1、第六節(jié) 空間直角坐標系,基礎(chǔ)梳理,1. 空間直角坐標系及有關(guān)概念,(1)空間直角坐標系:從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸,就建立了空間直角坐標系O-xyz,其中點O叫做 ,x軸、y軸、z軸叫做 ,這三條坐標軸中每兩條確定一個 ,分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面.,(2)右手直角坐標系 在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,若中指指向 的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,坐標平面,x軸,y軸,z軸,(3)空間直角坐標系中的坐標 空間任意一點A的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫

2、做點A的 ,記作 .,2. 空間中兩點間的距離公式 空間中的兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離 ,特別地,空間任一點P(x,y,z)與原點O的距離 .,坐標,A(x,y,z),典例分析,題型一 空間中點的坐標的確定 【例1】設(shè)正四棱錐S-P1P2P3P4的所有棱長均為a,建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求點S、P1、P2、P3和P4的坐標.,分析 建立適當?shù)目臻g直角坐標系，以各點的坐標表示簡單方便為宜.,解 正四棱錐S-P1P2P3P4如圖所示,其中O為底面正方形的中心, P1P2Oy軸,P1P4Ox軸,SO在Oz軸上. d(P1,P2)=a,而P1、P2、P3、P4均

3、在xOy平面上, 在xOy平面內(nèi),P3與P1關(guān)于原點O對稱,P4與P2關(guān)于原點O對稱, 又d(S,P1)=a,d(O,P1)= , 在RtSOP1中,d(S,O)= , S(0,0, ).,學后反思 （1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，必須牢牢抓住相交于同一點的兩兩垂直的三條直線，如底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一個頂點為原點建系;底面是菱形的直四棱柱，以對角線的交點為原點建系.本例是正四棱錐，以底面中心為原點建系. （2）要盡量把空間點建在坐標軸上，或某一個坐標平面內(nèi)，使其坐標書寫簡單、方便，便于運算.,舉一反三 1. 如圖，長方體OABCOABC中，OA=3，OC=4，OO=3,AC與BO相

4、交于點P，則點C,B,P的坐標分別為 , , .,答案： (0,4,0)(3,4,3)( ,2,3),題型二 空間中點的對稱問題 【例2】已知ABCD為平行四邊形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求頂點D的坐標.,解 平行四邊形對角線互相平分, AC的中點即為BD的中點. 設(shè)D(x,y,z),又AC的中點O( ,4,-1), 則 x=5,y=13,z=-3. 故D(5,13,-3).,分析 本題考查空間中點的坐標的計算公式.,學后反思 注意分清線段的端點與中點.,2. 已知點C為線段AB的中點,且A(1,0,-1),C(2,2,-3).求點B的坐標.,舉一反三,解析

5、： 設(shè)B(x,y,z), 則 , x=3,y=4,z=-5,B(3,4,-5).,題型三 空間中兩點的距離公式 【例3】（14分）正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0a ). (1)求MN的長度; (2)當a為何值時，MN的長度最短？,分析 建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間兩點間的距離公式求解.,解 (1)平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,ABBE, BE平面ABCD.4 AB，BC，BE兩兩垂直, 故以B為原點，以BA，BE，BC所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立如圖

6、所示的空間直角坐標系.7 則 , ,. 10 .12 (2)由(1)可知當a= 時，|MN|最短為 .14,學后反思 考慮到所給幾何圖形中出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線，所以可以以此建立空間直角坐標系，通過點的坐標，利用兩點間的距離公式求得線段MN的長度，并利用二次函數(shù)的最值，求出線段MN的長度的最小值，體現(xiàn)了空間直角坐標系這一重要工具的應(yīng)用.,3. 空間坐標系中,A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),求AB的最小值.,舉一反三,解析： 當t= 時,等號成立,即AB的最小值為 .,考點演練,10. 已知A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)，aR，求|AB|的最小值.,解析： 當a=-1時，,11. 如圖,正方體邊長為1,以正方體的三條棱所在的直線為坐標軸,建立空間直角坐標系O xyz,點P在正方體的對角線AB上,點Q在正方體的棱CD上.當點P為對角線AB的中點,點Q在棱CD上運動時,求PQ的最小值.,解析: 由題意知,點P的坐標為 設(shè)Q的坐標為(0,1,z),其中0z1, 則 所以當z= 時, 有最小值 , 從而PQ有最小值 .,12. 如圖所示，已知PA平面ABCD,ABCD為矩形，M、N分別是AB、