1、,兩類(lèi)問(wèn)題:,在收斂域內(nèi),和函數(shù),本節(jié)內(nèi)容:,一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù),二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù),其中,( 在 x 與 x0 之間),稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng) .,則在,復(fù)習(xí): f (x) 的 n 階泰勒公式,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù),該鄰域內(nèi)有 :,為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù) .,則稱(chēng),當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù) .,1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？,2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?,待解決的問(wèn)題 :,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),定理1 .,各階導(dǎo)數(shù),則 f (x) 在

2、該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要,條件是,f (x) 的泰勒公式余項(xiàng)滿足:,證明:,令,設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域,內(nèi)具有,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù),則這種展開(kāi)式是,唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.,證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為,則,顯然結(jié)論成立 .,二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),1. 直接展開(kāi)法,由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;,第二步 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;,第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi),是否為0.,驟如下 :,展開(kāi)方法,直接展開(kāi)法, 利用泰勒公式,間接展開(kāi)法, 利用已知其

3、級(jí)數(shù)展開(kāi)式,的函數(shù)展開(kāi),例1. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,其收斂半徑為,對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足,故,( 在0與x 之間),故得級(jí)數(shù),例2. 將,展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,得級(jí)數(shù):,其收斂半徑為,對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足,對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可推出:,例3. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m,為任意常數(shù) .,解: 易求出,于是得級(jí)數(shù),由于,級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂.,因此對(duì)任意常數(shù) m,推導(dǎo),推導(dǎo),則,為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為,稱(chēng)為二項(xiàng)展開(kāi)式 .,說(shuō)明：,(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .,(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為

4、x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.,由此得,對(duì)應(yīng),的二項(xiàng)展開(kāi)式分別為,例3 附注,2. 間接展開(kāi)法,利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).,解: 因?yàn)?把 x 換成, 得,將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù).,例5. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).,解:,從 0 到 x 積分, 得,定義且連續(xù),域?yàn)?利用此題可得,上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂,例6. 將,展成,解:,的冪級(jí)數(shù).,例7. 將,展成 x1 的冪級(jí)數(shù).,解:,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法,(1) 直接展開(kāi)法, 利用泰勒公式 ;,(2) 間接展開(kāi)法, 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi),2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,式的函數(shù) .,當(dāng) m = 1 時(shí),思考與練習(xí),1. 函數(shù),處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒,級(jí)數(shù)”有何不同 ?,提示: 后者必需證明,前者無(wú)此要求.,2. 如何求,的冪級(jí)數(shù) ?,提示:,思考題 1.,將下