1、4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)的定義,都昌三中 高一數(shù)學(xué)組,銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義：,對邊,鄰邊,斜邊,以原點為O圓心，以單位長度為半徑的圓叫做單位圓,下面我們在直角坐標(biāo)系中，利用單位圓來進(jìn)一步研究銳角 的正弦函數(shù)、余弦函數(shù),任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：,（1）v叫做的正弦，記作sin， 即sin=v；,（2）u叫做的余弦，記作 cos，即cos=u,如圖，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(u,v)，那么：,三角函數(shù) 都是以角為自變量,以單位圓上的點的坐標(biāo)(比值)為函數(shù)值的函數(shù).,角(弧度數(shù)) 實數(shù),三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù),一一對應(yīng),定義域,函數(shù),1

2、.單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù),v,u,全體實數(shù),全體實數(shù),2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號,方法規(guī)律：正弦上正下負(fù)，余弦右正左負(fù)。,3.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù) (1)前提：設(shè)角的頂點是坐標(biāo)系的原點，始邊與x軸的非負(fù)半 軸重合，角終邊上任一點Q(x,y). (2)結(jié)論：OQ的長度為 且sin =_，cos =_.,1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)sin ,cos 中可以將“”與“sin”，“cos”分開.( ) (2)同一個三角函數(shù)值能找到無數(shù)個角與之對應(yīng).( ) (3)角終邊上有一點P(1，1)，故cos=1.( ),【解析】(1)錯誤.符號sin ,cos

3、 是一個整體，不能分開. (2)正確.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. (3)錯誤.P(1,1),x=1,y=1, 故cos =,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)已知角終邊經(jīng)過點 則角的最小正值是_. (2)角的終邊經(jīng)過點P(m,4)，且cos = 則m=_. (3)角滿足sin 0,cos 0,則在第_象限.,【解析】(1) 所以的最小正值為 答案： (2)r= 因為cos= 解得m=3(舍去)，m=-3. 答案：-3,(3)當(dāng)sin 0時,在第一、二象限及y軸正半軸，當(dāng) cos 0,cos 0時，在第二象限. 答案：二,【即時練】 當(dāng)角=0時，sin =_；若角=-3，則s

4、in 的符號為_(填“正”或“負(fù)”). 【解析】當(dāng)角=0時，sin =0；若角=-3，則角是第三象限角，所以sin 0. 答案：0 負(fù),【題型示范】 類型一 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù) 【典例1】 (1)(2014石家莊高一檢測)已知角與單位圓的一個交點坐 標(biāo)是 則cos 等于( ) (2)已知角的終邊經(jīng)過點P(2,4)，求角的正、余弦函 數(shù)值.,【自主解答】(1)選D.因為 所以 故cos = (2)因為點P(2,4)在角的終邊上，故u1=2， v1=4，可知r= OP = 所以sin = cos =,【變式訓(xùn)練】已知角的終邊經(jīng)過點P(2，-3)，則cos 的值 是( ) 【解析】選C.角的

5、終邊經(jīng)過點P(2，-3)，故 由三 角函數(shù)的定義知 故選C,【考題鏈接】(2013西安高一檢測)已知角為第二象限的角. P(a,4)為終邊上一點，且sin= 則sin+cos的值為_ .,【解析】|OP|=r= 由sin= 得 所以a=3. 又為第二象限的角, 所以a=-3,所以cos = 所以sin +cos =,類型二 三角函數(shù)值的符號的應(yīng)用 【典例2】 (1)(已知角是第二象限角，則點P(sin ,cos )在第_ 象限. (2)確定下列各式的符號. cos200. sin160+cos(-40). sin210cos260.,【自主解答】(1)因為角是第二象限角，所以sin 0，cos

6、 0，所以點P的坐標(biāo)符號是(+,)，所以點P在第四象限.,(2)200為第三象限的角，所以cos 2000. 160為第二象限的角，所以sin 1600.-40為第四象限的角，所以cos(-40)0,所以sin 160+cos(-40)0. 210為第三象限的角，sin 2100,260為第三象限的角， 所以cos 2600,所以sin 210cos 2600.,四,【方法技巧】正弦、余弦函數(shù)值的正負(fù)規(guī)律,【變式訓(xùn)練】確定下列各式的符號. (1)sin 2 014. (2) (3)sin 4cos 4.,【解析】(1)2 014=3605+214,所以2 014為第三象限的角,所以sin 2

7、0140. (2) 為第四象限的角,所以cos 0. (3)4 所以4 rad為第三象限的角. 所以cos 40，sin 40. 所以sin 4cos 40.,【考題鏈接】（2014西安高一檢測) sin(140)cos 740的值( ) A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不確定 【解析】選C. 140是第三象限角，所以sin(140)0， 740=2360+20，所以740是第一象限角，所以 cos 7400，所以sin(140)cos 7400.,【易錯誤區(qū)】處理三角函數(shù)問題時忽視參數(shù)的符號致誤 【典例】(2014泰安高一檢測)已知角的終邊經(jīng)過點 P(3m,m)(m0)，則sin =_.,【解析】由題意得： |OP|= 當(dāng)m0時，|OP|= 則sin= 當(dāng)m0時，|OP|= 則sin= 答案： 或,【類題試解】已知角的終邊過點P(-3a，4a)(a0)，則 cos =_. 【解析】由題意可得：|OP|= 當(dāng)a0時，|OP|=5a，則 當(dāng)a0時，|OP|=-5a，則 答案： 或,課 堂 總 結(jié),1、任意角三角函數(shù)的定義