1、第9章 強(qiáng)度理論及組合變形概述如圖9-1所示的各種處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)，當(dāng)單元體微分面上的正應(yīng)力滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件，同時(shí)切應(yīng)力滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件時(shí)，依然不能判別其在強(qiáng)度上是否安全。那么它們?cè)谑裁辞闆r下安全？又在什么情況下危險(xiǎn)？本章的強(qiáng)度理論部分就要回答這個(gè)問(wèn)題。圖9-1 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)(a)(b)(c)材料力學(xué)主要研究桿件以及桿件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在外力作用下的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題，而材料力學(xué)最復(fù)雜的問(wèn)題是桿件的組合變形問(wèn)題，最一般的組合變形桿件危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通常是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，如圖9-2所示。因此，本章強(qiáng)度理論的諸多結(jié)論主要用于組合變形桿件的強(qiáng)度計(jì)算和設(shè)計(jì)，所以，本章組合變形部分主要研究桿件各種組合

2、變形情況下的強(qiáng)度計(jì)算。圖9-2 組合變形危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)9.1 強(qiáng)度理論概念根據(jù)材料力學(xué)的強(qiáng)度觀點(diǎn)，構(gòu)件在強(qiáng)度方面的安全性實(shí)質(zhì)上可考察構(gòu)件中的危險(xiǎn)點(diǎn)是否安全，若危險(xiǎn)點(diǎn)安全，則整個(gè)構(gòu)件也安全；若危險(xiǎn)點(diǎn)不安全，則整個(gè)構(gòu)件就不安全。假設(shè)構(gòu)件中點(diǎn)是最危險(xiǎn)的點(diǎn)，問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)處于任意應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，亦即點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，也可以是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，那么該點(diǎn)在什么情況下強(qiáng)度是安全的？又在什么情況下強(qiáng)度是不安全的？如何判斷？如果點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，如圖9-3所示。那么可以根據(jù)強(qiáng)度條件： （9-1）判別點(diǎn)的安全性。如果危險(xiǎn)點(diǎn)是單向應(yīng)力狀態(tài)，則是點(diǎn)處的最大正應(yīng)力(圖9-3(a)；如果危險(xiǎn)點(diǎn)是純剪應(yīng)力狀態(tài)

3、，則是點(diǎn)處的最大切應(yīng)力(圖9-3(b)。從而也就知道桿件在強(qiáng)度上是否安全。是材料的許用正應(yīng)力；是材料的許用切應(yīng)力。大量事實(shí)說(shuō)明，工程材料的破壞形式主要有兩種，一是脆性斷裂，二是塑性屈服，脆性斷裂的極限應(yīng)力為強(qiáng)度極限，而塑性屈服的極限應(yīng)力為屈服應(yīng)力，考慮到諸多偶然因素的影響（如材料缺陷，加工誤差，實(shí)際工作環(huán)境，載荷非理想化等等），所以通常將極限應(yīng)力除以一個(gè)適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)，這樣就得到材料的許用正應(yīng)力和許用切應(yīng)力。圖9-3 簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度控制參數(shù) (a)(b)以上判別處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)的強(qiáng)度的方法可以這樣來(lái)理解：由于點(diǎn)單元體微分面上只有唯一的應(yīng)力（單向應(yīng)力狀態(tài)）或（純剪應(yīng)力狀態(tài)）（圖9-3），顯

4、然點(diǎn)的強(qiáng)度是由這唯一的應(yīng)力或控制，所以或可認(rèn)為是點(diǎn)的強(qiáng)度控制參數(shù)。于是可得如下結(jié)論：處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)的強(qiáng)度控制參數(shù)只有唯一的一個(gè)，即或；當(dāng)該點(diǎn)的強(qiáng)度控制參數(shù)達(dá)到其許可值或時(shí)，該點(diǎn)的強(qiáng)度也達(dá)到臨界狀態(tài)。因此可以用式（9-1）來(lái)判別處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)的強(qiáng)度是否安全。另外，由于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)在實(shí)驗(yàn)室里很容易通過(guò)材料試件的簡(jiǎn)單拉伸以及扭轉(zhuǎn)得到，因此，各種材料的許用應(yīng)力或可通過(guò)材料實(shí)驗(yàn)以及選擇合理的安全系數(shù)而得到。從而也很容易就可建立處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)的強(qiáng)度條件式（9-1），這樣也就可以判別危險(xiǎn)點(diǎn)是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的桿件在強(qiáng)度上是否安全了。材料力學(xué)中處于拉伸壓縮，扭轉(zhuǎn)以及橫力彎曲的桿件，其危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力

5、狀態(tài)都是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，所以它們的強(qiáng)度均可由式（9-1）來(lái)確定。如果點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，如圖9-2所示。這時(shí)很明顯，點(diǎn)的強(qiáng)度控制參數(shù)不再是唯一的了，那么又如何判別該點(diǎn)的強(qiáng)度呢？考察最一般的應(yīng)力狀態(tài)，如圖9-4（a）所示，容易想到，一點(diǎn)的強(qiáng)度是由該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)所決定。而該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)根據(jù)上章應(yīng)力狀態(tài)分析的內(nèi)容可知，是由該點(diǎn)的任意一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)矩陣決定的，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)矩陣有無(wú)窮多個(gè)，而最簡(jiǎn)單的是該點(diǎn)主單元體所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)矩陣，如圖9-4（b）所示，即： （9-2）其中，是所考察點(diǎn)的主應(yīng)力。另外，主應(yīng)力是過(guò)一點(diǎn)所有截面上的正應(yīng)力的極值應(yīng)力，而大量事實(shí)說(shuō)明，材料的破壞總是和某種極值應(yīng)力有關(guān)，所

6、以，根據(jù)上述分析可以認(rèn)為：一點(diǎn)的強(qiáng)度是由該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力決定的，也就是說(shuō)，對(duì)于一般的應(yīng)力狀態(tài)來(lái)說(shuō)，一點(diǎn)的強(qiáng)度控制參數(shù)有三個(gè)，即該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力。圖9-4 一般應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度控制參數(shù)(a)(b)需要注意的是，簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)是一般應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，也應(yīng)該滿足上述結(jié)論，而簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度判別式已經(jīng)說(shuō)明具有式（9-1）的形式，因此，仿照簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件，一般應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度判別式可寫為： （9-3）其中，函數(shù)是強(qiáng)度控制參數(shù)的某種組合，是材料的許用應(yīng)力，可通過(guò)材料的簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)獲得，稱為等效應(yīng)力或相當(dāng)應(yīng)力。式（9-3）是一個(gè)人為構(gòu)造的判別式，人們希望通過(guò)這個(gè)判別式可以確定處于任意應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)在強(qiáng)度

7、上是否安全。但問(wèn)題是函數(shù)應(yīng)該是什么形式？也就是說(shuō)強(qiáng)度控制參數(shù)具有什么樣的組合就可由式（9-3）判別處于任意應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)在強(qiáng)度上的安全性？因此，通過(guò)一系列的理論和實(shí)驗(yàn)尋找函數(shù)，也即尋找強(qiáng)度控制參數(shù)的某種合理的組合，從而建立起的滿足實(shí)際情況的判別式（9-3），就稱為強(qiáng)度理論或強(qiáng)度準(zhǔn)則。建立合理的滿足實(shí)際情況的一般應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度準(zhǔn)則，即式（9-3），實(shí)際上面臨的是一個(gè)困境。首先，沒(méi)有任何一個(gè)已知的理論可以通過(guò)邏輯推理演繹得到函數(shù)；其次，通過(guò)材料實(shí)驗(yàn)尋找函數(shù)實(shí)際上也是不可能的，這是因?yàn)橛扇齻€(gè)參數(shù)控制的實(shí)驗(yàn)不僅要做很多組，而且實(shí)驗(yàn)設(shè)備和條件也不可能對(duì)三個(gè)參數(shù)任意連續(xù)變化時(shí)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行精確控制。因此，在理論

8、邏輯推理以及實(shí)驗(yàn)兩方面試圖建立強(qiáng)度準(zhǔn)則（9-3）實(shí)際上是不可能的，那么，如何走出這個(gè)困境呢？科學(xué)研究特別是面對(duì)未知領(lǐng)域的研究通常采用一種行之有效的方法，那就是：假說(shuō)建立理論實(shí)踐檢驗(yàn)，這是任何一個(gè)科學(xué)理論的必經(jīng)之路。而材料力學(xué)的強(qiáng)度理論的建立就是通過(guò)這一過(guò)程克服上述理論和實(shí)驗(yàn)上的困難的，具體步驟是： 假說(shuō)材料的破壞機(jī)理：對(duì)于某類材料，無(wú)論該材料的點(diǎn)處于什么應(yīng)力狀態(tài)，假設(shè)其破壞原因并認(rèn)為引起材料破壞的原因均是相同的。 建立強(qiáng)度理論：根據(jù)材料的破壞機(jī)理以及材料的簡(jiǎn)單破壞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立強(qiáng)度判別式： 實(shí)踐檢驗(yàn)：將所建立的強(qiáng)度理論在工程實(shí)際中進(jìn)行檢驗(yàn)，如果其能預(yù)測(cè)實(shí)際工程中某一大類材料在強(qiáng)度上的安全性，則該

9、強(qiáng)度理論就具有一定的理論和應(yīng)用價(jià)值，是合理的強(qiáng)度理論；反之就是不合理的強(qiáng)度理論，必須拋棄。 材料力學(xué)正是通過(guò)上述過(guò)程建立了一些常用的強(qiáng)度理論，但必須注意：（1）強(qiáng)度理論的建立是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，因?yàn)楸仨氁?jīng)過(guò)工程實(shí)際的長(zhǎng)期檢驗(yàn)。（2）目前還不存在一個(gè)包羅所有材料的強(qiáng)度理論，因此，一些常用的強(qiáng)度理論僅適合某一類材料，而且或多或少存在一些理論上的缺陷。（3）只要假說(shuō)一種材料的破壞機(jī)理就可建立一種強(qiáng)度理論，歷史上許多人建立過(guò)不同的強(qiáng)度理論，但大多數(shù)在實(shí)踐檢驗(yàn)中被淘汰，目前只有四種強(qiáng)度理論在工程中還在廣泛應(yīng)用。（4）隨著對(duì)材料性能的深入研究以及新材料的不斷出現(xiàn)，一些新的強(qiáng)度理論也在陸續(xù)出現(xiàn)，所以，強(qiáng)度理

10、論的研究目前仍然是固體力學(xué)一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域。9.2 四個(gè)常用的強(qiáng)度理論目前在工程中廣泛應(yīng)用的強(qiáng)度理論有四種，都是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐檢驗(yàn)證明在某類材料中是基本符合工程實(shí)際的。這四個(gè)常用的強(qiáng)度理論可分為兩類，一類是脆性斷裂理論，只適用于脆性材料；另一類是塑性屈服理論，只適用于塑性材料。9.2.1 脆性斷裂理論（1） 第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論） 破壞機(jī)理：無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，材料破壞的原因是最大拉應(yīng)力達(dá)到臨界值，如圖9-5所示。圖9-5 第一強(qiáng)度理論的破壞機(jī)理(a)(b)破壞面達(dá)到臨界值破壞面達(dá)到臨界值 強(qiáng)度理論的建立：任何應(yīng)力狀態(tài)，最大拉應(yīng)力是第一主應(yīng)力，而材料簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞應(yīng)力為，考慮

11、安全系數(shù)，則材料的許用應(yīng)力為，于是第一強(qiáng)度理論為： （9-4） 實(shí)踐檢驗(yàn)：第一強(qiáng)度理論與石材，鑄鐵，玻璃，陶瓷等脆性材料的工程實(shí)際以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得很好，所以該理論廣泛用于脆性材料的強(qiáng)度計(jì)算和設(shè)計(jì)。但很明顯，第一強(qiáng)度理論不能用于沒(méi)有拉應(yīng)力的情況，例如單向以及雙向或三向受壓應(yīng)力狀態(tài)等等。另外，第一強(qiáng)度理論在理論上是不完美的，這一點(diǎn)在稍后強(qiáng)度理論的簡(jiǎn)要評(píng)述中講解。（2） 第二強(qiáng)度理論（最大線應(yīng)變理論） 破壞機(jī)理：無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，材料破壞的原因是最大線應(yīng)變達(dá)到臨界值，如圖9-6所示。圖9-6 第二強(qiáng)度理論的破壞機(jī)理(a)(b)破壞面達(dá)到臨界值破壞面達(dá)到臨界值 強(qiáng)度理論的建立：任何應(yīng)力狀態(tài)，

12、最大線應(yīng)變是第一主應(yīng)變，而材料簡(jiǎn)單拉伸破壞時(shí)的應(yīng)變?yōu)?，考慮安全系數(shù)，則材料應(yīng)變的臨界值為，于是第二強(qiáng)度理論為：整理后為： （9-5） 實(shí)踐檢驗(yàn)：第二強(qiáng)度理論也只適用于脆性材料，它能用于一些沒(méi)有拉應(yīng)力的情況，但不能用于沒(méi)有拉應(yīng)變的情況。9.2.2 塑性屈服理論（1） 第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論） 破壞機(jī)理：無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，材料塑性屈服的原因是最大切應(yīng)力達(dá)到臨界值，如圖9-7所示。 強(qiáng)度理論的建立：任何應(yīng)力狀態(tài)，最大切應(yīng)力為：；而塑性材料簡(jiǎn)單拉伸達(dá)到屈服時(shí)的最大應(yīng)力為，此時(shí)斜截面上的切應(yīng)力最大，為：，這即是切應(yīng)力的臨界值，考慮到安全系數(shù)，則材料最大切應(yīng)力的臨界值為，于是第三強(qiáng)度理論為：

13、，即：整理后為： （9-6）圖9-7 第三強(qiáng)度理論的破壞機(jī)理(a)(b)屈服面達(dá)到臨界值屈服面達(dá)到臨界值 實(shí)踐檢驗(yàn)：第三強(qiáng)度理論只適用于塑性材料，大量實(shí)踐證明，該理論在工程構(gòu)件的強(qiáng)度設(shè)計(jì)中與實(shí)際情況符合得很好，因此，第三強(qiáng)度理論在工程中得到廣泛的應(yīng)用。當(dāng)然，第三強(qiáng)度理論在理論上并不是完美的，這一點(diǎn)也在稍后強(qiáng)度理論的簡(jiǎn)要評(píng)述中講解。（2） 第四強(qiáng)度理論（最大形狀改變比能理論） 破壞機(jī)理：無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，材料塑性屈服的原因是最大形狀改變比能達(dá)到臨界值，如圖9-8所示。彈性體變形后具有作功的能力，則變形后的彈性體中儲(chǔ)存有一種能量，這種能量稱為變形能或應(yīng)變能，彈性體單位體積中儲(chǔ)存的應(yīng)變能稱為

14、應(yīng)變比能或簡(jiǎn)稱為比能，應(yīng)變比能分為兩部分，一部分使彈性體的體積產(chǎn)生改變，稱為體積改變比能，而另一部分使彈性體的形狀產(chǎn)生改變，稱為形狀改變比能。這里涉及到彈性體的能量原理等概念，請(qǐng)參見(jiàn)本書能量法一章內(nèi)容，這里只引用結(jié)果。形狀改變到極限狀態(tài)材料屈服圖9-8 第四強(qiáng)度理論的破壞機(jī)理(a) 能量使體積改變球形單位體積材料(b) 能量使體積和形狀改變 強(qiáng)度理論的建立：無(wú)論什么應(yīng)力狀態(tài)，線彈性體的形狀改變比能為：。而塑性材料簡(jiǎn)單拉伸達(dá)到屈服時(shí)的最大應(yīng)力為：，此時(shí)，則材料的形狀改變比能的臨界值為：，考慮到安全系數(shù)，則為：，所以，第四強(qiáng)度理論為：，即：整理后為： （9-7） 實(shí)踐檢驗(yàn)：第四強(qiáng)度理論也只適用于塑

15、性材料，實(shí)踐證明，該理論與相當(dāng)多的塑性材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得很好。因此，第四強(qiáng)度理論在工程中也得到廣泛應(yīng)用。但是，盡管第四強(qiáng)度理論在理論上非常完美，但在實(shí)際工程中不如第三強(qiáng)度理論應(yīng)用廣泛，這一點(diǎn)也在稍后強(qiáng)度理論的簡(jiǎn)要評(píng)述中講解。9.2.3 四個(gè)常用強(qiáng)度理論的簡(jiǎn)要評(píng)述由前所述，強(qiáng)度理論是判別處于任意應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)在強(qiáng)度上安全性的一套理論，這套理論是依據(jù)假說(shuō)建立理論實(shí)踐檢驗(yàn)這一科學(xué)理論的必由之路建立起來(lái)的，因此，強(qiáng)度理論跟實(shí)際工程是緊密相聯(lián)的，在實(shí)踐中檢驗(yàn)也在實(shí)踐中發(fā)展。但是，必須注意的是：任何一個(gè)科學(xué)理論從理論體系上來(lái)說(shuō)必須是自洽的。簡(jiǎn)單地說(shuō)，任何一個(gè)科學(xué)理論應(yīng)該是完備和完美的，不應(yīng)存在形式上或邏輯

16、上的缺陷。下面就四個(gè)常用的強(qiáng)度理論在這方面進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)要評(píng)述，從而了解這些常用強(qiáng)度理論的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，以指導(dǎo)實(shí)際工程的應(yīng)用。 注意到一點(diǎn)的強(qiáng)度是由三個(gè)強(qiáng)度控制參數(shù)，也即該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力所決定，因此，就理論形式上說(shuō)，一個(gè)完備和完美的強(qiáng)度理論至少應(yīng)具備如下特點(diǎn)： 理論基礎(chǔ)：強(qiáng)度理論所依據(jù)的假說(shuō)應(yīng)具有明顯的物理意義。 完備性：等效應(yīng)力應(yīng)該與三個(gè)強(qiáng)度控制參數(shù)都有關(guān)。也就是說(shuō)，參數(shù)對(duì)該點(diǎn)的強(qiáng)度都有影響。 完美性：等效應(yīng)力中的三個(gè)強(qiáng)度控制參數(shù)不應(yīng)存在主次之分。因?yàn)槭撬疾禳c(diǎn)的主應(yīng)力，而任何一個(gè)主應(yīng)力并不具有特殊地位，也就是說(shuō)，參數(shù)對(duì)該點(diǎn)強(qiáng)度的影響程度應(yīng)該是相同的，如果將三個(gè)強(qiáng)度控制參數(shù)輪換后等效應(yīng)力在形式上以

17、及數(shù)值上都應(yīng)該是不變的，因此，三個(gè)主應(yīng)力無(wú)須人為地進(jìn)行區(qū)分。下面具體分析四個(gè)常用的強(qiáng)度理論：（1） 第一強(qiáng)度理論為。該理論沒(méi)有考慮第二第三主應(yīng)力對(duì)所考察點(diǎn)強(qiáng)度的影響，而且不能用于沒(méi)有拉應(yīng)力的情況。所以在理論上第一強(qiáng)度理論是不完備也不完美的。（2） 第二強(qiáng)度理論為。盡管該理論考慮到了三個(gè)主應(yīng)力對(duì)所考察點(diǎn)強(qiáng)度的影響，但三個(gè)主應(yīng)力的影響程度或地位是不相同的，第一主應(yīng)力處于主要地位，而第二第三主應(yīng)力處于次要地位，因此，正因?yàn)橐恍┏Ｓ脧?qiáng)度理論的不完備或不完美性使得必須人為地區(qū)分三個(gè)主應(yīng)力，一般三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值大小排列以示區(qū)別，即：。所以在理論上第二強(qiáng)度理論是不完美的。第一第二強(qiáng)度理論只適用于脆性材料，

18、實(shí)踐表明，盡管這兩個(gè)強(qiáng)度理論在理論上存在不完備也不完美的缺陷，但在實(shí)際工程中還是得到廣泛的應(yīng)用，特別是第一強(qiáng)度理論，脆性材料在強(qiáng)度上的安全性基本上采用的是這個(gè)理論，原因是該理論簡(jiǎn)單而且用這個(gè)理論設(shè)計(jì)出的工程構(gòu)件更偏于安全。（3）第三強(qiáng)度理論為。該理論沒(méi)有考慮第二主應(yīng)力對(duì)所考察點(diǎn)強(qiáng)度的影響。所以在理論上第三強(qiáng)度理論是不完備和不完美的。但是，在實(shí)際工程中，這一理論廣泛用于塑性材料的強(qiáng)度計(jì)算和設(shè)計(jì)。（4）第四強(qiáng)度理論為。該理論是訖今為止最完美的一個(gè)強(qiáng)度理論，它所依據(jù)的假說(shuō)有明顯的物理意義，既形狀改變比能；另外，其等效應(yīng)力考慮到了三個(gè)主應(yīng)力對(duì)所考察點(diǎn)強(qiáng)度的影響；更重要的是三個(gè)主應(yīng)力對(duì)所考察點(diǎn)強(qiáng)度的影響

19、程度完全是相同的；即在等效應(yīng)力中，三個(gè)主應(yīng)力的地位是完全相同的，而且無(wú)須人為區(qū)分三個(gè)主應(yīng)力，也就是說(shuō) ，無(wú)論將哪個(gè)主應(yīng)力作為第一第二或第三主應(yīng)力，等效應(yīng)力都是不變的。所以，第四強(qiáng)度理論從理論上來(lái)說(shuō)是十分完備和完美的。第三第四強(qiáng)度理論只適用于塑性材料，大量實(shí)踐表明，這兩個(gè)理論對(duì)塑性材料強(qiáng)度的預(yù)測(cè)與實(shí)際情況吻合得很好。但是，盡管第三強(qiáng)度理論在理論上存在缺陷，但在實(shí)際工程中卻比第四強(qiáng)度理論應(yīng)用得更為廣泛，原因是第三強(qiáng)度理論比較簡(jiǎn)單而且用這個(gè)理論設(shè)計(jì)出的工程構(gòu)件更偏于安全。除了上述常見(jiàn)的強(qiáng)度理論之外，也有人依據(jù)別的假說(shuō)建立了其它一些強(qiáng)度理論。例如莫爾（Mohr）強(qiáng)度理論以及雙切應(yīng)力理論等等，讀者可參閱

20、其它材料力學(xué)教材，這里不多贅述。9.2.4 工程中強(qiáng)度理論的選擇在實(shí)際工程中如何選用合理的強(qiáng)度理論，是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題。一般而言，在常溫靜載荷情況下，如鑄鐵，混凝土，石材，玻璃等脆性材料，產(chǎn)生脆性斷裂時(shí)，通常采用第一，第二或莫爾強(qiáng)度理論；如碳鋼，銅，鋁等塑性材料，產(chǎn)生塑性屈服，則采用第三，第四或雙切應(yīng)力強(qiáng)度理論。必須指出，不同材料可以發(fā)生不同形式的破壞；但同一材料，在不同的應(yīng)力狀態(tài)下，也可能發(fā)生不同的破壞形式。例如，碳鋼制成的螺桿拉伸時(shí)，螺紋根部由于應(yīng)力集中引起三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)而產(chǎn)生脆性斷裂破壞。又如誶火鋼球壓在鑄鐵板上，接觸點(diǎn)附近的鑄鐵處于三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)，鑄鐵板將會(huì)出現(xiàn)明顯的塑性凹坑。所

21、以，無(wú)論是脆性材料還是塑性材料，在三向接近等值拉應(yīng)力作用下，均會(huì)產(chǎn)生脆性破壞，這時(shí)宜采用脆性斷裂強(qiáng)度理論判別其安全性。而在三向接近等值壓應(yīng)力作用下，均會(huì)產(chǎn)生塑性屈服，這時(shí)宜采用塑性屈服強(qiáng)度理論判別其安全性。9.3 強(qiáng)度理論的應(yīng)用材料力學(xué)中，強(qiáng)度理論主要用于組合變形桿件的強(qiáng)度計(jì)算和設(shè)計(jì)，這是因?yàn)橐话憬M合變形桿件的危險(xiǎn)點(diǎn)通常處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，而由簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件是無(wú)法判別其安全性的，所以必須應(yīng)用強(qiáng)度理論。由于強(qiáng)度理論是判別處于任意應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)在強(qiáng)度上安全性的理論，它也應(yīng)適合簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，也就是說(shuō)，強(qiáng)度理論在簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)情況下應(yīng)退化到前述各章的強(qiáng)度條件，因此，強(qiáng)度理論也適用于拉伸壓縮，扭轉(zhuǎn)以及

22、彎曲等桿件的強(qiáng)度計(jì)算和設(shè)計(jì)。 下面就一些基本的應(yīng)力狀態(tài)討論強(qiáng)度理論的應(yīng)用。9.3.1 單向應(yīng)力狀態(tài)如圖9-9所示的單向應(yīng)力狀態(tài)是一種廣泛存在的應(yīng)力狀態(tài)。軸向拉伸壓縮桿件的各點(diǎn)（除應(yīng)力集中區(qū)域），彎曲梁的最大正應(yīng)力點(diǎn)（上下緣點(diǎn)）以及一些簡(jiǎn)單組合變形桿件的危險(xiǎn)點(diǎn)均處于這種應(yīng)力狀態(tài)。圖9-9 單向應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)，其三個(gè)主應(yīng)力為： 將其代入四個(gè)常用強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力，可發(fā)現(xiàn)其均為，所以，各強(qiáng)度理論均為：，也即是前述各章的正應(yīng)力強(qiáng)度條件。9.3.2 純剪應(yīng)力狀態(tài)如圖9-10所示的純剪應(yīng)力狀態(tài)也十分常見(jiàn)。受扭轉(zhuǎn)作用的軸的各點(diǎn)以及彎曲梁的中性軸上的各點(diǎn)（不一定是危險(xiǎn)點(diǎn)），就處于純剪應(yīng)力狀態(tài)。圖9-

23、10 純剪應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于純剪應(yīng)力狀態(tài)，其三個(gè)主應(yīng)力為： 對(duì)脆性材料來(lái)說(shuō)，宜采用第一或第二強(qiáng)度理論判別處于純剪應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)的安全性，則有： 材料的破壞沿與水平線成的方向破壞，這與脆性材料圓軸扭轉(zhuǎn)破壞的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。對(duì)塑性材料來(lái)說(shuō)，宜采用第三或第四強(qiáng)度理論判別處于純剪應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)的安全性，則有： 由第三強(qiáng)度理論，切應(yīng)力的最大允許值為：而由第四強(qiáng)度理論，切應(yīng)力的最大允許值為：所以，對(duì)于塑性材料，許用切應(yīng)力和許用正應(yīng)力之間存在關(guān)系： （9-8）在引入許用切應(yīng)力后，則純剪應(yīng)力狀態(tài)可用下面的剪切強(qiáng)度條件判別其安全性：9.3.3 的平面應(yīng)力狀態(tài)這種特殊的平面應(yīng)力狀態(tài)是單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪應(yīng)力狀態(tài)的疊加，如圖9-

24、11所示。一般組合變形桿件的危險(xiǎn)點(diǎn)，彎扭組合變形的危險(xiǎn)點(diǎn)以及拉扭組合變形的危險(xiǎn)點(diǎn)就是這種應(yīng)力狀。圖9-11 特殊的平面應(yīng)力狀態(tài)對(duì)的平面應(yīng)力狀態(tài)，有： 容易驗(yàn)證，無(wú)論正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；是正還是負(fù)；這種平面應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力均為： 如果材料是脆性材料，采用第一或第二強(qiáng)度理論判別其安全性，則有： （9-9） （9-10）如果材料是塑性材料，采用第三或第四強(qiáng)度理論判別其安全性，則有： （9-11） （9-12）由式（9-11）和式（9-12）可以看出，恒有：，于是可得如下結(jié)論：對(duì)材料力學(xué)問(wèn)題而言，滿足第三強(qiáng)度理論則一定也滿足第四強(qiáng)度理論。因此，由第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的桿件比第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)的桿件

25、更偏于安全，所以，在工程中，盡管第三強(qiáng)度理論不如第四強(qiáng)度理論那么合理和完美，但前者比后者用得更廣泛。另外，當(dāng)時(shí)為單向應(yīng)力狀態(tài)，各強(qiáng)度理論退化到（如本節(jié)第1小節(jié)所述）；而當(dāng)時(shí)為純剪應(yīng)力狀態(tài)，各強(qiáng)度理論退化到（如本節(jié)第2小節(jié)所述）。需要注意，材料力學(xué)問(wèn)題也就是桿件或桿件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在外力作用下的安全性問(wèn)題，大多數(shù)其危險(xiǎn)點(diǎn)是的平面應(yīng)力狀態(tài)。所以本小節(jié)內(nèi)容是桿件強(qiáng)度計(jì)算和設(shè)計(jì)的最基本的內(nèi)容。9.4 組合變形的強(qiáng)度計(jì)算應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)分析以及強(qiáng)度理論都是為組合變形的強(qiáng)度計(jì)算做準(zhǔn)備，下面就研究各種組合變形桿件的強(qiáng)度計(jì)算。 9.4.1 組合變形桿件強(qiáng)度計(jì)算步驟（1）確定桿件是否是組合變形，是什么形式的組合變形。桿

26、件是否是組合變形以及是什么形式的組合變形通常可直觀地判斷。（2）確定組合變形桿件的危險(xiǎn)截面，計(jì)算危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力。一般等截面組合變形桿件的危險(xiǎn)截面可直觀地判斷，然后用截面法計(jì)算危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力；有時(shí)可能存在幾個(gè)可能的危險(xiǎn)截面，則需將這幾個(gè)可能危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力算出并進(jìn)行比較，以確定最危險(xiǎn)的截面。一般變截面組合變形桿件如果不能采用直觀的方法確定危險(xiǎn)截面，則可通過(guò)計(jì)算任意截面上的內(nèi)力和應(yīng)力，當(dāng)軸線坐標(biāo)變化時(shí)，則最大應(yīng)力所在的截面就是危險(xiǎn)截面。（3）確定危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)，分析危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。確定了危險(xiǎn)截面后，很容易就可確定危險(xiǎn)點(diǎn)。一般組合變形桿件危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通常是的平面應(yīng)力狀態(tài)，上節(jié)已對(duì)其進(jìn)行

27、了詳細(xì)的分析。（4）選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論計(jì)算組合變形桿件的強(qiáng)度。選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論（式（9-11）（9-14）計(jì)算組合變形桿件的強(qiáng)度，組合變形桿件強(qiáng)度的計(jì)算包括三個(gè)方面：校核組合變形桿件的強(qiáng)度。計(jì)算組合變形桿件的許可載荷。計(jì)算組合變形桿件的許可截面尺寸。9.4.2 各種組合變形桿件的強(qiáng)度（1）一般組合變形一般組合變形就是桿件同時(shí)產(chǎn)生拉壓，彎曲，扭轉(zhuǎn)以及剪切等各種基本變形的情況。由于剪切引起的切應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它基本變形所引起的應(yīng)力，所以剪切引起的變形以及其切應(yīng)力通常忽略不計(jì)，因此，一般組合變形就是拉（壓）彎扭組合變形，如圖9-12(a)所示。圖9-12 拉彎扭組合變形(a)(b)(c)假設(shè)一般組合

28、變形桿件危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力已求得為：軸力 彎矩 扭矩 危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為桿件的上緣點(diǎn)或下緣點(diǎn)，其應(yīng)力狀態(tài)分別如圖9-12(b)和9-12(c)所示。注意到： ,點(diǎn)單元體上的正應(yīng)力可統(tǒng)一寫為： 若材料是脆性材料，通常為拉應(yīng)力的那點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)；如兩點(diǎn)的均為壓應(yīng)力，則壓應(yīng)力最大點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)。若材料是塑性材料，則,兩點(diǎn)中絕對(duì)值最大的那點(diǎn)就是危險(xiǎn)點(diǎn)。 若材料是脆性材料，采用第一或第二強(qiáng)度理論計(jì)算拉彎扭組合變形桿件的強(qiáng)度，即式（9-9）或式（9-10）。若材料是塑性材料，采用第三或第四強(qiáng)度理論計(jì)算拉彎扭組合變形桿件的強(qiáng)度，即式（9-11）或式（9-12）。將代入式（9-11）和式（9-12）有： （9-13）

29、 （9-14）式（9-9）式（9-14）就是最一般的組合變形桿件的強(qiáng)度計(jì)算公式，可應(yīng)用到三個(gè)方面，即：校核組合變形桿件的強(qiáng)度。計(jì)算組合變形桿件的許可載荷。計(jì)算組合變形桿件的許可截面尺寸。需要注意，如果桿件是非圓形截面桿，則上述各公式中的切應(yīng)力項(xiàng)應(yīng)換為相應(yīng)的非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)上下緣的最大切應(yīng)力。例如矩形截面桿件，應(yīng)將換為上下緣中點(diǎn)的切應(yīng)力（通常是短邊上的最大切應(yīng)力），這里分別是截面的寬和高，是與比值有關(guān)的比例系數(shù)。還需注意，工程中的桿件產(chǎn)生一般組合變形時(shí)，除了由剪切引起的切應(yīng)力可以忽略不計(jì)之外，通常由軸力引起的正應(yīng)力相對(duì)于由彎矩引起的正應(yīng)力以及由扭矩引起的切應(yīng)力來(lái)說(shuō)，一般情況下也是很小的，所以工

30、程中除了脆性材料桿件的偏心拉（壓）之外很多時(shí)候都不計(jì)軸力的影響。（2）拉（壓）彎組合變形這種組合變形在工程中十分常見(jiàn)，因此是非常重要的組合變形。例如桿件的偏心拉伸或壓縮，梁的非橫力彎曲等等，如圖9-13所示。圖9-13 拉(壓）彎組合變形拉（壓）彎組合變形桿件危險(xiǎn)點(diǎn),的應(yīng)力狀態(tài)是單向應(yīng)力狀態(tài)，實(shí)際上是拉（壓）彎扭組合變形的一種特殊情況，即扭矩 時(shí)的情況。將代入式（9-9）（9-14）可發(fā)現(xiàn)各強(qiáng)度理論退化為單向應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件：，即： （9-15）實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意到合應(yīng)力的符號(hào)以及材料的力學(xué)性能。（3）彎扭組合變形由于一般組合變形中軸力引起的正應(yīng)力相對(duì)于彎矩引起的正應(yīng)力以及扭矩引起的切應(yīng)力來(lái)說(shuō)

31、，一般情況下都是很小的，所以彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形就是十分重要的一種組合變形形式。例如，曲梁的橫力彎曲，皮帶輪傳動(dòng)軸等等。如圖9-14所示。圖9-14 彎扭組合變形彎扭組合變形是一般組合變形的特殊情況，即軸力 時(shí)的情況，其危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)仍然是的平面應(yīng)力狀態(tài)，如圖9-14所示。將代入式（9-9）（9-14）有：（這里只寫出第三和第四強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力） （9-16） （9-17）如果桿件是圓形截面桿，則，上述兩式可簡(jiǎn)化為： （9-18） （9-19）如果桿件是非圓形截面桿，按一般組合變形小節(jié)中介紹的方法處理。（4）拉（壓）扭組合變形這種組合變形在工程中不常見(jiàn)，拉（壓）扭組合變形也是一般組合變形的

32、特殊情況，即彎矩 時(shí)的情況，當(dāng)桿件為圓形截面桿時(shí)，危險(xiǎn)點(diǎn)為危險(xiǎn)截面的外緣點(diǎn)，其應(yīng)力狀態(tài)仍然是的平面應(yīng)力狀態(tài)，如圖9-15所示。圖9-15 拉(壓）扭組合變形將代入式（9-9）（9-14）有：（這里只寫出第三和第四強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力） （9-20） （9-21）如果桿件是非圓形截面桿，則上述各式中的切應(yīng)力為桿件外緣點(diǎn)的最大切應(yīng)力，例如矩形截面桿件，為長(zhǎng)邊中點(diǎn)的切應(yīng)力，即。需要注意，拉（壓）扭組合變形危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)中，由軸力引起的正應(yīng)力一般比由扭矩引起的切應(yīng)力要小很多。所以這種組合變形中，扭轉(zhuǎn)變形是主要的變形形式。例9-1如圖9-16（a）所示，中部被切割了一部分的矩形截面桿件，在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)，其

33、最大正應(yīng)力是平均正應(yīng)力的幾倍？圖9-16 例9-1圖(a)(b)解：如圖9-16（a）所示，桿件中部被切割部分為段，段任意位置截面上的內(nèi)力除了軸力外還存在彎矩，如圖9-16（b）所示。所以，段桿件的變形是拉彎組合變形。截面上的軸力為： 彎矩為：由圖9-16（b）可以看出，截面上的最大正應(yīng)力在段桿件的下緣，為：這里和分別是段桿的截面面積以及其抗彎截面系數(shù)。則： 于是： 其中為平均正應(yīng)力，所以桿件的最大正應(yīng)力是平均正應(yīng)力的8倍。例9-2 如圖9-17所示，矩形截面立柱在頂端對(duì)稱軸上受偏心集中力作用，若要立柱中不產(chǎn)生拉應(yīng)力，則最大偏心距不超過(guò)多少？圖9-17 例9-2圖解：這是工程中常見(jiàn)的偏心壓縮問(wèn)

34、題，由于立柱材料通常是石材或混凝土材料，是典型的脆性材料，所以立柱中如果存在拉應(yīng)力則對(duì)其強(qiáng)度十分不利。因此工程中通常要求這類立柱在偏心壓縮時(shí)，最大偏心距應(yīng)使立柱中不產(chǎn)生拉應(yīng)力。顯然立柱的變形是壓彎組合變形，在不考慮自重情況下，立柱任意截面均為危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)點(diǎn)為立柱右邊面上的任意點(diǎn)，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)。立柱危險(xiǎn)截面上的軸力為：，彎矩為：，這里為偏心距。由軸力產(chǎn)生的壓應(yīng)力為：由彎矩產(chǎn)生的拉應(yīng)力為：所以立柱中不產(chǎn)生拉應(yīng)力的條件為：即： 故有： 同樣，如果載荷作用在立柱頂端另一根對(duì)稱軸上時(shí)，有：例9-3 如圖9-18（a）所示，一高度為的高塔由于地基不均勻沉陷產(chǎn)生了角度為的傾斜，塔體的外徑

35、為，內(nèi)徑為，則傾角多大時(shí)高塔處于危險(xiǎn)狀態(tài)？解：如圖9-18（a）所示，塔體單位長(zhǎng)度的重量為： 塔體傾斜角后，受均布軸力和均布橫向載荷作用，塔體的變形為壓彎組合變形，如圖9-18（b）所示。軸力集度為： 橫向載荷集度： 塔體的危險(xiǎn)截面為底部截面，危險(xiǎn)點(diǎn)是最左側(cè)的點(diǎn)，其應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)。點(diǎn)由軸力產(chǎn)生的壓應(yīng)力為：點(diǎn)由橫向載荷產(chǎn)生的拉應(yīng)力為： (a)(b)圖9-19 例9-3圖合應(yīng)力為：當(dāng)塔體中存在拉應(yīng)力時(shí)，塔體處于危險(xiǎn)狀態(tài)，即：則： 因：所以：故當(dāng) 時(shí)，塔體處于危險(xiǎn)狀態(tài)。特例：（1）時(shí)，即實(shí)心柱體有：，如果，則。（2），。例9-4 如圖9-19所示，圓形截面曲柄受均布載荷作用，其直徑為，,。材

36、料的許用應(yīng)力，根據(jù)第三強(qiáng)度理論計(jì)算許可載荷 。圖9-19 例9-19圖解：曲柄的危險(xiǎn)截面為固定端截面，截面上的內(nèi)力為：彎矩 扭矩 根據(jù)第三強(qiáng)度理論有：即： 例9-5 如圖9-20所示，圓形截面立柱靠近頂端固接一附梁，梁長(zhǎng)，梁端受有水平力，梁上受有均布的扭矩，立柱高，直徑，比重，材料的許用拉應(yīng)力，不計(jì)附梁的重量，根據(jù)第三強(qiáng)度理論校核立柱的強(qiáng)度。解：立柱的變形為壓彎扭組合變形，危險(xiǎn)截面為底部端面，危險(xiǎn)點(diǎn)為底部前緣點(diǎn)點(diǎn)。危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力：軸力 扭矩 彎矩 圖9-20 例9-5圖由各內(nèi)力產(chǎn)生的應(yīng)力分別為： 危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖9-20所示，根據(jù)第三強(qiáng)度理論有：所以立柱在強(qiáng)度上是安全的。說(shuō)明：一般組合變

37、形中，由軸力產(chǎn)生的正應(yīng)力相對(duì)于由彎矩產(chǎn)生的正應(yīng)力和由扭矩產(chǎn)生的切應(yīng)力來(lái)說(shuō)，通常是很小的。（5）斜彎曲斜彎曲概念斜彎曲是一種非常特殊的組合變形，如圖9-21（a）所示，矩形截面懸臂梁在端面內(nèi)受與截面對(duì)稱軸傾斜的載荷作用時(shí)，梁將同時(shí)產(chǎn)生繞軸和軸的彎曲，這種沿兩個(gè)相互垂直方向同時(shí)彎曲的現(xiàn)象稱為斜彎曲，也就是彎曲與彎曲的組合變形。圖9-21 斜彎曲(a)(b)(c)斜彎曲危險(xiǎn)截面上的彎矩可分解為兩個(gè)相互垂直的分量，如圖9-21（b）所示的情況，固定端截面即為危險(xiǎn)截面，截面上的兩個(gè)彎矩分量為： 。斜彎曲危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是單向應(yīng)力狀態(tài)，如圖9-21（c）所示，梁的危險(xiǎn)點(diǎn)為截面上兩點(diǎn)，點(diǎn)為最大拉應(yīng)力點(diǎn)，而點(diǎn)

38、為最大壓應(yīng)力點(diǎn)，且最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力是相等的，根據(jù)疊加原理有： 所以斜彎曲的強(qiáng)度條件為： （9-22） 一般斜彎曲如圖9-22所示，假設(shè)軸是截面的形心主慣性軸，而桿件危險(xiǎn)截面上的合彎矩矢量為，其與軸的夾角為，在軸上的分量分別為，顯然截面上任意點(diǎn)處的正應(yīng)力為： （9-23）此時(shí)中性軸為直線：，即： （9-24）所以： （9-25）圖9-22 一般斜彎曲中性軸上式即可確定梁中性軸的位置。危險(xiǎn)截面上與中性軸平行的軸與截面邊界相切的最外緣點(diǎn)或點(diǎn)處為最大正應(yīng)力點(diǎn)，點(diǎn)為最大拉應(yīng)力點(diǎn)，而點(diǎn)為最大壓應(yīng)力點(diǎn)。且有： 其中，和分別是點(diǎn)坐標(biāo)的絕對(duì)值。所以，一般斜彎曲的強(qiáng)度條件為： （9-26） （9-27）如果

39、截面有兩根對(duì)稱軸，例如矩形，工字形等截面，則危險(xiǎn)點(diǎn)通常在截面的角點(diǎn)，且最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力相等，為： （9-28）必須注意，斜彎曲通常發(fā)生在截面只有一對(duì)形心主慣性軸的桿件上，例如矩形，工字形，字形，槽形，橢圓形等截面桿件。 圓形和正多邊形（或中心對(duì)稱）截面梁如圖9-23所示的圓形和正多邊形（或中心對(duì)稱）截面梁，由于截面任何過(guò)形心的軸均為形心主慣性軸，所以這類梁在任何橫向載荷作用下只產(chǎn)生平面彎曲，不會(huì)產(chǎn)生斜彎曲。圖9-23 圓形和正多邊形（或中心對(duì)稱）截面梁的彎曲彎曲平面如圖9-24(a)所示的圓形和正多邊形（包括中心對(duì)稱）截面梁，假設(shè)其危險(xiǎn)截面上有若干個(gè)沿不同方向作用的彎矩 ，其合彎矩矢量為

40、，矢量方向?yàn)檩S，則梁危險(xiǎn)截面附近將繞軸產(chǎn)生平面彎曲(圖9-24(b)，其最大拉應(yīng)力在點(diǎn)，最大壓應(yīng)力在點(diǎn)，將危險(xiǎn)截面上的所有彎矩在，方向投影，可得到這兩個(gè)相互垂直方向的合彎矩和，如圖9-24(c)所示，則合彎矩為：。相應(yīng)的強(qiáng)度條件為：圖9-24 圓形、正多邊形或中心對(duì)稱截面梁在任意橫向載荷作用下的彎曲(a)(b)(c)正多邊形（或中心對(duì)稱）截面梁： （9-29）圓形截面梁： （9-30）其中是截面對(duì)形心軸的慣性矩；是圓形截面的抗彎截面系數(shù)。式（9-29）及式（9-30）即為正多邊形（或中心對(duì)稱）截面梁以及圓形截面梁在任意橫向載荷作用下彎曲的強(qiáng)度計(jì)算公式。例9-6 如圖9-25所示，矩形截面梁受載

41、荷，作用，截面寬為，梁尺寸為，材料的許用拉應(yīng)力，試確定梁的高度。圖9-25 例10-6圖解：易于看出，梁的固定端截面為危險(xiǎn)截面，其左上角點(diǎn)為最大拉應(yīng)力點(diǎn)，危險(xiǎn)截面上的彎矩為：危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力為：可得：是關(guān)于的一元二次不等式，取正解，有： ?。豪?-7 如圖9-26（a）所示，兩端簡(jiǎn)支的矩形截面梁傾斜放置（圖9-26（b），截面寬為，高，梁長(zhǎng)為，梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的重量為，（1）試求梁在自重作用下的最大正應(yīng)力。（2）當(dāng)傾角多大時(shí)，梁中的最大正應(yīng)力達(dá)到最大和最??？這個(gè)最大和最小正應(yīng)力是多少？ 圖9-27 例9-7圖 (a) (b)解：（1）梁在自重作用下的最大正應(yīng)力由于梁傾斜放置，則梁在自重作用下產(chǎn)生

42、斜彎曲，梁的危險(xiǎn)截面為中間截面，截面上繞軸和軸的彎矩分別為： 所以，梁中的最大正應(yīng)力為：（2）梁中的最大正應(yīng)力達(dá)到最大和最小時(shí)的傾角 由： 得：，即：因：，所以是使取最大值的傾角。此時(shí)梁中的最大正應(yīng)力為： 由于在區(qū)間中只有一個(gè)零點(diǎn)，所以取最小值的傾角在或處。因： 一般情況下，所以使取最小值的傾角在的情況，即梁沒(méi)有傾斜的情況，此時(shí)梁中的最大正應(yīng)力為：例9-8 如圖9-27（a）所示，正三角形截面懸臂梁在自由端受三個(gè)對(duì)角的集中載荷作用，載荷成如下比例，梁長(zhǎng)為 ，截面的邊長(zhǎng)為，材料的許用拉應(yīng)力為，求梁的許可載荷。圖9-27 例9-8圖(a)(b)(c)(d)解：假設(shè)，梁的危險(xiǎn)截面為固定端截面，如圖9

43、-27(c)（d)所示，則截面上的彎矩為： 由于是正多邊形截面，所以梁只產(chǎn)生平面彎曲，將危險(xiǎn)截面上的彎矩向軸和軸分解，有：合彎矩為： 所以：截面對(duì)形心軸的慣性矩為： 梁中的最大拉應(yīng)力在角點(diǎn)處，最大壓應(yīng)力在角點(diǎn)處，且二者相等，為：所以由：故梁的許可載荷為： 例9-9 如圖9-28（a）所示，皮帶輪上作用有兩個(gè)相互垂直的載荷，皮帶輪的直徑，軸的直徑，軸長(zhǎng)，材料的許用應(yīng)力為，試用第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。 圖9-28 例9-9圖 (a) (b)解：如圖9-28（b）所示，將軸上的載荷簡(jiǎn)化到軸心，則軸在中點(diǎn)受兩個(gè)相互垂直的載荷，作用，同時(shí)受兩個(gè)扭矩和作用。 合扭矩為： 軸的危險(xiǎn)截面在中間截面，該截面上

44、的扭矩為： 軸的危險(xiǎn)截面上的彎矩為： 合彎矩為： 根據(jù)第三強(qiáng)度理論有： 所以軸在強(qiáng)度上是安全的。（6）截面核心 截面核心概念 桿件偏心壓縮時(shí)，使截面上不存在拉應(yīng)力的載荷作用區(qū)域稱為截面核心。如圖9-29（a）（b）所示。顯然截面核心是圍繞截面形心的一個(gè)區(qū)域，因?yàn)楫?dāng)軸向壓力通過(guò)截面形心時(shí)，桿件均勻壓縮；而當(dāng)軸向壓力有偏心時(shí)，則桿件可能一側(cè)受壓而另一側(cè)受拉，此時(shí)桿件的中性軸將穿過(guò)截面（圖9-29（c）；所以，要使截面上不存在拉應(yīng)力，條件是桿件的中性軸不能穿過(guò)截面，臨界狀態(tài)是中性軸與截面的邊緣相切，其對(duì)應(yīng)的載荷作用點(diǎn)形成一連續(xù)的閉合曲線，則該閉合曲線所圍區(qū)域就是截面核心（圖9-29（d）。圖9-29

45、 截面核心(a)(b)(c)(d) 圓形和正多邊形（或中心對(duì)稱）截面桿件的截面核心 圓形和正多邊形（或中心對(duì)稱）截面桿件由于不存在斜彎曲問(wèn)題，所以在偏心壓縮時(shí)桿件產(chǎn)生壓縮和彎曲組合變形，截面上的最大拉應(yīng)力為：其中，如圖9-30所示，為壓力作用點(diǎn)到形心的距離；為截面另一側(cè)外緣點(diǎn)到與垂直的形心軸的距離，為截面上的彎矩。當(dāng)截面上不存在拉應(yīng)力，即當(dāng)時(shí)，有： （9-31）其中，為截面的慣性半徑。由此可確定圓形和正多邊形截面桿件的截面核心。例如，圓形、正三角形以及正方形截面的截面核心如圖9-31所示。圖9-30 圓形和正多邊形截面桿件的偏心壓縮 圖9-31 圓形和正多邊形截面桿件的截面核心必須注意，由公式

46、（9-31）可知，截面核心是一個(gè)純幾何概念，只與截面的幾何特征有關(guān)，而與作用在截面上的軸向載荷無(wú)關(guān) 。 一般的截面核心對(duì)于只有一對(duì)形心主慣性軸的截面桿件，由于存在斜彎曲問(wèn)題，所以在偏心壓縮時(shí)，一般將產(chǎn)生壓縮和斜彎曲的組合變形。如圖9-32所示，當(dāng)載荷作用在截面上某一點(diǎn)處時(shí)，截面上任意一點(diǎn)處由斜彎曲引起的應(yīng)力為：，其中，；，分別是截面對(duì)兩根形心主慣性軸的慣性矩。由可確定斜彎曲時(shí)中性軸的位置，即直線：從而可確定最大拉應(yīng)力點(diǎn)的位置，于是由壓縮和斜彎曲引起的組合變形所產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力為：當(dāng)截面上不存在拉應(yīng)力時(shí)，即： ，有：于是有： （9-32）圖9-32 一般桿件的偏心壓縮(a)(b)利用式（9-32

47、）可確定桿件的截面核心。需要注意，由于一般情況下最大拉應(yīng)力點(diǎn)的位置與載荷作用點(diǎn)的位置有關(guān)，則截面核心一般情況下是一個(gè)曲線圍成的區(qū)域，但如果點(diǎn)的位置與載荷作用點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，則截面核心是一個(gè)由幾條直線圍成的區(qū)域。例9-10 如圖9-33(a)所示的邊長(zhǎng)為的正邊形截面，證明其截面核心也是一個(gè)正邊形，且其邊長(zhǎng)為：；各角點(diǎn)到截面形心的距離為：。證明：如圖9-33（a）所示，正邊形截面的邊長(zhǎng)為，每邊對(duì)應(yīng)的幅角，則每個(gè)角點(diǎn)到形心的距離為。考慮載荷作用在區(qū)域時(shí)的情況，則另一側(cè)的點(diǎn)為最大拉應(yīng)力點(diǎn)。圖9-33 例10-10圖(a)(b)(c)(d)根據(jù)公式9-31有：由圖9-33（a）的幾何關(guān)系有： 則： ，故有

48、： 所以載荷作用在區(qū)域時(shí)截面核心是圖9-33（b）所示的三角形區(qū)域。根據(jù)對(duì)稱性，正邊形截面的截面核心是圖9-33（c）所示的一個(gè)正邊形。截面核心的邊長(zhǎng)為： 如圖9-33（d）所示，正邊形截面的面積為：正邊形截面對(duì)形心軸的慣性矩為（見(jiàn)附錄A例A-11）：所以，正邊形截面的截面核心也是正邊形，且其截面核心的邊長(zhǎng)為： 截面核心各角點(diǎn)到形心的距離為： 特例：（1）圓形截面假設(shè)正邊形截面的周長(zhǎng)為，則其邊長(zhǎng)，相應(yīng)的截面核心各角點(diǎn)到形心的距離為：當(dāng)時(shí)，正邊形截面趨近圓形，相應(yīng)的截面核心也趨近圓形。此時(shí)截面核心的半徑為：而直接由圓形截面偏心壓縮可得其截面上的最大拉應(yīng)力：可得截面核心的半徑為：，可見(jiàn)兩者結(jié)果一致

49、。（2）正三角形截面此時(shí)，則：（3）正方形截面此時(shí)，則：上述各特例的截面核心如圖9-31所示。例9-11 如圖9-34(a)所示的矩形截面柱體，截面長(zhǎng)為，寬為。當(dāng)柱體受偏心壓縮時(shí)，試求柱體的截面核心。圖9-34 例9-11圖(a)(b)(c)(d)解：當(dāng)載荷作用在頂端截面上的任意點(diǎn)處時(shí)，柱體產(chǎn)生壓縮和斜彎曲的組合變形，其任意截面均為危險(xiǎn)截面，截面上的內(nèi)力為：軸力 彎矩 首先考慮載荷作用在頂端截面的第一象限，即的情況，如圖9-34(b)所示。則最大拉應(yīng)力點(diǎn)在角點(diǎn)處，點(diǎn)的應(yīng)力為：若柱體中不產(chǎn)生拉應(yīng)力，則有：所以有： 于是截面核心是一條直線和坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域，時(shí)， 時(shí)，該區(qū)域是直角邊長(zhǎng)度分別為的三角

50、形區(qū)域，如圖9-34(c)所示。根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)載荷作用在頂端截面的其它象限時(shí)，截面核心均為與上述三角形類似的三角形，而整個(gè)截面的截面核心是一個(gè)菱形區(qū)域，菱形區(qū)域的對(duì)角線長(zhǎng)度分別是，如圖9-34(d)所示。9.5 組合變形的超靜定問(wèn)題在線彈性小變形條件下，組合變形桿件的各種基本變形之間不存在藕合效應(yīng)，即拉壓，扭轉(zhuǎn)以及彎曲變形之間不會(huì)相互影響，因此組合變形桿件的變形和剛度問(wèn)題可用前述相關(guān)各章的內(nèi)容計(jì)算。注意到內(nèi)力和變形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以，可用各種基本變形的變形公式計(jì)算組合變形超靜定問(wèn)題的未知反力或內(nèi)力，然后利用組合變形的應(yīng)力與強(qiáng)度理論分析其各種強(qiáng)度問(wèn)題，即可進(jìn)行下述三方面的工作：校核強(qiáng)度；計(jì)

51、算許可載荷；計(jì)算許可截面尺寸。 圖9-36所示的各種問(wèn)題就是典型的組合變形超靜定問(wèn)題，圖中前三種情況為彎扭組合的超靜定問(wèn)題，而第四種情況為拉彎扭組合的超靜定問(wèn)題。圖9-35 組合變形超靜定問(wèn)題組合變形的超靜定問(wèn)題是材料力學(xué)中比較困難的問(wèn)題，具體計(jì)算時(shí)，應(yīng)特別注意判別結(jié)構(gòu)是什么形式的組合超靜定問(wèn)題，不要遺漏了某種基本變形形式。 例9-11 如圖9-36(a)所示的圓形等截面曲梁，在處受集中力作用，梁材料的泊松比為，曲梁段長(zhǎng)，段長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)沒(méi)有支座時(shí)，梁能承受的最大載荷為。按第三強(qiáng)度理論的要求， 試求點(diǎn)用支座支撐時(shí)梁能承受的最大載荷。圖9-36 例9-11圖(a)(c)(b)解：當(dāng)點(diǎn)沒(méi)有支座時(shí)，如圖9

52、-37(a)所示，梁的危險(xiǎn)截面為固定端，曲梁段處于橫力彎曲狀態(tài)，而段梁不變形，危險(xiǎn)截面上的彎矩為： 根據(jù)強(qiáng)度條件有： 所以有：當(dāng)點(diǎn)有支座時(shí)，如圖9-36(b)所示，曲梁為彎扭組合變形的超靜定問(wèn)題，以點(diǎn)處的約束為多余約束，如圖9-37(c)所示，根據(jù)疊加法以及點(diǎn)撓度為零的條件有：其中為多余約束處的支反力。注意到以及，并令則有： 則： 其中，對(duì)應(yīng)，此時(shí)梁無(wú)變形，因此此種情況無(wú)意義。曲梁的危險(xiǎn)截面仍在固定端處，危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力為：彎矩 扭矩 根據(jù)第三強(qiáng)度理論有：故此時(shí)梁能承受的最大載荷為： 這里：， 特例：（1），時(shí)有：；（2），時(shí)有：。例9-12 如圖9-37(a)所示的曲梁結(jié)構(gòu)，在中點(diǎn)處受集中力

53、作用，梁材料的彈性模量，泊松比為，曲梁各段長(zhǎng)度，直徑，試求曲梁的最大撓度。圖9-37 例9-12圖(a)(b)解：由于結(jié)構(gòu)是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，所以只考慮其一半，如圖9-37（b）所示，截面處的條件是：剪力和扭矩為零，轉(zhuǎn)角為零。由于結(jié)構(gòu)只受橫向載荷作用，所以曲梁截面上無(wú)軸力，因此截面上只有一未知的彎矩，注意到集中力作用在結(jié)構(gòu)對(duì)稱點(diǎn)處，因此考慮一半結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)將集中力分一半作用在半結(jié)構(gòu)上。如圖9-37（b）所示，半結(jié)構(gòu)處于彎扭組合變形狀態(tài)，根據(jù)疊加法，集中力引起的截面的轉(zhuǎn)角為：未知彎矩引起的截面的轉(zhuǎn)角為： 注意到：， 則：截面的轉(zhuǎn)角為：故有：顯然，曲梁的最大撓度在結(jié)構(gòu)中點(diǎn)處，由疊加法，集中力引起的點(diǎn)的撓度為： （向下）彎矩引起的點(diǎn)的