1、第二章 試驗設(shè)計與方差分析 在科學試驗中我們常常要研究參加試驗的各種條件的改變對試驗結(jié)果的影響，從中選出最好的試驗組合，以達到最佳試驗結(jié)果。 指標：試驗結(jié)果稱為試驗指標； 因素：試驗中變化的條件稱為因素( facter ) ； 水平： 因素在試驗中所取的每一個狀態(tài)稱為因素的一個水平（level ）。,“方差分析”是研究各個因素各個水平對試驗結(jié)果影響大小的一種常用方法。,一 單因素試驗設(shè)計與方差分析,1.單因素試驗模型：只考察一個因素對試驗指標的影響。取該因素的若干個水平進行試驗。,【例1】 進行某化學合成反應時，為了解催化劑對收率是否有影響，分別用5種不同的催化劑獨立地在相同條件下進行試驗，每

2、種催化劑試驗4次，得收率如表所示，為判斷催化劑對收率是否有影響，試建立其檢驗模型。,5種催化劑的收率,在同一種催化劑下所得收率可視為一個隨機變量，5種不同的催化劑對應于5個隨機變量，記為,。,假設(shè) 間相互獨立，且有相等的方差。,現(xiàn)從每個總體 中抽取4個樣本記為,若肯定 ，催化劑對收率無影響。 若否定 ，催化劑對收率有顯著影響。,因素A有r個水平 設(shè) 對應的結(jié)果為總體,，其樣本為,試驗結(jié)果如書中表：即為單因素方差分析問題。,建立以下模型：,其中,和,均為常數(shù)，且,相互獨立。,檢驗假設(shè)為：,其等價模型為：,其中： 稱為因素的效應。,稱為總平均值。,檢驗假設(shè)為：,方差分析原理 平方和分解式：分析造成

3、 不同的原因。令,表示第 i 組的組內(nèi)平均值。,總平均值,稱為總的離差平方和，它反映了全部數(shù)據(jù)波動大小。,稱為組內(nèi)離差平方和，它反映了由于隨機因素引起的波動的大小。,稱為組間離差平方和， 它反映了由不同水平和隨機因素共同引起的波動大小。,在單因素方差分析模型中，有如下等式成立。,稱為總離差平方和的分解公式。,得,在 成立的條件下,設(shè),分別稱為組間均方和組內(nèi)均方。 F值越大，A的影響越顯著。當給定檢驗水平 時， 對 進行檢驗。并列出方差分析表。,組 間,r-1,組 內(nèi),N-r,方差分析表,3. 單因素方差分析的計算步驟 （1）建立模型，提出假設(shè)。 （2）計算 利用簡化公式 （3）假設(shè)檢驗，確定假

4、設(shè)是否成立。將結(jié)果列于表中。,其中,兩兩間多重比較的檢驗方法 通過方差分析，若拒絕 ，即各總體均數(shù)不全等，那么，哪些水平間有顯著性差異呢？需要對多個總體均數(shù)作兩兩間多重比較。 1 . T方法： 原理：設(shè)獨立隨機變量 服從標準正態(tài)分布N(0,1)。記它們的極差為：,設(shè)隨機變量,分布。則：,稱為t化極差。,t化極差是隨機變量，當給定檢驗水平 時，可根據(jù) r和 Z 的自由度 df 查表，得臨界值,，使得：,因素A有r個水平 設(shè) 對應的結(jié)果為總體,從每個總體中獨立地隨機地抽取容量均為n的樣本，總數(shù)N = nr ，,若,成立。則有：,又：,，所以：,為t化極差。,又：,，所以：,為t化極差。,對給定的檢驗水平 ，有,因為，對任意的 k , l 恒有：,所以，有事件,故只要,即可拒絕,即為 。,兩兩多重比較計算步驟如下： 計算各總體樣本均數(shù),2. 對給定的檢驗水平 及 r 和 df =