1、8.2 偏 導(dǎo) 數(shù),一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法,二、高階偏導(dǎo)數(shù),一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法,類似地, 可定義函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).,偏導(dǎo)數(shù)的定義,設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)的某一鄰域內(nèi)有定義 若極限,存在 則稱此極限為函數(shù)zf(x y)在點(diǎn)(x0 y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù) 記作,一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法,偏導(dǎo)數(shù)的定義,偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào),如果函數(shù)zf(x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x, y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么f(x, y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù), 這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)zf(x, y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱偏導(dǎo)數(shù)), 記作,偏導(dǎo)函數(shù),一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及

2、其計(jì)算法,偏導(dǎo)數(shù)的定義,偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào),偏導(dǎo)函數(shù),偏導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),偏導(dǎo)函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù) 例如 三元函數(shù)uf(x y z)在點(diǎn)(x y z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為,其中(x y z)是函數(shù)uf(x y z)的定義域的內(nèi)點(diǎn),偏導(dǎo)數(shù)的求法 求函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 只要把其它自變量看作常數(shù), 然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可.,偏導(dǎo)函數(shù),討論 下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？,例1 求zx23xyy2在點(diǎn)(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù).,解,例2 求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù).,解,解,證,例3,例4,證,本例說明一個(gè)問題: 偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào),不能看作分子分母之商.,例5 已知理

3、想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證,偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,fx(x0, y0)= f(x, y0)x,fy(x0, y0)= f(x0, y)y,z=f(x, y0),z=f(x0, y),是截線z=f(x, y0)在點(diǎn)(x0, y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率.,是截線z=f(x0, y)在點(diǎn)(x0, y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率.,偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性 對(duì)于多元函數(shù)來說, 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在, 也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 例如,但函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)并不連續(xù).,在點(diǎn)(0, 0), 有fx(0, 0)0, fy(0, 0)0,提示：,提示：,當(dāng)點(diǎn)P(x y)沿直線ykx趨于點(diǎn)(0 0)時(shí) 有,因此 函數(shù)f(x y)在(0 0)的極限不存在 當(dāng)然也不連續(xù),二、高階偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù),如果函數(shù)zf(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導(dǎo)數(shù), 則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)zf(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 函數(shù)zf(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè):,其中fxy(x, y)、fyx(x, y)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).,類似