1、11.9離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱展示1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念2能計(jì)算簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題3利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：稱E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_(2)D(X)xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均_程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差答案：(1)x1p1x2p2xipixnpn平均水平(2)

2、偏離(1)教材習(xí)題改編設(shè)XB(n，p)，若D(X)4，E(X)12，則n的值為_答案：18解析：XB(n，p)，解得p，n18.(2)教材習(xí)題改編一臺(tái)機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.1.這臺(tái)機(jī)器一周五個(gè)工作日不發(fā)生故障，可獲利5萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利2.5萬(wàn)元；發(fā)生兩次故障的利潤(rùn)為0萬(wàn)元；發(fā)生三次或者三次以上的故障要虧損1萬(wàn)元?jiǎng)t這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可能獲利的均值是_萬(wàn)元答案：3.764 015解析：設(shè)這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可能獲利X萬(wàn)元，則P(X5)(10.1)50.590 49，P(X2.5)C0.1(10.1)40.328 05，P(X0)C0.12(10.1)30.072 9，P(X1)1P(X5

3、)P(X2.5)P(X0)0.008 56，所以X的分布列為X52.501P0.590 490.328 050.072 90.008 56所以，這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可能獲利的均值為50.590 492.50.328 0500.072 9(1)0.008 563.764 015(萬(wàn)元)(3)教材習(xí)題改編隨機(jī)變量的分布列為101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若E()，則D()_.答案：解析：由題意有abc1,2bac，ac，得a，b，c，所以D()222.離散型隨機(jī)變量的均值與方差：隨機(jī)變量的取值；對(duì)應(yīng)取值的概率計(jì)算簽盒中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的6支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之

4、中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為_答案：5.25解析：由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6)，所以由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)5.25.考情聚焦離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)，常與排列組合、概率等知識(shí)綜合考查主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一與超幾何分布(或古典概型)有關(guān)的均值與方差典題12017江西吉安高三期中近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院的50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：患心肺疾病不患心

5、肺疾病合計(jì)男5女10合計(jì)50已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)，說(shuō)明你的理由；(3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差下面的臨界值表供參考：P(K2k)0.100.050.0250.100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式K2，其中nabcd解(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下.患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男20525女1

6、01525合計(jì)302050(2)因?yàn)镵2，所以K28.333.又P(K27.879)0.0050.5%.那么，我們有99.5%的把握認(rèn)為是否患心肺疾病是與性別有關(guān)系的(3)的所有可能取值：0,1,2,3，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3.則P(k)(k0,1,2,3)所以P(0)；P(1)；P(2)；P(3).則的分布列為0123P則E()0123，D()2222.的數(shù)學(xué)期望及方差分別為E()，D().角度二與事件的相互獨(dú)立性有關(guān)的均值與方差典題2某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定小王到該銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確

7、密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”為事件A，則P(A).(2)依題意，得X所有可能的取值是1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3)1.則X的分布列為X123P所以E(X)123.角度三二項(xiàng)分布的均值與方差典題3某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)

8、球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng)(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)記事件A1從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球，A2從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球，B1顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)，B2顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)，C顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)因?yàn)镻(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2).故所求概率為P(C

9、)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)3.點(diǎn)石成金求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果XB(n，p)，則用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解，可大大減少計(jì)算量考點(diǎn)2均值與方差的性質(zhì)及其在決策中的應(yīng)用 1.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)_.(2)D(aXb)_(a，b為常數(shù))答案：(1)aE(X)b(2)a2D(X)2兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、

10、方差XX服從兩點(diǎn)分布XB(n，p)E(X)_D(X)_答案：p(p為成功概率)npp(1p)np(1p)典題42017山東德州模擬十八屆三中全會(huì)提出以管資本為主加強(qiáng)國(guó)有資產(chǎn)監(jiān)管，改革國(guó)有資本授權(quán)經(jīng)營(yíng)體制.2015年1月20日，中國(guó)恒天集團(tuán)有限公司新能源汽車總部項(xiàng)目簽約儀式在天津舉行，說(shuō)明國(guó)有企業(yè)的市場(chǎng)化改革已經(jīng)踏上新的破冰之旅恒天集團(tuán)和綠地集團(tuán)利用現(xiàn)有閑置資金可選擇投資新能源汽車和投資文化地產(chǎn)，以推進(jìn)混合所有制改革，使國(guó)有資源效益最大化投資新能源汽車：投資結(jié)果盈利40%不賠不賺虧損20%概率投資文化地產(chǎn)：投資結(jié)果盈利50%不賠不賺虧損35%概率pq(1)當(dāng)p時(shí)，求q的值；(2)若恒天集團(tuán)選擇投

11、資新能源汽車，綠地集團(tuán)選擇投資文化地產(chǎn)，如果一年后兩集團(tuán)中至少有一個(gè)集團(tuán)盈利的概率大于，求p的取值范圍；(3)恒天集團(tuán)利用10億元現(xiàn)有閑置資金進(jìn)行投資，決定在投資新能源汽車和投資文化地產(chǎn)這兩種方案中選擇一種，已知q，那么恒天集團(tuán)選擇哪種投資方案，才能使得一年后盈利金額的均值較大？給出結(jié)果并說(shuō)明理由解(1)因?yàn)橥顿Y文化地產(chǎn)后，投資結(jié)果只有“盈利50%”“不賠不賺”“虧損35%”三種，且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立，所以pq1.又p，所以q.(2)記事件A為“恒天集團(tuán)選擇投資新能源汽車且盈利”，事件B為“綠地集團(tuán)選擇投資文化地產(chǎn)且盈利”，事件C為“一年后兩集團(tuán)中至少有一個(gè)集團(tuán)盈利”，則CABAB，且A，B

12、相互獨(dú)立由圖表可知，P(A)，P(B)p，所以P(C)P(A)P(B)P(AB)(1p)ppp.因?yàn)镻(C)p，所以p.又pq1，q0，所以p.所以p.故p的取值范圍為.(3)假設(shè)恒天集團(tuán)選擇投資新能源汽車，且記X為恒天集團(tuán)投資新能源汽車的盈利金額(單位：億元)，則X的所有可能取值為4,0，2，所以隨機(jī)變量X的分布列為X402PE(X)40(2).假設(shè)恒天集團(tuán)選擇投資文化地產(chǎn)，且記Y為恒天集團(tuán)投資文化地產(chǎn)的盈利金額(單位：億元)，則Y的所有可能取值為5,0，3.5，所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y503.5PE(Y)50(3.5).因?yàn)?，所以E(X)E(Y)故恒天集團(tuán)選擇投資新能源汽車，才能使得一年

13、后盈利金額的均值較大點(diǎn)石成金隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值；(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只

14、能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由解：(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.依題意，得P(X60).即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X60)，P(X20)，故X的分布列為X2060P所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為E(X)206040(元)(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元所以，先尋找均值為60元的可能方案對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)

15、的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的均值為E(X1)206010060，X1的方差為D(X1)(2060)2(6060

16、)2(10060)2.對(duì)于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為X2406080PX2的均值為E(X2)40608060，X2的方差為D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.考點(diǎn)3正態(tài)分布問題1.正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作_答案：XN(，2)2正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(1)P(_X_)_；(2)P(_X_)_；(3)P(_X_)_.答案：(1)0.6

17、82 6(2)220.954 4(3)330.997 4典題5(1)設(shè)XN(1，)，YN(2，)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C對(duì)任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)D對(duì)任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)答案D解析由圖象知，12，12，P(Y2)，P(Y1)，故P(Y2)P(Y1)，故A錯(cuò)；因?yàn)?2，所以P(X2)P(X1)，故B錯(cuò)；對(duì)任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)，故C錯(cuò)；對(duì)任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)是正確的，故選D.(2)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間

18、(3,6)內(nèi)的概率為()A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%答案B解析由正態(tài)分布的概率公式知，P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%，故選B.點(diǎn)石成金解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，和分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率.1.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A2 386 B2 718 C3 413 D4 772答案：

19、C解析：由P(1X1)0.682 6，得P(00，試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有_人答案：120解析：N(90，a2)，其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x90對(duì)稱，又成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有600120(人).方法技巧1.求離散型隨機(jī)變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)ab的均值、方差

20、和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解2若X服從正態(tài)分布，即XN(，2)，要充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1的性質(zhì)易錯(cuò)防范1.在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式2對(duì)于應(yīng)用問題，必須對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來(lái)，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差 真題演練集訓(xùn) 12016四川卷同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是_答案：解析：由題意知，

21、試驗(yàn)成功的概率p，故XB，所以E(X)2.22014新課標(biāo)全國(guó)卷從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8Z212.2)；某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，則

22、P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解：(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，從而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.682 6，依題意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)

23、1000.682 668.26.32016新課標(biāo)全國(guó)卷某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值解：(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”

24、，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P(A)0.200.200.10 0.050.55.(2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)0.10 0.050.15. 又P(AB) P(B)，故P(B|A).因此所求概率為.(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為

25、1.23. 課外拓展閱讀 離散型隨機(jī)變量的期望問題離散型隨機(jī)變量的期望常與莖葉圖、頻率分布直方圖、分層抽樣、函數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合，這就為設(shè)計(jì)新穎、內(nèi)在聯(lián)系密切、思維方法靈活的考題開辟了廣闊的空間近年高考中有關(guān)離散型隨機(jī)變量的期望的題目多以解答題形式呈現(xiàn)，一題多問，這樣既降低了起點(diǎn)，又分散了難點(diǎn)，能較全面地考查必然與或然思想、處理交匯性問題的能力和運(yùn)算求解能力，難度多為中等，分值在12分左右現(xiàn)一起走進(jìn)離散型隨機(jī)變量的期望，欣賞其常見的交匯方式與解題方法一、離散型隨機(jī)變量的期望與莖葉圖的交匯問題典例1為備戰(zhàn)2017年青年跳水世錦賽，我國(guó)跳水健兒積極訓(xùn)練，在最近舉行的一次選拔賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)

26、員為爭(zhēng)奪一個(gè)參賽名額進(jìn)行了七輪激烈的比賽，甲、乙兩名選手七輪比賽的得分如圖所示，已知甲的平均得分比乙的平均得分少1.(1)求甲得分的眾數(shù)與乙得分的極差；(2)若從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員不低于80且不高于90的得分中各任選1個(gè)，記甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分之差的絕對(duì)值為，求的分布列及其期望思路分析(1)觀察莖葉圖中甲的數(shù)據(jù)，判斷出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù)；觀察莖葉圖中乙的數(shù)據(jù)，找出最高分與最低分，相減可得乙得分的極差；(2)先求的所有可能取值，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式，求出取各個(gè)值時(shí)的概率，列出其分布列，最后利用期望的定義求出期望值解(1)由莖葉圖可知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員七輪比賽的得分情況如下：甲：78

27、,80m,84,85,84,85,91；乙：79,84,84,86,87,84,91.則乙的平均得分為(79848486878491)85，所以甲的平均得分為85184，即78(80m)848584859184，解得m1.所以甲得分的眾數(shù)為84,85，乙得分的極差為917912.(2)設(shè)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的得分分別為x，y，則|xy|.由莖葉圖可知，的所有可能取值為0,1,2,3,5,6.當(dāng)0時(shí)，xy84，故P(0)；當(dāng)1時(shí)，x85，y84或86，故P(1)；當(dāng)2時(shí)，x84，y86或x85，y87，故P(2)；當(dāng)3時(shí)，x81，y84或x84，y87，故P(3)；當(dāng)5時(shí)，x81，y86，故P(5)

28、；當(dāng)6時(shí)，x81，y87，故P(6).所以的分布列為012356P的期望為E()012356.突破攻略本題以實(shí)際生活為背景，并融入排列、組合、古典概型的概率、隨機(jī)變量的分布列與期望等知識(shí)進(jìn)行探求，有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義與時(shí)代氣息破解離散型隨機(jī)變量的期望與莖葉圖的交匯題的關(guān)鍵：一是看圖說(shuō)話，即看懂莖葉圖，并能適時(shí)提取相關(guān)的數(shù)據(jù)；二是會(huì)求概率，即利用排列、組合知識(shí)，以及古典概型的概率公式求隨機(jī)變量的概率；三是活用定義，利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計(jì)算二、離散型隨機(jī)變量的期望與函數(shù)的交匯問題典例2某次假期即將到來(lái)，喜愛旅游的小陳準(zhǔn)備去廈門游玩，初步打算去鼓浪嶼、南普陀寺、白城浴場(chǎng)三個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)有可

29、能去的概率都是，且是否游覽某個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示小陳離開廈門時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)(1)求的分布列、期望及其方差；(2)記“函數(shù)f(x)x23x1在區(qū)間2，)上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率思路分析(1)依題設(shè)條件可判斷服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布公式即可求出其分布列、期望及方差；(2)先求出二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程，利用f(x)單調(diào)性，可求出的取值范圍，即可求出事件A的概率解(1)依題意，得的所有可能取值分別為0,1,2,3.因?yàn)锽，所以P(0)C3，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C3.所以的分布列為0123P所以的期望為E()31，的方差為D()3.(2)因?yàn)閒(x)212的圖象的對(duì)稱軸方程為x，又函數(shù)f(x)x23x1在2，)上單調(diào)遞增，所以2，即.所以事件A的概率P(A)