1、中考相似三角形經(jīng)典綜合題解析1、（2013哈爾濱）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，A點的坐標(biāo)為(3，0)，以0A為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C動點P從0點出發(fā)沿0C向C點運動，動點Q從B點出發(fā)沿BA向A點運動，P,Q兩點同時出發(fā)，速度均為1個單位秒。設(shè)運動時間為t秒 (1)求線段BC的長； (2)連接PQ交線段OB于點E，過點E作x軸的平行線交線段BC于點F。設(shè)線段EF的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍： (3)在(2)的條件下，將BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到BE1F1,使點E的對應(yīng)點E1落在線段AB上，點F的對應(yīng)點

2、是F1，E1F1交x軸于點G，連接PF、QG，當(dāng)t為何值時，2BQ-PF= QG? (1)解：如圖lAOB為等邊三角形 BAC=AOB=60。BCAB ABC=900 ACB=300OBC=300ACB=OBC CO=OB=AB=OA=3AC=6 BC=AC= (2)解：如圖l過點Q作QN0B交x軸于點NQNA=BOA=600=QAN QN=QAAQN為等邊三角形NQ=NA=AQ=3-tNON=3- (3-t)=tPN=t+t=2tOEQNPOEPNQ EFx軸BFE=BCO=FBE=300EF=BEm=BE=OB-OE(0t3)(3)解：如圖2 AEG=600=EAG GE1=GA AEG為

3、等邊三角形l=2 3=4l+2+3+4=18002+3=900即QGA=900 EFOC FCP=BCA FCPBCA2BQPF=QG t=1當(dāng)t=1 時，2BQPF=QG2、（2013天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，0），點B（0，4），點E在OB上，且OAE=0BA（）如圖，求點E的坐標(biāo)；（）如圖，將AEO沿x軸向右平移得到AEO，連接AB、BE設(shè)AA=m，其中0m2，試用含m的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值時點E的坐標(biāo)；當(dāng)AB+BE取得最小值時，求點E的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）解：（）如圖，點A（2，0），點B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA

4、，EOA=AOB=90，OAEOBA，=，即=，解得，OE=1，點E的坐標(biāo)為（0，1）；（）如圖，連接EE由題設(shè)知AA=m（0m2），則AO=2m在RtABO中，由AB2=AO2+BO2，得AB2=（2m）2+42=m24m+20AEO是AEO沿x軸向右平移得到的，EEAA，且EE=AABEE=90，EE=m又BE=OBOE=3，在RtBEE中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27當(dāng)m=1時，AB2+BE2可以取得最小值，此時，點E的坐標(biāo)是（1，1）如圖，過點A作ABx，并使AB=BE=3易證ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA當(dāng)點

5、B、A、B在同一條直線上時，AB+BA最小，即此時AB+BE取得最小值易證ABAOBA，=，AA=2=，EE=AA=，點E的坐標(biāo)是（，1）3、（2013淮安壓軸題）如圖，在ABC中，C=90，BC=3，AB=5點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿BCAB的方向運動；點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿CAB方向的運動，到達(dá)點B后立即原速返回，若P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設(shè)運動時間為秒（1）當(dāng)=7時，點P與點Q相遇；（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當(dāng)為何值時，PCQ為等腰三角形？（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設(shè)PCQ的面積為s平方單位求s與之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)s最大時，過點

6、P作直線交AB于點D，將ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的APD與PCQ重疊部分的面積：解：（1）在直角ABC中，AC=4，則Q從C到B經(jīng)過的路程是9，需要的時間是4.5秒此時P運動的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+54.5=7.5根據(jù)題意得：（t4.5）+2（t4.5）=7.5，解得：t=7（2）Q從C到A的時間是3秒，P從A到C的時間是3秒則當(dāng)0t2時，若PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，即3t=2t，解得：t=1當(dāng)2t3時，若PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC（如圖1）則Q在PC的中垂線上，作QHAC，則QH=PCAQHABC，在直角AQH中，

7、AQ=2t4，則QH=AQ=PC=BCBP=3t，（2t4）=3t，解得：t=；（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC=t3，BQ=2t9，即AQ=5（2t9）=142t同（2）可得：PCQ中，PC邊上的高是：（142t），故s=（2t9）（142t）=（t2+10t2）故當(dāng)t=5時，s有最大值，此時，P在AC的中點（如圖2）沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，PD一定是AC的中垂線則AP=AC=2，PD=BC=，則SAPD=APPD=2=AQ=142t=1425=4則PC邊上的高是：AQ=4=則SPCQ=PC=2=故答案是：74、如圖，點A是ABC和ADE的公共頂點

8、，BACDAE180，ABkAE，ACkAD，點M是DE的中點，直線AM交直線BC于點N（1）探究ANB與BAE的關(guān)系，并加以證明ABCEMDN（2）若ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，則在旋轉(zhuǎn)的過程中（1）的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果沒有發(fā)生變化，請寫出一個可以推廣的命題；如果有變化，請畫出變化后的一個圖形，并證明變化后ANB與BAE的關(guān)系解：（1）ANB+BAE=180證明：（法一）如圖，延長AN到F，使MF=AM，連接DF、EF 點M是DE的中點，DM=ME，四邊形ADFE是平行四邊形ADEF，AD=EFDAE+AEF=180BAC+DAE=180 BAC=AEF AB=kAE，AC=kAD

9、AB AE =AC ADAB AE =AC EF ABCEAFB=EAF ANB+B+BAF=180ANB+EAF+BAF=180即ANB+BAE=180（法二）如圖，延長DA到F，使AF=AD，連接EF BAC+DAE=180，DAE+EAF=180BAC=EAFAB=kAE，AC=kAD AB AE =AC ADAB AE =AC AF ABCAEF B=AEF 點M是DE的中點DM=ME， 又AF=ADAM是DEF的中位線AMEFNAE=AEF B=NAE ANB+B+BAN=180ANB+NAE+BAN=180即ANB+BAE=180（2）變化如圖，ANB=BAE 選?。ǎ?，如圖 證明

10、：延長AM到F，使MF=AM，連接DF、EF 點M是DE的中點DM=ME 四邊形ADFE是平行四邊形ADFE，AD=EFDAE+AEF=180BAC+DAE=180BAC=AEF AB=kAE，AC=kAD，k=1AB=AE，AC=AD AC=EFABCEAFB=EAF ANB+B+BAF=180ANB+EAF+BAF=180即ANB+BAE=180選取（），如圖 證明：AB=ACB=1/ 2 （180-BAC）BAC+DAE=180DAE=180-BAC B=1/ 2 DAEAB=kAE，AC=kAD AE=ADAM是ADE的中線，AB=AC EAM=1 /2 DAEB=EAM ANB+B+

11、BAM=180ANB+EAM+BAM=180即ANB+BAE=180點評：本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形5.如圖，已知一個三角形紙片，邊的長為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動點（點與點不重合），過點作，交于點，在中，設(shè)的長為，上的高為（1）請你用含的代數(shù)式表示（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設(shè)點落在平面的點為，與四邊形重疊部分的面積為，當(dāng)為何值時，最大，最大值為多少？【答案】解：（1）（2）的邊上的高為，當(dāng)點落在四邊形內(nèi)或邊上時，=（0）當(dāng)落在四邊形外時，如下圖，設(shè)的邊上的高為，則 所以 綜上所述：當(dāng)時，取，當(dāng)時，取，當(dāng)時，最大，MNCBEFAA16.已知正方形ABCD

12、中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點G，連接EG，CG問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 （3）將圖中BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？ DFBACE圖FBADCEG圖FBADCEG圖 解：（1）證明：在RtFCD中， G為DF的中點， CG= FD1分 同理，在RtDEF中， EG= FD 2分 CG=EG3分 （2）解：（1）證明：在RtF

13、CD中， G為DF的中點， CG= FD 同理，在RtDEF中， EG= FD CG=EG （2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG 證法一：連接AG，過G點作MNAD于M，與EF的延長線交于N點 在DAG與DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG在DMG與FNG中， DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 在RtAMG 與RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG 證法二：延長CG至M,使MG=CG， 連接MF，ME，EC， 在DCG 與FMG中， FG=

14、DG，MGF=CGD，MG=CG， DCG FMG MF=CD，F(xiàn)MGDCG MFCDAB 在RtMFE 與RtCBE中， MF=CB，EF=BE， MFE CBEMECMEFFECCEBCEF90 MEC為直角三角形 MG = CG， EG= MC （3）（1）中的結(jié)論仍然成立， 即EG=CG其他的結(jié)論還有:EGCG7如圖，拋物線經(jīng)過三點（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動點，過P作軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； 【答案】解：（1）該拋物線過點，可設(shè)該拋物線的解析式為將，代入，得解得此拋

15、物線的解析式為（2）存在如圖，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則點的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時，又，當(dāng)時，即解得（舍去），當(dāng)時，即解得，（均不合題意，舍去）當(dāng)時，類似地可求出當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述，符合條件的點為或或8.如圖，在中，ACB= ,AC=6,BC=8,點D在邊AB上運動，DE平分CDB交邊BC于點E，垂足為M，垂足為N。 （1） 當(dāng)AD=CD時，求證：DEAC；（2） 探究：AD為何值時，BME與CNE相似？（3） 探究：AD為何值時，四邊形MEND與BDE的面積相等？第24題（1）證明：1分又DE是BDC的平分線BDC=2BDEDAC=BDE2分DEAC3分（2）解：（）當(dāng)時，得BD=DCDE平分BDCDEB

16、C，BE=EC.又ACB=90 DEAC.4分即AD=55分（）當(dāng)時，得ENBD又ENCD BDCD即CD是ABC斜邊上的高6分由三角形面積公式得ABCD=ACBC CD=7分綜上，當(dāng)AD=5或時，BME與CNE相似.（3）由角平分線性質(zhì)易得 即8分EM是BD的垂直平分線.第24題EDB=DBEEDB=CDE DBE=CDE又DCE=BCD9分10分即11分由式得9如圖，已知直線與直線相交于點分別交軸于兩點矩形的頂點分別在直線上，頂點都在軸上，且點與點重合 （1）求的面積；（2）求矩形的邊與的長；（3）若矩形從原點出發(fā)，沿軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設(shè)移動時間為秒，矩形與重疊部分的

17、面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的取值范圍ADBEOCFxyy（G）【答案】（1）解：由得點坐標(biāo)為由得點坐標(biāo)為由解得點的坐標(biāo)為 （2）解：點在上且 點坐標(biāo)為又點在上且點坐標(biāo)為 （3）解法一：當(dāng)時，如圖1，矩形與重疊部分為五邊形（時，為四邊形）過作于，則ADBEORFxyyM（圖3）GCADBEOCFxyyG（圖1）RMADBEOCFxyyG（圖2）RM即即當(dāng)時，如圖2，為梯形面積，G（8t,0）GR=,當(dāng)時，如圖3,為三角形面積，10如圖，矩形中，厘米，厘米（）動點同時從點出發(fā)，分別沿，運動，速度是厘米秒過作直線垂直于，分別交，于當(dāng)點到達(dá)終點時，點也隨之停止運動設(shè)運動時間為秒（1）若厘

18、米，秒，則_厘米；（2）若厘米，求時間，使，并求出它們的相似比；（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由 DQCPNBMADQCPNBMA【答案】解： （1），（2），使，相似比為（3），即，當(dāng)梯形與梯形的面積相等，即化簡得，則，（4）時梯形與梯形的面積相等梯形的面積與梯形的面積相等即可，則，把代入，解之得，所以所以，存在，當(dāng)時梯形與梯形的面積、梯形的面積相等11.如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一

19、點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點在何處時，AMCM的值最?。划?dāng)M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由；EA DB CNM 當(dāng)AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.解：ABE是等邊三角形BABE，ABE60. MBN60MBNABNABEABN. 即BMANBE. 又MBNB AMBENB（SAS） 當(dāng)M點落在BD的中點時，AMCM的值最小 連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時， AMBMCM的值最小 理由如下：連接MN.由知，AMBENB AMEN. MBN60，MBNB BMN是等邊三角形. BMMN. AMBMCM

20、ENMNCM 根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN MNCMEC最短 當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AMBMCM的值最小，即等于EC的長 過E點作EFBC交CB的延長線于FEBF906030 設(shè)正方形的邊長為x，則BF3/2x，EF=x/2 在RtEFC中 EFFCEC， （x/2）+（3/2x+x）=（3+1） 解得x=212如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t2時，判斷BPQ的形狀，

21、并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR/BA交AC于點R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時，APRPRQ？【答案】 解：(1)BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因為B=600,所以BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QEAB,垂足為E,由QB=2y,得QE=2tsin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以SBPQ=BPQE=(6-t)t=t2+3t；(3)因為QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因為C=600,所以QRC是等邊三角形,所以QR=RC=QC=6

22、-2t.因為BE=BQcos600=2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EPQR,EP=QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,又因為PEQ=900,所以APR=PRQ=900.因為APRPRQ,所以QPR=A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以當(dāng)t=時, APRPRQ 13在直角梯形OABC中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD5，OE2EB，直線DE交x軸于點F求直線DE的解析式；（3）點

23、M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個點N使以O(shè)、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由ABDE（第26題 圖1）FCOMNxy 14在圖15-1至圖15-3中，直線MN與線段AB相交圖7-2ADOBC21MN圖7-1ADBMN12圖7-3ADOBC21MNO于點O，1=2=45（1）如圖15-1，若AO=OB，請寫出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將圖15-1中的MN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中AO=OB求證：AC=BD，ACBD；（3）將圖15-2中的OB拉長為AO的k倍得到圖15-3，求的值【答案】 解：

24、（1）AO=BD，AOBD； 圖4ADOBC21MNEF（2）證明：如圖4，過點B作BECA交DO于E，ACO=BEO又AO=OB，AOC= BOE，AOCBOEAC=BE 又1=45， ACO=BEO=135DEB=452=45，BE=BD，EBD=90AC=BD 延長AC交DB的延長線于F，如圖4BEAC，AFD=90ACBD（3）如圖5，過點B作BECA交DO于E，BEO =ACO又BOE =AOC ， AOBC1D2圖5MNEBOEAOC 又OB=kAO，由（2）的方法易得 BE=BD 15如圖，已知過A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點P從O點出發(fā)，沿OM作勻速

25、運動，1分鐘可到達(dá)M點，點Q從M點出發(fā)，沿MA作勻速運動，1分鐘可到達(dá)A點。（1）經(jīng)過多少時間，線段PQ的長度為2？（2）寫出線段PQ長度的平方y(tǒng)與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；（3）在P、Q運動過程中，是否可能出現(xiàn)PQMN？若有可能，求出此時間t；若不可能，請說明理由；（4）是否存在時間t，使P、Q、M構(gòu)成的三角形與MON相似？若存在，求出此時間t；若不可能，請說明理由； Y N A Q O P M X 解：A（2，4），OM=2，AM=4，點P從O點出發(fā)，沿OM作勻速運動，1分鐘可到達(dá)M點，點Q從M點出發(fā)，沿MA作勻速運動，1分鐘可到達(dá)A點，點P的速度度2，點Q速度的4，（1）設(shè)經(jīng)

26、過t分鐘線段PQ的長度是2，則PM=2-2t，QM=4t，在RtPQM中，PQ2=PM2+QM2，即22=（2-2t）2+（4t）2，解得t=0（分）或t=0.4（分）答：當(dāng)t=0或t=0.4時，線段PQ的長度為2；（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，在RtPQM中，PQ2=PM2+QM2，即y=（2-2t）2+（4t）2，整理得，y=20t2-8t+4（0t1）；（3）存在A（2，4），N（0，4），M（2，0），ON=4，OM=2，當(dāng)MONPMQ時，OMMP=ONMQ，即222t=44t，解得t=0.5；當(dāng)MONQMP時，OMMQ=ONMP，即24t=422t，解得t=0.2故當(dāng)t=0.5分或t=0.2分時P、Q、M構(gòu)成的三角形與MON相似16、（2013婁底壓軸題）如圖，在ABC中，B=45，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H（1）求證：；（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時，矩形EFPQ