近線與正實軸的夾角應改為 =

11、1802k / (n - m) k=0,1,2,(3)根軌跡的出射角和入射角： 離開開環(huán)極點-pa 時的出射角改為 a= - 離開開環(huán)零點-zb 時的入射角改為 b= -,正反饋系統(tǒng)的根軌跡與負反饋系統(tǒng)的根軌跡是互補的,例4-20 設單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制Kg由 變化時的根軌跡。 解：根據(jù)正反饋系統(tǒng)根軌跡的有關(guān)法則知： （1）系統(tǒng)有1個零點-z=-2，2個極點-p1,2=-1j。 共有2條根軌跡分支，由-p1,2出發(fā)。 （2）在開環(huán)復數(shù)極點-p1上根軌跡的出射角按式（4-52）得 同理，-p2上根軌跡的出射角為,（3）求根軌跡在實軸上的會合點 令 計算N(S)D(S)-N(S)D(S)=0，得 (s2+2s+2)-(s+2)(2s+2)=0 經(jīng)整理后有 S2+4s+2=0 解之得 s1,2=-0.59, -3.41（舍去）