1、3.2.1 立體幾何中的向量方法 方向向量與法向量,A,P,直線的方向向量,直線的向量式方程,換句話說,直線上的非零向量叫做直線的 方向向量,一、方向向量與法向量,2、平面的法向量,l,平面 的向量式方程,換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量,例1. 如圖所示, 正方體的棱長為1 直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為_ 平面OABC 的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_ 平面AB1C 的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),例2,練習(xí) 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中點(diǎn)， 求平面EDB的一個(gè)法向量

2、.,A,B,C,D,P,E,解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.,設(shè)平面EDB的法向量為,因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系.,用向量方法解決幾何問題,二、立體幾何中的向量方法 平行關(guān)系,m,l,一. 平行關(guān)系：,例1 四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求證：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,證

3、：如圖所示, 建立 空間直角坐標(biāo)系.,/,AE與FG不共線,幾何法呢？,例2 四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的中點(diǎn)， (1)求證：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立體幾何法,A,B,C,D,P,E,解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1,(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG,A,B,C,D,P,E,解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1,(1)證明：,設(shè)平面EDB的法向量為,A,B,C,D,P,E,解4：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1,(1)證

4、明：,解得 x,幾何法呢？,三、立體幾何中的向量方法 垂直關(guān)系,二、垂直關(guān)系：,l,m,l,A,B,C,例1 四面體ABCD的六條棱長相等, AB、CD 的中點(diǎn)分別是M、N,求證MNAB, MNCD.,證1 幾何法,例1 四面體ABCD的六條棱長相等, AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MNAB, MNCD.,證2 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.,x,y,Z,x,y,例1 四面體ABCD的六條棱長相等, AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MNAB, MNCD.,證3,MNAB, 同理 MNCD.,練習(xí) 棱長為a 的正方體 中,E、F分別是棱AB,OA上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=BE,求證：,Z

5、,x,y,解：如圖所示建立空間 直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.,A,B,C,D,P,E,F,證1：如圖所示建立 空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.,例2,A,B,C,D,P,E,F,證2：,例2,證明：設(shè)正方體棱長為1， 為單位正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，,所以,證明2：,E是AA1中點(diǎn)，,例3 正方體,平面C1BD.,證明：,E,求證：平面EBD,設(shè)正方體棱長為2, 建立如圖所示坐標(biāo)系,平面C1BD的一個(gè)法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是,平面C1BD.,平面EBD,證明2：,E,E是AA1中點(diǎn)，,例3 正方體,平面C1BD.,

6、求證：平面EBD,A,B,C,D,P,G,練習(xí)：,3.2.4 立體幾何中的向量方法 夾角問題,夾角問題：,l,m,l,m,夾角問題：,l,l,夾角問題：,夾角問題：,解1：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則：,所以 與 所成角的余弦值為,例1,解3、補(bǔ)形：,例1,解2,補(bǔ)成長方體,重一個(gè)同樣的三棱柱,練習(xí) 空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB與CD成600角，求AD與BC所成的角大小.,例：,的棱長為 1.,解1 建立直角坐標(biāo)系.,例2,例：,的棱長為 1.,解2,例2,例3 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD

7、，PD=DC, E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F. (3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,例3 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F. (3)求二面角C-PB-D 的大小。,A,B,C,D,P,E,F,平面PBC的一個(gè)法向量為,解1 如圖所示建立 空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.,平面PBD的一個(gè)法向量為,G,A,B,C,D,P,E,F,(3) 解 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.,例3 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC

8、, E是PC的 中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F. (3)求二面角C-PB-D 的大小。,A,B,C,D,P,E,F,解3 設(shè)DC=1.,練習(xí),的棱長為 1.,解1 建立直角坐標(biāo)系.,平面PBD1的一個(gè)法向量為,平面CBD1的一個(gè)法向量為,的棱長為 1.,解2,3.2.4 立體幾何中的向量方法 距離問題,距離問題：,(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 則,距離問題：,(2) 點(diǎn)P與直線l的距離為d , 則,距離問題：,(3) 點(diǎn)P與平面的距離為d , 則,d,距離問題：,(4) 平面與的距離為d , 則,例1 如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn) 的三條棱

9、長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這 個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？,解：如圖1，,所以,答: 這個(gè)晶體的對角線 AC1 的長是棱長的 倍。,例1 如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn) 的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這 個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？,解2：如圖1，,練習(xí).(P107.2)如圖，60的二面角的棱上 有A、B兩點(diǎn)， 直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的 兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直AB, 已知AB4,AC6， BD8，求CD的長.,解1,練習(xí).(P107.2)如圖，60的二面角的棱上 有A、B兩點(diǎn)， 直線AC

10、、BD分別在這個(gè)二面角的 兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直AB, 已知AB4,AC6， BD8，求CD的長.,解2,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線A1B的距離.,點(diǎn)E到直線A1B的距離為,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線A1B的距離.,解2,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求B1到面A1BE的距離.,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求B1到面A1BE的距離.,等體積法,解2,例 如圖，在正方體AB

11、CD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求D1C到面A1BE的距離.,解1:D1C面A1BE D1到面A1BE的距離即為 D1C到面A1BE的距離.,仿上例求得D1C到 面A1BE的距離為,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求D1C到面A1BE的距離.,等體積法,解2,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.,解1:面D1CB1面A1BD D1到面A1BD的距離即 為面D1CB1到面A1BD的距離,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.,等體積法,解2,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.,解3,例 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求異面直線D1B與A1E的距離.,作 業(yè) P111 2 P112 5,A1,E,作 業(yè),1 . 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.,2. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求異面直線D1B與A1