1、一、頻率 二、概率 三、概率的性質(zhì) 四、古典概率的計(jì)算 五、幾何概率,第2講 概率的定義、古典概率,第2講 概率的定義、古典概率,一、頻率,1. 頻率的定義 定義1：在相同的條件下，進(jìn)行了n 次試驗(yàn)，在這n 次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù) nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù). 比值nA /n稱為事件A發(fā)生的頻率，記為fn(A)，即 fn (A)= nA /n.,歷史上曾有人做過試驗(yàn)，試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。,實(shí)例1 Dewey G. 統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語單詞中各字母出現(xiàn)的頻率， 發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.03

2、89 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,頻率穩(wěn)定性的實(shí)例,實(shí)例2 近百年世界重大地震.其中“重大”的標(biāo)準(zhǔn)： 震級(jí)7級(jí)左右；死亡5000人以上.,世界每年發(fā)生大地震頻率約為14%,實(shí)例2 近百年世

3、界重大地震.其中“重大”的標(biāo)準(zhǔn)： 震級(jí)7級(jí)左右；死亡5000人以上.,世界性大流感發(fā)生頻率1/401/30,1918年 西班牙型流感 H1N1 亞型 1957年 亞洲型流感 H2N2 亞型 1968年 中國香港型流感 H3N2 亞型 1997年 中國香港型流感 H5N1 亞型,實(shí)例3 近百年世界重大流感,4億人感染 5000萬人死亡 20天傳遍美國 半年席卷全球,李宇春,周筆暢,張靚穎,3528308票,3270840票,1353906票,實(shí)例4 2005年8月26日“超女”決賽,手機(jī)投票總數(shù) 8153054,李宇春 得票頻率 43.27%,周筆暢 得票頻率 40.12%,張靚穎 得票頻率 1

4、6.61%,得票頻率可被視為獲勝概率,實(shí)例5 將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次，各做7遍觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.,波 動(dòng) 最 小,隨n的增大，頻率f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,在1/2處波動(dòng)較大,在1/2處波動(dòng)較小,結(jié)論 （1）頻率有隨機(jī)波動(dòng)性，即對(duì)于同樣的n，所得的 fn(H)不一定相同； （2）拋硬幣次數(shù)n較小時(shí)，頻率fn(H) 的隨機(jī)波動(dòng)幅度較大，但隨n的增大， 頻率fn(H)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n逐漸增大時(shí)頻率fn(H) 總是在0.5附近擺動(dòng)，而逐漸穩(wěn)定 于0.5.,一、頻率,1. 頻率的定義 2. 頻率的性質(zhì),(1) 非負(fù)型：0 fn(A) 1； (2) 規(guī)范性：fn(S)1； fn( )=

5、0； (3) 可加性：若AB ，則 fn(AB) fn(A) fn(B).,第2講 概率的定義、古典概率,可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件,二、概率,定義 將隨機(jī)試驗(yàn)E重復(fù)作n次，其中事件A出現(xiàn)nA次,則事件A發(fā)生的頻率為 若當(dāng)n較大時(shí)，頻率在某一個(gè)數(shù)p附近波動(dòng)，則稱p數(shù)為事件A在試驗(yàn)E下的 統(tǒng)計(jì)概率.記作P(A)=p.,1.概率的統(tǒng)計(jì)定義,優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂,缺點(diǎn)：粗糙 模糊,不便 使用,說明 1) 一般用頻率作為概率的近似值，這個(gè)定義并不要求所做的試驗(yàn)屬于古典模型，因此便于在實(shí)際中應(yīng)用，但要得到比較準(zhǔn)確的概率近似值，需要做大量的重復(fù) 試驗(yàn).,2) 頻率當(dāng)n較小時(shí)波動(dòng)幅度比較大，當(dāng)n逐漸增大

6、時(shí)，頻率趨于穩(wěn)定值，這個(gè)從本質(zhì)上反映事件在試驗(yàn)中出 現(xiàn)可能性大小的穩(wěn)定值就是事件的統(tǒng)計(jì)概率.,如果事件 兩兩互不相容，則,可列可加性,二、概率的定義,1.概率的統(tǒng)計(jì)定義,2.概率的公理化定義,一、頻率 二、概率 三、概率的性質(zhì),第2講 概率的定義、古典概率,證 設(shè),由概率的可列可加性得,顯然,一、頻率 二、概率 三、概率的性質(zhì),第2講 概率的定義、古典概率,證 取,由概率的可列可加性得,3. 設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且AB，則,證,證,4. 對(duì)任意一個(gè)隨機(jī)事件A，則,5. 對(duì)任意一個(gè)隨機(jī)事件A，則,證,6.加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有,證,A,AB B,由圖可得,又由性質(zhì)3得,因此得

7、,推廣 三個(gè)事件和的情況,n個(gè)事件和的情況,右端共有 項(xiàng).,解 設(shè)A=小王能答出甲類問題, B=小王能答出乙類問題.,(1),(2),(3),例1 小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2,兩類問題都能答出的概率為0.1.求 (1)小王答出甲類而答不出乙類問題的概率；(2)小王至少有一類問題能答出的概率；(3)兩類問題小 王都答不出的概率.,例2 設(shè)A , B滿足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何條件下，P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 時(shí)取得., 最小值, 最大值,最大值在 時(shí)取得.,例2 中回答

8、當(dāng) 時(shí), 取得最小值是否 正確？,這相當(dāng)于問如下命題是否成立,答：不成立 ！,式是“羊肉包子打狗 ”有去路,沒回路,為什么呢？學(xué)了幾何概型便會(huì)明白.,一、頻率 二、概率 三、概率的性質(zhì) 四、古典概率的計(jì)算,第2講 概率的定義、古典概率,四、古典概率的計(jì)算,定義 如果隨機(jī)試驗(yàn)E 具有下列特點(diǎn)： (1) 樣本空間包含的基本事件的總數(shù)是有限個(gè)； (2) 每個(gè)基本事件等可能的發(fā)生. 則稱E 為古典(等可能)概型,設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個(gè)事件，且包含m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率 記為:,計(jì)算公式,例3 （無放回地摸球）設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只

9、球，求這2只球都是白球的 概率.,樣本空間包含的基本事件總數(shù)為,A所包含基本事件的總數(shù)為,解,，由已知條件,例4（有放回地摸球）設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球，現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次，求前2次摸到黑球、第3 次摸到紅球的概率.,解 A=前2次摸到黑球、第3 次摸到紅球,第1次摸到黑球,第1次摸球,6種,第3次摸到紅球,4種,例5 把4個(gè)球放到3個(gè)杯子中去,求第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率, 其中假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球.,4個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法,因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為,解,例6 在房間里有10個(gè)人，分別佩戴從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章 ， 任選3個(gè)記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼. （1）

10、求最小號(hào)碼為5的概率； （2）求最大號(hào)碼為5的概率.,解 設(shè)A=任選3個(gè)記錄其紀(jì)念章最小號(hào)碼為5,B=任選3個(gè)記錄其紀(jì)念章最大號(hào)碼為5.,由已知條件,所求概率分別為,解 設(shè)A=第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球,由已知條件,例7 把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去，每個(gè)杯子只能放一個(gè)球，求第1至第4個(gè)杯子中各放一個(gè)球的概率.,所以,例8 在1-2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少?,解 設(shè)A=取到的數(shù)能被6整除，B=取到的數(shù)能被8整除。,故所求概率為,由已知條件,例9（分房模型）設(shè)有k個(gè)不同的球,每個(gè)球等可能地落入N個(gè)盒子中（ ）,設(shè)每個(gè)盒子容球數(shù)無限,求 下

11、列事件的概率: （1）某指定的k個(gè)盒子中各有一球； （2）某指定的一個(gè)盒子恰有m個(gè)球( ); （3）某指定的一個(gè)盒子沒有球； （4）恰有k個(gè)盒子中各有一球； （5）至少有兩個(gè)球在同一盒子中； （6）每個(gè)盒子至多有一個(gè)球.,解,設(shè)(1)(6)的各事件分別為 ，則,假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.,64個(gè)人生日各不相同的概率為,故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為,解,分房模型的應(yīng)用,1o 明確所作的試驗(yàn)是等可能概型,有時(shí)需設(shè)計(jì)符合問題要求的隨機(jī)試驗(yàn), 使其成為等可能概型.,3o 計(jì)算古典概率時(shí)須注意應(yīng)用概率計(jì)算的有關(guān)公

12、式, 將復(fù)雜問題簡單化. 如例9.,2o 樣本空間包含的基本事件總數(shù)隨試驗(yàn)設(shè)計(jì)的不同而不同，一般樣本空間包含的基本事件總數(shù)越小越好.,若P(A) 0.01, 則稱A為小概率事件.,小概率事件,一次試驗(yàn)中小概率事件一般是不會(huì)發(fā)生的. 若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.,小概率原理,( 即實(shí)際推斷原理 ),例10 區(qū)長辦公室在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.,解 假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么12次接待來訪者都是在周二、周四的概率為,小概率事件在實(shí)際中幾乎

13、是不可能發(fā)生的，從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.,一、頻率 二、概率 三、概率的性質(zhì) 四、古典概率的計(jì)算 五、幾何概率,第2講 概率的定義、古典概率,五、幾何概率,定義 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量（長度，面積，體積）相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為,(其中S是樣本空間的度量， 是構(gòu)成事件A的子區(qū)域的度量)這樣借助于幾何上的度量來合理規(guī)定的概率稱為幾何概率.,說明 當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí)，就歸結(jié)為幾何概率.,例11 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率.,9點(diǎn),10點(diǎn),10分鐘,分析 不妨

14、認(rèn)為此人聽到報(bào)時(shí)的整點(diǎn)為10點(diǎn)，那么它打開收音機(jī)的時(shí)間應(yīng)該在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間.,60分鐘,解 所求概率,解 設(shè) 分別為甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻，則,例12（會(huì)面問題） 甲、乙兩人相約在0到T 這段時(shí)間內(nèi)，在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人，經(jīng)過時(shí)間t (tT)后離去. 設(shè)每人在0 到T 這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的，且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連. 求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.,那末兩人會(huì)面的充要條件為,故所求的概率為,若以 表示平面上點(diǎn) 的坐標(biāo)，則有,例13 甲、乙兩人約定在下午1時(shí)到2時(shí)之間到某站乘公共汽車，又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時(shí)刻分別為 1:15、1:30、1:45、2:

15、00. 假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)刻是互相不牽連的，且每人在1時(shí)到2時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車站是 等可能的.如果它們約定 (1) 見車就乘; (2) 最多等一輛車. 求甲、乙同乘一車的概率.,解 設(shè)x, y分別為甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻，則有,見車就乘的概率為:,甲、乙同乘一車充分必要條件為,最多等一輛車，甲、乙同乘一車的概率為,甲等多等了一輛車,乙等多等了一輛車,甲、乙乘同一輛車,小結(jié),最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象,古典概型,古典概率,幾何概型,二、概率性質(zhì),小結(jié),思考題,1. 從5雙不同的手套中任取4只，求 (1) 恰有兩只 配成一雙的概率？(2) 至少有2只配成一雙的概率？ 2. n個(gè)人每人攜帶一件禮品參加聯(lián)

16、歡會(huì)。聯(lián)歡會(huì)開始后，先把所有禮品編號(hào)，然后每人各抽取一個(gè)號(hào)碼，按號(hào)碼領(lǐng)取禮品。試求 (1) 所有參加聯(lián)歡會(huì)的人都得到別人贈(zèng)送的禮品的概率；(2) 恰好k個(gè)人拿到自己的禮品 的概率。,禽 流 感,H5N1禽流感病毒屬于甲型流感病毒的一個(gè)高致病性亞型，其中的H和N分別代表病毒表面的兩種蛋白質(zhì)，H是血凝素（hemagglutinin ) ，就如病毒的鑰匙，它能打開和侵入人類或動(dòng)物的細(xì)胞；N是神經(jīng)氨酸酶(neuraminidase)，其作用是破壞細(xì)胞，使病毒在感染者體內(nèi)自由傳播。N蛋白共有9個(gè)類型，分為N1N9，H蛋白有15個(gè)類型，即H1H15，不同的N蛋白和H蛋白結(jié)合，組成不同的病毒類型，毒性和傳播

17、速度也不同。H5N1病毒就包括了H5蛋白和N1蛋白病毒的毒性很強(qiáng)，病禽的死 亡率幾乎可達(dá)100%。 H5N1禽流感病毒屬于甲型流感病毒的一個(gè)高致病性亞型，其中的H和N分別代表病毒表面的兩種蛋白質(zhì)，H是血凝素(hemagglutinin )，就如病毒的鑰匙，它能打開和侵入人類或動(dòng)物的細(xì)胞；N是神經(jīng)氨酸酶(neuraminidase)，其作用是破壞細(xì)胞，使病毒在感染者體內(nèi)自由傳播。N蛋白共有9個(gè)類型，分為N1N9，H蛋白有15個(gè)類型，即H1H15，不同的N蛋白和H蛋白結(jié)合，組成不同的病毒類型，毒性和傳播速度也不同。H5N1病毒就包括了H5蛋白和N1蛋白。H5N1病毒1961年首次在南非被發(fā)現(xiàn)，病毒

18、的毒性很強(qiáng)，病禽的死亡率可達(dá)100%。 人類感染H5N1病例 1. 1997年8月，香港報(bào)告了全球首個(gè)感染H5N1禽流感病毒死亡的病例，死者是個(gè)3歲男孩；在那次的禽流感爆發(fā)中，共有18個(gè)人受到傳染，6人死亡，香港殺雞 150萬只； 2. 2003年2月，香港再次出現(xiàn)H5N1病毒，兩人受到 傳染，一人死亡； 3. 2003年12月，越南出現(xiàn)第一個(gè)人感染H5N1病毒死亡病例，死者是個(gè)8歲女孩。至今越南已經(jīng)有92人受到傳染，42人死亡，是所有受影響國家里受傳染和死亡 人數(shù)最多的； 4. 2004年1月，泰國報(bào)告第一個(gè)禽流感死亡病例，死者是個(gè)六歲男童。目前泰國共發(fā)生人感染禽流感病例 20例，死亡13人

19、； 5. 2005年7月，印尼出現(xiàn)首個(gè)人感染禽流感死亡，死者是一個(gè)38歲的男子、以及他的兩個(gè)分別為1歲和9歲 女兒。印尼至今已經(jīng)有9個(gè)受感染病例，5個(gè)人死亡。 6. 從2004年12月至今，柬埔寨報(bào)告了四個(gè)人受感染的病例，四人死亡。 上世紀(jì)爆發(fā)的全球性大流感 （1）西班牙流感 時(shí)間：1918年-1919年 病毒類型：H1N1型西班牙流感病毒 死亡人數(shù):估計(jì)5000萬人 引發(fā)原因：直接由變異的禽流感病毒進(jìn)入人體而引起 最初爆發(fā)地點(diǎn)：美國，但是因?yàn)樾侣劽襟w首先報(bào)道了西班牙的流感爆發(fā)，所以才被稱作西班牙流感。 （2）亞洲流感 時(shí)間：1957年-1958年 病毒類型: H2N2型 死亡人數(shù)：100萬人 最初爆發(fā)地點(diǎn)：中國，同年傳遍世界 引發(fā)原因：禽流感病毒與人類流感病毒結(jié)