1、專題驗(yàn)收評估(三) 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 (時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2017江西贛江調(diào)研)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a418a5，則S8()A18 B36 C54 D72解析：選D數(shù)列an為等差數(shù)列，a4a518，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a4a5a1a818，S872.2(2017昆明模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a2，a43，a66構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q()A1 B2 C3 D4解析：選A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a42d，a66a42d6，所以(a42d)(a42

2、d6)(a43)2，化簡得(2d3)20，解得d，所以q1.3(2017鄭州模擬)張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾初日織五尺，今一月日織九匹三丈”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布則該女最后一天織多少尺布？()A18 B20 C21 D25解析：選C依題意得，該女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為an，其中a15，前30項(xiàng)的和為390，于是有390，解得a3021，即該女最后一天織21尺布，故選C.4(2018屆高三福建六校聯(lián)考)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)

3、和，若S84S4，則a10()A. B. C10 D12解析：選B公差為1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.故選B.5(2017沈陽調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用歸納法假設(shè)證明nk1時(shí)，只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：選A假設(shè)nk時(shí)，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只須將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可6已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a212，a3a5

4、4，則下列說法正確的是()Aan是單調(diào)遞減數(shù)列BSn是單調(diào)遞減數(shù)列Ca2n是單調(diào)遞減數(shù)列DS2n是單調(diào)遞減數(shù)列解析：選C由于an是等比數(shù)列，則a3a5a4，又a212，則a40，所以a42，q2，當(dāng)q時(shí)，an和Sn不具有單調(diào)性，選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤；a2na2q2n212n1單調(diào)遞減，選項(xiàng)C正確；當(dāng)q時(shí)，S2n不具有單調(diào)性，選項(xiàng)D錯(cuò)誤7(2017杭州模擬)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，2為a4與a14的等比中項(xiàng)，則2a7a11的最小值為()A16 B8 C6 D4解析：選B因?yàn)閍n是正項(xiàng)等比數(shù)列，且2為a4與a14的等比中項(xiàng)，所以a4a148a7a11，則2a7a112a728，當(dāng)且僅當(dāng)a72時(shí)，等號成立，

5、所以2a7a11的最小值為8，故選B.8(2017江西吉安一中模擬)已知等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11，且a3，a4，a11成等比數(shù)列若pq10，則apaq()A14 B15 C16 D17解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意分析知d0，因?yàn)閍3，a4，a11成等比數(shù)列，所以2a3a11，即2(12d)(110d)，即44d236d450，所以d，所以an，所以apaq(pq)15.9(2018屆高三豫南十校聯(lián)考)設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對任意的x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)若a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是()A. B.

6、C. D.解析：選C在f(x)f(y)f(xy)中，令xn，y1，得f(n1)f(n)f(1)，又a1，anf(n)(nN*)，則an1an，所以數(shù)列an是首項(xiàng)和公比都是的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn1，故選C.10(2017湖南長沙一中月考)已知數(shù)列an滿足2，則對于任意的正整數(shù)n，下列關(guān)系式不成立的是()Aa1a2a2a3anan1B.C.D.1解析：選D在2中令n1，解得a11，且當(dāng)n2時(shí)，有2，兩式相減得n(n2)，故an(n2)，當(dāng)n1時(shí)，此式也成立，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.因而，a1a2a2a3anan11，選項(xiàng)A中的等式成立.12n，選項(xiàng)B中的等式成立.110，公差d0.若a1a

7、260，a2a3100，則5a1a5的最大值為_，取到最大值時(shí)d_，a1_.解析：由題意可得點(diǎn)(a1，d)滿足對應(yīng)的平面區(qū)域是如圖所示的以點(diǎn)A，B(20,20)，C(30，0)，O(0,0)為頂點(diǎn)的四邊形(不包含坐標(biāo)軸上的點(diǎn))，又5a1a56a14d，故經(jīng)過B點(diǎn)，即a1d20時(shí)，5a1a5取得最大值200.答案：200202013已知數(shù)列an是等比數(shù)列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格內(nèi)，又a1，a2，a3中任何兩個(gè)都不在同一列，則q_，an_(nN*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188解析：觀察題中的表格可知a1，a2，a3分別為2,

8、6,18，即an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，an23n1.答案：323n114(2017臺(tái)州模擬)已知數(shù)列an的前m(m4)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，從第m1項(xiàng)起，am1，am，am1，成公比為2的等比數(shù)列若a12，則m_，an的前6項(xiàng)和S6_.解析：由題意，得am1a1(m2)d2m6，am2m4，則由2，解得m4，所以數(shù)列an的前6項(xiàng)依次為2,0,2,4,8,16，所以S628.答案：42815(2017云南昆明質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系上，有一點(diǎn)列：P1，P2，Pn，(nN*)，設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為(n，an)，其中an(nN*)，過點(diǎn)Pn，Pn1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為bn，設(shè)

9、Sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，則S5_.解析：由題意得，過點(diǎn)Pn，Pn1的直線為，即2xn(n1)y2(2n1)0.令y0，得x2n1，令x0，得y，所以bn(2n1)44，所以S5451.答案：16(2017蘭州模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且.設(shè)bnan，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若對一切nN*，均有Tn，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：當(dāng)n1時(shí)，當(dāng)n2時(shí)，當(dāng)n1時(shí)也成立，所以Snn(n1)，nN*，則a12，anSnSn12n，n2，當(dāng)n1時(shí)也成立，所以an2n，nN*.則bnan，數(shù)列bn是等比數(shù)列，所以其前n項(xiàng)和Tn，所以解得m0，且a1)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f(n

10、)c，數(shù)列bn(bn0)的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足：SnSn1(n2)(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列cn的通項(xiàng)cnbnn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn.解：(1)f(1)a，f(x)x，a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c.又?jǐn)?shù)列an成等比數(shù)列，a1c，c1.又公比q，ann12n(nN*)SnSn1()()(n2)，bn0，0，1，數(shù)列 構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，1(n1)1n，Snn2.當(dāng)n2時(shí)，bnSnSn1n2(n1)22n1，又b1c2111滿足bn2n1，bn2n1(nN*)(2)cnbnn(2n1)n，Rnc1c2c3c

11、n113253(2n1)n，Rn123354(2n3)n(2n1)n1.由得，Rn2(2n1)n1，化簡得，Rn2(2n1)n1n，Rn1.20(本小題滿分15分)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a223a72，且，S3成等比數(shù)列，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若對于任意的nN*，都有8Tn225成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由得即解得或當(dāng)a1，d時(shí)， 沒有意義，a12，d2，此時(shí)an22(n1)2n.(2)bn.Tnb1b2b3bn.8Tn323，為滿足題意，必須2253，或3.21(本小題滿分15分)在數(shù)列an中，a11，a2，an1anan10(n2，且nN*)(1)若數(shù)列an1an是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)Sn，求證：Sn0，由an3an1(n2)，得an3an1，(n2)，SnSn，Sn.22(本小題滿分15分)(2017紹興模擬)已知數(shù)列an滿足，a11，an.(1)求證：an；(2)求證：|an1an|；(3)求證：|a2nan|.證明：(1)由已知得an1，又a11，則a2，a3，a4，猜想an1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)