1、基礎(chǔ)知識(shí) 一、等差、等比數(shù)列的綜合問題 (1)若an是等差數(shù)列，則數(shù)列can(c0，c1)為 數(shù)列； (2)若an為正項(xiàng)等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)ogcan(c0，c1)為 數(shù)列； (3)若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列an為 ,等比,等差,常數(shù)列,二、與銀行利率相關(guān)的幾類模型 1銀行儲(chǔ)蓄單利公式 利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y 2銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式 按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y . 3產(chǎn)值模型 原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y .,axara(1xr),a(1r)x,N(1p)x,4分期付款模型

2、 a為貸款總額，r為月利率，b為月等額本息還款數(shù)，n為貸款月數(shù)，則b,易錯(cuò)知識(shí) 一、審題錯(cuò)誤 1已知an是遞增數(shù)列，且對(duì)任意xN*，都有ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是() A( ，)B(0，) C2， ) D(3，) 答案：D,解題思路：an是遞增數(shù)列，an1an， 即(n1)2(n1)n2n.2n1對(duì)于nN*恒成立， 而2n1在n1時(shí)取得最大值3，3，故選D. 錯(cuò)因分析：數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用動(dòng)態(tài)函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列，但必須時(shí)刻注意其“特殊”性，即：定義域?yàn)閚N*.本題常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：,錯(cuò)解：ann2n(n ，對(duì)稱軸n 當(dāng)n1時(shí)為遞增數(shù)列，則 從而得2.故選C.,二、實(shí)際應(yīng)用錯(cuò)誤 2假

3、設(shè)某市2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米，那么，到另一年底， (1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬平方米？ (2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?,解析：(1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列an，由題意可知an是等差數(shù)列，其中a1250，d50，則Sn250n 5025n2225n. 令25n2225n4750， 即n29n1900，而n是正整數(shù)，n10. 到20

4、13年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米,(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn，由題意可知bn是等比數(shù)列，其中b1400，q1.08， 則bn400(1.08)n1， 由題意可知an0.85bn， 有250(n1)50400(1.08)n10.85. 由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n6.到2009年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.,回歸教材 1(教材P1146題改編)夏季高山上氣溫從山腳起每升高100米降低0.7，已知山頂氣溫是14.1，山腳的氣溫是26，那么此山相對(duì)于山腳的高度是() A1500米B1600米C1700米D1

5、800米 解析：因a126，an14.1，d0.7. ana1(n1)d，14.126(n1)(0.7) n18，其高度為(181)1001700. 答案：C,2(教材P1253題改編)某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂成兩個(gè))經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成() A511個(gè)B512個(gè) C1023個(gè)D1024個(gè) 解析：a10a1q929512(個(gè)) 答案：B,3等比數(shù)列an的公比為q，則“q1”是“對(duì)于任意自然數(shù)n，都有an1an”的() A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件 解析：當(dāng)a10時(shí)，條件與結(jié)論均不能由一方推出另一方 答案：D,4設(shè)

6、等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列，則公比() Aq2Bq1 Cq2或q1 Dq2或q1 解析：由題意可得2SnSn1Sn2，當(dāng)q1時(shí)， 即2qq2， 解之得q2或q1，當(dāng)q1時(shí)不成立 答案：A,5(教材改編題)A、B兩個(gè)工廠2009年元月份的產(chǎn)值相等，A廠的產(chǎn)值逐月增加且每月增加的產(chǎn)值相同，B廠產(chǎn)值也逐月增加且月增長率相同，而2010年元月份兩廠的產(chǎn)值又相等，則2009年7月份產(chǎn)值高的工廠是_,解析：設(shè)兩工廠的月產(chǎn)值從2009年元月起依次組成數(shù)列an，bn， 由題意知an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，并且a1b1，a13b13.由于an成等差數(shù)列， 即20

7、09年7月份A廠產(chǎn)值高于B廠產(chǎn)值 答案：A廠,【例1】(2006遼寧高考)在等比數(shù)列an中，a12，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn等于() A2n11B3n C2n D3n1 命題意圖本題主要考查等比數(shù)列的概念、求和公式等綜合應(yīng)用,解析解法一：由an為等比數(shù)列可得an1anq，an2anq2， 由an1為等比數(shù)列可得(an11)2(an1)(an21)， 故(anq1)2(an1)(anq21) 化簡上式可得q22q10，解得q1 故an為常數(shù)列，且ana12， 故Snna12n，故選C.,解法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q， 則有a22q且a32q2 令an1bn 則有b13

8、，b22q1，b32q21 又?jǐn)?shù)列bn為等比數(shù)列， (2q1)23(2q21)， 解得q1，以下同解法一,解法三：運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，令an2，顯然符合題意，故數(shù)列an1也符合題意，故Snna12n.可見，在數(shù)列問題中，常數(shù)列往往可以作為一種典型的模型予以考慮 答案C,(2009浙江嘉興一中)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2， a3，a1成等差數(shù)列，則 的值為(),答案：B 解析：由題意可知：a3a1a2， q21q，解得： (舍去)，所以選B.,【例2】銀行按規(guī)定，每經(jīng)過一定的時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利息一次，結(jié)算后立即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫復(fù)利現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩

9、種方案：甲方案一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年多獲利5千元兩種方案的使用期限都是10年，到期一次性歸還本息若銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計(jì)算，試比較這兩種方案哪個(gè)獲利更多(計(jì)算結(jié)果精確到103元，參考數(shù)據(jù)：1.1102.594，1.31013.786),思路點(diǎn)撥甲方案中，每年的獲利組成一等比數(shù)列，乙方案中每年的獲利組成一等差數(shù)列，分別計(jì)算出10年的凈獲利之和作比較即可,解析甲方案10年獲利是每年獲利數(shù)組成的數(shù)列的前n項(xiàng)的和1(130%)(130%)2(130%)9 42.62(萬元) 到期

10、時(shí)銀行貸款的本息為 10(110%)10102.59425.94(萬元)， 甲方案扣除貸款本息后凈獲利 426225.9416.7(萬元)；,乙方案逐年獲利組成一個(gè)等差數(shù)列，10年共獲利 1(10.5)(120.5)(190.5) 而貸款本息為 111(110%)(110%)9,乙方案扣除貸款本息后，凈獲利為 325017.5315.0(萬元) 比較可知，甲方案獲利多于乙方案獲利 即甲方案比乙方案獲利多,某林場(chǎng)有荒山3250畝，從2009年1月開始在該荒山上植樹造林，且保證每年種樹全部成活第一年植樹100畝，以后每年都比上一年多植樹50畝 (1)問至少需幾年才可將此荒山全部綠化； (2)如果新

11、種樹苗每畝的木材量為2立方米，樹木每年的自然增材率為10%，那么到此荒山全部綠化后的那一年底，這里樹木的木材量總共為多少立方米？(1.1112.85),解析：(1)設(shè)至少需要n年才可將此荒山全部綠化 第一年植樹a1100畝，第n年植樹an與第n1年植樹an1滿足anan150. 每年植樹an構(gòu)成等差數(shù)列 Sn100n 3250， n23n1300， 即(n13)(n10)0， n10. 故至少需要10年才能將此荒山全部綠化,(2)設(shè)樹木的木材量總共為M立方米 M2(a11.110a21.19a31.18a91.12a101.1)， 1.1a11.111a21.110a31.19a91.13a1

12、01.12， 1.1 a11.111(a2a1)1.1101.191.12a101.1，,005M1001.111501.1101.191.125501.1 1002.8550 605 285820605 500， M10000立方米 故這里木材總量為10000立方米.,【例3】設(shè)函數(shù)f(x) (a，b為常數(shù)，a0)，若f(1) ，且f(x)x只有一個(gè)實(shí)根 (1)求f(x)的解析式； (2)若數(shù)列an滿足關(guān)系式anf(an1)(nN*，且n2)，又a1 ，求an的通項(xiàng)公式； (3)設(shè)bn ，求bn的最大值與最小值，以及相應(yīng)的n值,分析(1)利用函數(shù)與方程的思想； (2)利用函數(shù)構(gòu)造新數(shù)列 (3

13、)利用函數(shù)的單調(diào)性，從而求出數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng),解析(1)由f(1) 可得ab3. 又由f(x)x0，得xax(1b)0. 方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根， 得b1，a2，則f(x),(2)由anf(an1)，得an 是等差數(shù)列，又 2005， 20052(n1)2n2007， an,(3)由(2)知bn 且n1003時(shí)，bn單調(diào)遞增且大于1；當(dāng)n1003時(shí)，bn單調(diào)遞增且小于1. 當(dāng)n1003時(shí)，bn最大值為3； 當(dāng)n1004時(shí)，bn最小值為1. 探究利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化構(gòu)造出新數(shù)列是解決函數(shù)與數(shù)列綜合問題的常用手段,(2009安徽合肥)已知數(shù)列an中，a1 ，點(diǎn)(1,0)在函數(shù)f(x) anx2an1x的圖象上 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)； (2)設(shè)bnlog2a2n1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.,解析：(1)由已知f(1)0an1 an. 又因?yàn)閍1 0， 所以數(shù)列an是公比為 的等比數(shù)列 所以an (2)由bnlog2a2n112n， 所以Tn(1)(3)(5)(12n)n2.,1在等差數(shù)列與等比數(shù)