1、第二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽參考試題及詳解“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽每隔一年舉行一次。今年是第二屆。問2000年是第幾屆？ 【解法】“每隔一年舉行一次”的意思是每2年舉行一次。今年是1988年，到2000年還有2000-1988=12年，因此還要舉行122=6屆。今年是第二屆，所以2000年是26=8屆答：2000年舉行第八屆。【分析與討論】這題目因?yàn)閿?shù)字不大，直接數(shù)也能很快數(shù)出來：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000年分別是第二、三、四、五、六、七、八屆。一個(gè)充氣的救生圈（如圖32）。虛線所示的大圓，半徑是33厘術(shù)。實(shí)線所示的小圓，半徑是9厘米。有兩只

2、螞蟻同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度分別沿大圓和小圓爬行。問：小圓上的螞蟻爬了幾圈后，第一次碰上大圓上的螞蟻？【解法】由于兩只螞蟻的速度相同，由距離速度=時(shí)間這個(gè)式子，我們知道大、小圓上的螞蟻爬一圈的時(shí)間的比應(yīng)該等于圈長的比。而圈長的比又等于半徑的比，即：339。要問兩只螞蟻第一次相遇時(shí)小圓上的螞蟻爬了幾圈，就是要找一個(gè)最小的時(shí)間，它是大、小圓上螞蟻各自爬行一圈所齋時(shí)間的整數(shù)倍。由上面的討論可見，如果我們適當(dāng)?shù)剡x取時(shí)間單位，可以使小圓上的螞蟻爬一圈用9個(gè)單位的時(shí)間，而大圓上的螞蟻爬一圈用33個(gè)單位的時(shí)間。這樣一來，問題就化為求9和33的最小公倍數(shù)的問題了。不難算出9和33的最小公倍數(shù)是99，所以答

3、案為999=11。答：小圓上的螞蟻爬了11圈后，再次碰到大圓上的螞蟻。【分析與討論】這個(gè)題目的關(guān)鍵是要看出問題實(shí)質(zhì)是求最小公倍數(shù)的問題。注意觀察，看到生活中的數(shù)學(xué)，這是華羅庚教授經(jīng)常啟發(fā)青少年們?nèi)プ龅摹D33是一個(gè)跳棋棋盤，請(qǐng)你算算棋盤上共有多少個(gè)棋孔？【解法】這個(gè)題目的做法很多。由于時(shí)間所限，直接數(shù)是來不及的，而且容易出錯(cuò)。下圖（圖34）給出一個(gè)較好的算法。把棋盤分割成一個(gè)平行四邊形和四個(gè)小三角形，如圖34。平行四邊形中的棋孔數(shù)為99=91，每個(gè)小三角形中有10個(gè)棋孔。所以棋孔的總數(shù)是81104=121個(gè)答：共有121個(gè)棋孔?！痉治雠c討論】玩過跳棋的同學(xué)們，你們以前數(shù)過棋孔的數(shù)目嗎？有興趣的

4、同學(xué)在課余時(shí)都可以數(shù)一數(shù)，看誰的方法最巧？有一個(gè)四位整數(shù)。在它的某位數(shù)字前面加上一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，再和這個(gè)四位數(shù)相加，得數(shù)是2000.81。求這個(gè)四位數(shù)。【解法1】由于得數(shù)有兩位小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)不可能加在個(gè)位數(shù)之前。如果小數(shù)點(diǎn)加在十位數(shù)之前，所得的數(shù)是原米四位數(shù)的百分之一，再加上原來的四位數(shù)，得數(shù)2000.81應(yīng)該是原來四位數(shù)的1.01倍，原來的四位數(shù)是2000.811.011981。類似地，如果小數(shù)點(diǎn)加在百位數(shù)之前，得數(shù)2000.81應(yīng)是原來四位數(shù)的1.001倍，小數(shù)點(diǎn)加在千位數(shù)之前，得數(shù)2000.81應(yīng)是原來四位數(shù)的1.0001倍。但是（2000.811.001）和（2000.811.0001）都不

5、是整數(shù)，所以只有1981是唯一可能的答案。答：這個(gè)四位數(shù)是1981?！窘夥?】注意到在原來的四位數(shù)中，一定會(huì)按順序出現(xiàn)8，1兩個(gè)數(shù)字。小數(shù)點(diǎn)不可能加在個(gè)位數(shù)之前；也不可能加在千位數(shù)之前，否則原四位數(shù)只能是8100，在于2000.81了。無論小數(shù)點(diǎn)加在十位數(shù)還是百位數(shù)之前，所得的數(shù)都大于1而小于100。這個(gè)數(shù)加上原來的四位數(shù)等于2000.81，所以原來的四位數(shù)一定比2000小，但比1900大，這說明它的前兩個(gè)數(shù)字必然是1，9。由于它還有8，1兩個(gè)連續(xù)的數(shù)字，所以只能是1981?！痉治雠c討論】解法1是用精確的計(jì)算，解法2靠的是“判斷”。判斷也需要技巧，而且是建立在對(duì)問題的細(xì)致分析上。這里需要指出，

6、不能一看到得數(shù)2000.81中有二位小數(shù)就得出“小數(shù)點(diǎn)正好加在十位數(shù)之前”的結(jié)論。請(qǐng)同學(xué)們想想為什么？圖35是一塊黑白格子布。白色大正方形的邊長是14厘米，白色小正方形的邊長是6厘米。問：這塊布中白色的面積占總面積的百分之幾？【解法】格子布的面積是圖36面積的9倍，格子布白色部分的面積也是圖36上白色面積的9倍。這樣，我們只需計(jì)算圖36中白色部分所占面積的百分比就行了。這個(gè)計(jì)算很簡(jiǎn)單：答：格子布中白色部分的面積是總面積的58?！痉治雠c討論】這個(gè)題目的關(guān)鍵是看到格子布可以分割成9塊如圖35的正方形。這實(shí)質(zhì)上是利用了格子布的“對(duì)稱性”：格子布圖案是由一塊圖案重復(fù)地整齊排列而成的?！皩?duì)稱”不僅是數(shù)學(xué)

7、中的重要概念，而且是自然界構(gòu)成的一條基本規(guī)律。因此，自古以來，在各個(gè)不同領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、甚至美學(xué)等，都把“對(duì)稱性”與“不對(duì)稱性”作為重要的課題來研究。著名數(shù)學(xué)家H魏爾曾專門寫過一本名為對(duì)稱的書（有中譯本），內(nèi)容非常豐富，思想極其深刻，很值得一讀。圖37是兩個(gè)三位數(shù)相減的算式，每個(gè)方框代表一個(gè)數(shù)字。問：這六個(gè)方框中的數(shù)字的連乘積等于多少？圖 37【解法】?jī)蓴?shù)相減，習(xí)慣上先考慮個(gè)位數(shù)。但仔細(xì)看一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)二位數(shù)的個(gè)位是不確定的：這兩個(gè)個(gè)位數(shù)同時(shí)加1或同時(shí)減1，它們的差不變。這樣一來，六個(gè)方框中的數(shù)字的連乘積就會(huì)不確定了，除非有一個(gè)方框的數(shù)字是0，使得乘積總是0。這就啟發(fā)我們?cè)囍?/p>

8、方框中的0。兩個(gè)三位數(shù)的首位當(dāng)然不是0，因此減數(shù)的首位最少是1，被減數(shù)的首位至多是9。但因?yàn)椴畹氖孜皇?，所以只有一種可能，就是被減數(shù)首位是9，減數(shù)的首位是1。這樣一來，第二位數(shù)上的減法就不能借位了。被減數(shù)的第二位至多是9而減數(shù)的第二位至少是0，這兩數(shù)的差是9，所以也只有一種可能：被減數(shù)的第二位是9，減數(shù)的第二位是0。這樣我們就確定了六個(gè)方框中有一個(gè)方框里的數(shù)必是0。答：六個(gè)方框中的數(shù)字的連乘積等于0?！痉治雠c討論】這道題不需要完全確定這兩個(gè)三位數(shù)，而且也不能完全確定，例如被減數(shù)與減數(shù)可以分別是（996，102），也可以是（994，100），（999，105），等等。有的同學(xué)會(huì)說：這個(gè)題目的答

9、案是猜出來的?！安隆币彩菙?shù)學(xué)上的一種方法。數(shù)學(xué)上有許多著名的猜想對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。這里要著重說明二點(diǎn)：第一，數(shù)學(xué)上的“猜想”不是毫無根據(jù)的“胡思亂想”，而是指數(shù)學(xué)家對(duì)問題經(jīng)過深入的分析或大量的例證檢驗(yàn)后所設(shè)想的答案；是有一定道理的。象本題的解法中，我們經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，如果六個(gè)方框中沒有0，這個(gè)題目的答案就不是唯一的了，所以猜想答案是0。如果猜測(cè)答案是100就沒有道理了。第二，“猜想”不等于答案，猜想要經(jīng)過嚴(yán)格的證明才能成為答案。例如，著名的哥德巴赫猜想至今還未能得到證明，因此仍然被稱為“猜想”。圖38中正方形的邊長是2米，四個(gè)圓的半徑都是1米，圓心分別是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)。問：這個(gè)正方

10、形和四個(gè)圓蓋住的面積是多少平方米？【解法】每個(gè)圓和正方形的公共部分是一個(gè)扇形，它的面積是圓的面積的四分之一。因此，整個(gè)圖形的面積等于正方形的面積加上四塊四分之三個(gè)圓的面積。而四塊四分之三個(gè)圓的面積等于圓面積的三倍。因此，整個(gè)圖形的面積等于正方形的面積加上圓面積的三倍，也就是2211313.42（平方米）。答：這個(gè)正方形和四個(gè)圓蓋住的面積約是13.42平方米。有七根竹竿排成一行。第一根竹竿長1米，其余每根的長都是前一根的一半。問：這七根竹竿的總長是幾米？【解法】我們這樣考慮：取一根2米長的竹竿，把它從中截成兩半，各長1米。取其中一根作為第一根竹竿。將另外一根從中截成兩半，取其中之一作為第二根竹竿

11、。如此進(jìn)行下去，到截下第七根竹竿時(shí)，所剩下的一段竹竿長為因此，七根竹竿的總長度是2米減去剩下一段的長，也【分析與討論】中國古代就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這樣一個(gè)算術(shù)問題。就是說，有一根一尺長的短棍，每天截去它的一半，永遠(yuǎn)也截不完。那么，每天剩下多少呢？第七天剩下多少呢？用上面的解法計(jì)算七根竹竿的總長，時(shí)間是綽綽有余的。但如果先把每根竹竿都算出來再相加，需要通分，時(shí)間恐怕就來不及了。同學(xué)們不妨試一試。有三條線段A、B、C，A長2.12米，B長2.71米，C長3.53米，以它們作為上底、下底和高，可以作出三個(gè)不同的梯形。問：第幾個(gè)梯形的面積最大？【解法】首先注意，梯形的面積（上底下底）高

12、2。但我們現(xiàn)在是比較三個(gè)梯形面積的大小，所以不妨把它們的面積都乘以2，這樣只須比較（上底下底）高的大小就行了。我們用乘法分配律：第一個(gè)梯形的面積的2倍是：（2.123.53）2.712.122.173.532.71第二個(gè)：（2.713.53）2.122.712.123.532.12第三個(gè)：（2.122.71）3.532.123.532.713.53先比較第一個(gè)和第二個(gè)。兩個(gè)式子右邊的第一個(gè)加數(shù)，一個(gè)是2.122.71，另一個(gè)是2.712.12。由乘法交換律，這兩個(gè)積相等。因此只須比較第二個(gè)加數(shù)的大小就行了。顯然3.532.71比3.532.12大，因?yàn)?.71比2.12大。因此第一個(gè)梯形比第二

13、個(gè)梯形的面積大。類似地，如果比較第一個(gè)和第三個(gè)，我們發(fā)現(xiàn)它們有邊第二個(gè)加數(shù)相等，而第一個(gè)加數(shù)2.122.712.123.53。因此第三個(gè)梯形比第一個(gè)梯形面積大。綜上所述，第三個(gè)梯形面積最大。答：第三個(gè)梯形面積最大?！痉治雠c討論】做這個(gè)題目應(yīng)該充分利用所學(xué)過的乘法交換律、乘法分配律等知識(shí)，而不應(yīng)該直接計(jì)算面積。很明顯，直接計(jì)算三個(gè)梯形的面積要浪費(fèi)很多時(shí)間。有一個(gè)電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)響一次鈴。中午12點(diǎn)整， 電子鐘響鈴又亮燈。問：下一次既響鈴又亮燈是幾點(diǎn)鐘？【解法】因?yàn)殡娮隅娒康秸c(diǎn)響鈴，所以我們只要考慮哪個(gè)整點(diǎn)亮燈就行了。從中午12點(diǎn)起，每9分鐘亮一次燈，要過多少個(gè)9分鐘才到整點(diǎn)

14、呢？由于1小時(shí)60分鐘，這個(gè)問題換句話說就是：9分鐘的多少倍是6O分鐘的整數(shù)倍呢？這樣一來問題的實(shí)質(zhì)就清楚了：是求9分和60最小公倍數(shù)。不難算出9和60的最小公倍數(shù)是180。這就是說，從正午起過180分鐘，也就是3小時(shí)，電子鐘會(huì)再次既響鈴又亮燈。答：下一次既響鈴又亮燈時(shí)是下午3點(diǎn)鐘?！痉治雠c討論】這樣的問題在生活中到處都會(huì)遇到。同學(xué)們能不能再舉些例子呢？一副撲克牌有四種花色，每種花色有13張。從中任意抽牌。問：最少要抽多少張牌，才能保證有四張牌是同一花色的？【解法】這里“保證”的意思就是無論怎樣抽牌，都一定有4張牌為同一花色。我們先看抽12張牌是否能保證有4張同花的？雖然有時(shí)12張牌中可能有4

15、張同花，甚至4張以上同花，但也可能每種花色正好3張牌，因此不能保證一定有4張牌同花。那末，任意抽13張牌是否保證有4張同花呢？我們說可以。證明如下：如果不行的話，那末每種花色最多只能有3張，因此四種花色的牌加起來最多只能有12張，與抽13張牌相矛盾。所以說抽13張牌就可以了。這種證明的方法稱為反證法。答：至少要抽13張牌，才能保證有四張牌是同一花色的?！痉治雠c討論】這個(gè)題目用的是所謂“抽屜原則”。比如說有4個(gè)抽屜，要在里面放13本書，那么至少有一個(gè)抽屜要放4本。這個(gè)原則也被稱作“鴿子籠原則”或“重迭原則”。抽屜原則雖然簡(jiǎn)單，在數(shù)學(xué)上卻有很多巧妙的應(yīng)用。有興趣的同學(xué)可以閱讀常庚哲著的抽屜原則及其

16、他這本書。有一個(gè)班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個(gè)班共有多少同學(xué)？【解法1】假定先增加一條船，那么正好每條船坐6人?，F(xiàn)在去掉兩條船，就會(huì)余下6212名同學(xué)沒有船坐。而現(xiàn)在正好每條船9人，也就是說，每條船增加9-63人，正好可以把余下的12名同學(xué)全部安排上去，所以現(xiàn)在還有1234條船，而全班同學(xué)的人數(shù)是9436人。答：這個(gè)班共有36個(gè)人。【解法2】由題目的條件可知，全班同學(xué)人數(shù)既是6的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)，因而是6和9的公倍數(shù)。6和9的最小公倍數(shù)是18。如果總數(shù)是18人，那么每船坐6人需要有1863條船，而每船坐9人需要189

17、2條船，就是說，每船坐6人比每船坐9人要多一條船。但由題目的條件，每船坐6人比每船坐9人要多用2條船。可見總?cè)藬?shù)應(yīng)該是18236?！痉治雠c討論】我國古代有很多類似于這個(gè)題目的問題，流傳到現(xiàn)在。例如“雞兔同籠”之類。這道題也可以用列方程來解。同學(xué)們不妨試一試。四個(gè)小動(dòng)物換座位。一開始，小鼠坐在第1號(hào)位子，小猴坐在第2號(hào)，小兔坐在第3號(hào)，小貓坐在第4號(hào)。以后它們不停地交換位子。第一次上下兩排交換。第二次是在第一次交換后再左右兩排交換。第三次再上下兩排交換。第四次再左右兩排交換這樣一直換下去。問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號(hào)位子上？（參看圖39）【解法】這道題問的是第十次交換位子后，小兔坐在第幾

18、號(hào)位子上？我們先根據(jù)題意將小兔座位變化的規(guī)律找出來。從圖40的箭頭圖可以看出：每一次交換座位，小兔的座位按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一格，每4次交換座位，小兔的座位又轉(zhuǎn)回原處。知道了這個(gè)規(guī)律，答案就不難得到了。第十次交換座位后，小兔的座位應(yīng)該是第2號(hào)位子。答：第十次交換座位后，小兔坐在第2號(hào)位子。【分析與討論】“小動(dòng)物換座位”這樣的運(yùn)動(dòng)，在數(shù)學(xué)上稱為“置換”，而小兔座位的改變稱為“旋轉(zhuǎn)”。置換和旋轉(zhuǎn)都是群論、幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支中的重要概念。這道題雖然簡(jiǎn)單，但其中卻有不少有趣的道理呢！為了使同學(xué)們加深理解，我們?cè)俪鰞蓚€(gè)思考題，請(qǐng)同學(xué)們想想。（1）找出其它三個(gè)小動(dòng)物座位變化的規(guī)律。它們的規(guī)律有什么相同點(diǎn)，有什么

19、不同點(diǎn)。（2）將題目中的提問改為：“第十次交換位子后，第4號(hào)座位上坐的是哪個(gè)小動(dòng)物？”你知道怎么做嗎？想想看。用1、9、8、8這四個(gè)數(shù)字能排成幾個(gè)被11除余8的四位數(shù)？【解法】什么樣的數(shù)能被11整除呢？一個(gè)判定法則是：比較奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和，如果它們之差能被11除盡，那么所給的數(shù)就能被11整除，否則就不能夠?，F(xiàn)在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數(shù)加上3后，就能被11整除了。所以我們得到“一個(gè)數(shù)被11除余8”的判定法則：將偶位數(shù)字相加得一個(gè)和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加上3，得另一個(gè)和數(shù)，如果這兩個(gè)和數(shù)之差能被11除盡，那么這個(gè)數(shù)是被11除余8的數(shù)；否則就不是。要把1、9、8、8排

20、成一個(gè)被11除余8的四位數(shù)，可以把這4個(gè)數(shù)分成兩組，每組2個(gè)數(shù)字。其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的和記作A；另外一組作為百位和個(gè)位數(shù)，它們之和加上3記作B。我們要適當(dāng)分組，使得能被11整除?，F(xiàn)在只有下面4種分組法：經(jīng)過驗(yàn)證，第（1）種分組法滿足前面的要求：A18，B98320，BA11能被11除盡。但其余三種分組都不滿足要求。根據(jù)判定法則還可以知道，如果一個(gè)數(shù)被11除余8，那么在奇位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，或者在偶位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，得到的新數(shù)被11除也余8。于是，上面第（1）分組中，1和8中任一個(gè)可以作為千位數(shù)，9和8中任一個(gè)可以作為百位數(shù)。這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918

21、，8819。答：能排成4個(gè)被11除余8的數(shù)【分析與討論】用1、9、8、8可能組成12個(gè)互不相同四位數(shù)。如果把這12個(gè)數(shù)都列出來，再分別檢驗(yàn)它們被除的余數(shù)，就不勝其繁了。所以在解題時(shí)一定要先設(shè)法簡(jiǎn)化檢驗(yàn)過程。圖41是一個(gè)圍棋盤，它由橫豎各19條線組成。問：圍棋盤上有多少個(gè)與圖42中的小正方形一樣的正方形？【解法】要能準(zhǔn)確迅速地?cái)?shù)出小正方形的個(gè)數(shù)，需要?jiǎng)觿?dòng)腦筋。我們先在右圖小正方形中找一個(gè)代表點(diǎn)，例如右下角的點(diǎn)E作為代表點(diǎn)。然后將小正方形按題意放在圍棋盤上，仔細(xì)觀察點(diǎn)E應(yīng)在什么地方。通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：（1）點(diǎn)E只能在棋盤右下角的正方形ABCD（包括邊界）的格子點(diǎn)上。（2）反過來，右下角正方形AB

22、CD中的每一個(gè)格子點(diǎn)都可以作為小正方形的點(diǎn)E，也只能作為一個(gè)小正方形的點(diǎn)E。這樣一來，就將“小正方形的個(gè)數(shù)”化為“正方形ABCD中的格子點(diǎn)個(gè)數(shù)”了。很容易看出正方形ABCD中的格子點(diǎn)為1010100個(gè)。答：共有100個(gè)?！痉治鲇懻摗窟@個(gè)題目有很多種解法，而上面這個(gè)解法既巧妙又迅速。它利用了“一一對(duì)應(yīng)就一樣多”這個(gè)簡(jiǎn)單的道理。一一對(duì)應(yīng)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要的基本概念。從這個(gè)題目可以看出，僅僅是搞清楚這么一個(gè)概念，就會(huì)起很大的作用了。思考題：如果兩個(gè)圖形均為長方形，情況有什么不同？例如：大棋盤是2030，而小棋盤是1015。問大棋盤中有多少個(gè)與小棋盤相同的長方形？計(jì)算【解】有三張卡片，在它們上面各寫有

23、一個(gè)數(shù)字（圖43）。從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排起來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)你將其中的素?cái)?shù)都寫出來。【解法】我們知道，一個(gè)比1大的自然數(shù)，如果除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，那末這個(gè)數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。我們先回想一下被3整除的判定法則：如果一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那末這個(gè)數(shù)也能被3整除。因?yàn)槿龔埧ㄆ系臄?shù)字分別為1，2，3。這三個(gè)數(shù)字的和為6，能被3整除，所以用這三個(gè)數(shù)字任意排成的三位數(shù)都能被3整除，因此不可能是素?cái)?shù)。再看二張卡片的情形。因?yàn)?23，根據(jù)同樣的道理，用1，2組成的二位數(shù)也能被3整除，因此也不是素?cái)?shù)。這樣剩下要討論的二位數(shù)只有13，31，

24、23，32這四個(gè)了。其中13，31和23都是素?cái)?shù)，而32不是素?cái)?shù)。最后，一位數(shù)有三個(gè)：1，2，3。1不是素?cái)?shù)。2和3都是素?cái)?shù)?？傊?，本題中的素?cái)?shù)共有五個(gè)：2，3，13，23，31。答：共有五個(gè)素?cái)?shù)：2，3，13，23，31?！痉治雠c討論】這道題主要考察問學(xué)們對(duì)素?cái)?shù)概念的掌握以及整除的基本規(guī)律（如被3整除的特點(diǎn)）。當(dāng)然，如果將二張卡片組成的所有數(shù)都寫出來，再一個(gè)一個(gè)地分析，也可以做出來。但這樣做是不可取的。有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別是6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面

25、升高了多少厘米？【解法】把碎石沉沒在水中，水面升高所增加的體積，就等于所沉入的碎石的體積。因此，沉入水池中的碎石的體積是3米3米0.06米0.54米3而沉入小水池中的碎石的體積是2米2米0.04米0.16米3這兩堆碎石的體積一共是0.54米30.16米30.7米3。把它們都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的體積也就是0.7米3。而大水池的底面積是6米6米36米2。所以水面升高了：在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（不到100個(gè)），如圖44。小明像玩跳棋那樣，從A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針方向，每隔幾個(gè)孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔。他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到

26、B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔。你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎？【解法】設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號(hào)；A孔編號(hào)為1，然后沿逆時(shí)針方向順次編號(hào)為2，3，4，B孔的編號(hào)就是圓圈上的孔數(shù)。我們先看每隔2孔跳一步時(shí)，小明跳在哪些孔上？很容易看出應(yīng)在1，4，7，10，上。也就是說，小明跳到的孔上的編號(hào)是3的倍數(shù)加1。按題意，小明最后跳到B孔，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1。同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù)加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A，就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù)。如果將孔數(shù)減1，那么得數(shù)是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍數(shù)。這個(gè)15的倍數(shù)加上1就等于孔數(shù)，而

27、且能被7整除。注意15被7除余1，所以156被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。我們還可以看出，15的其他（小于7的）倍數(shù)加1都不能被7整除，而157105已經(jīng)大于100，7以上的倍數(shù)都不必考慮。因此，總孔數(shù)只能是156l91。答：圓圈上共有91個(gè)孔?！痉治雠c討論】這道題其實(shí)是下面一類問題的特殊情形。一般的問題是：有一個(gè)未知整數(shù)，只知道它被某幾個(gè)整數(shù)除后所得的余數(shù)，求這個(gè)整數(shù)。中國古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中，已經(jīng)有解決這類問題的一般方法了。這個(gè)方法在國際上被普遍稱為“中國余數(shù)定理”。華羅庚教授曾為高小初中學(xué)生寫過一本小冊(cè)子從孫子的“神奇妙算”談起，深入淺出地介紹了解決這個(gè)問題的巧妙方法，還由此

28、引伸出其他一些很有趣的問題，極富啟發(fā)性。這本小冊(cè)子已被選入華羅庚科普著作選集（上海教育出版社），有興趣的同學(xué)可以讀讀。試將1，2，3，4，5，6，7分別填入圖45的方框中，每個(gè)數(shù)字只用一次：使得這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)。其中一個(gè)三位數(shù)已填好，它是714。【解法】我們知道，如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，那末這兩個(gè)數(shù)就叫做互質(zhì)數(shù)。已經(jīng)填好的三位數(shù)714是個(gè)合數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)分解是71423717。使得這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)。其中一個(gè)三位數(shù)已填好，它是714。由此可以看出，要使最下面方框中的數(shù)與714互質(zhì)，在剩下未填的數(shù)字2，3，5，6中只能選5，也就是說，第三行的一位數(shù)只能填5?，F(xiàn)在來討論第二行的三

29、個(gè)方框中應(yīng)該怎樣填2，3，6這三個(gè)數(shù)字。因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)偶數(shù)都有公約數(shù)2，因此不互質(zhì)。而714是偶數(shù)，所以第二行的三位數(shù)不能是偶數(shù)，也就是說，2和6不能填在個(gè)位上，因此個(gè)位數(shù)只能是3。這樣一來，第二行的三位數(shù)只能是263或623。但是623能被7整除，所以623與714不互質(zhì)。最后來看263這個(gè)數(shù)。通過檢驗(yàn)可知：714的質(zhì)因數(shù)2，3，7和17都不是263的因數(shù)，所以714與263這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。顯然，263與5也互質(zhì)。因此，714，263和5這一個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。答：填法是：圖47是一張道路圖，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)。請(qǐng)問小王從A出發(fā)走到B，最快需要幾分鐘？【解法1】為敘述方便，我們把

30、每個(gè)路口都標(biāo)上字母，如圖48、圖49所示首先我們將道路圖逐步簡(jiǎn)化。從A出發(fā)經(jīng)過C到B的路線都要經(jīng)過DC和GC。面從A到C有兩條路線可走：ADC需時(shí)間141327（分鐘）；AGC需時(shí)間151126（分鐘）。我們不會(huì)走前一條路線，所以可將DC這段路抹去。但要注意，AD不能抹去，因?yàn)閺腁到B還有別的路線（例如AHB）經(jīng)過AD，需要進(jìn)一步分析。由G到E也有兩條路線可走：CCE需16分鐘，GIE也是16分鐘。我們可以選擇其中的任一條路線，例如選擇前一條，抹掉GIE。（也可以選擇后一條而抹掉CE。但不能抹掉GC，因?yàn)檫€有別的路線經(jīng)過它。）這樣，道路圖被簡(jiǎn)化成圖49的形狀。在圖49中，從A到F有兩條路線，經(jīng)

31、過H的一條需1461737（分鐘），經(jīng)過G的一條需15111036（分鐘），我們又可以將前一條路線抹掉（圖50）。圖50中，從C到B也有兩條路線，比較它們需要的時(shí)間，又可將經(jīng)過E的一條路線抹掉。最后，剩下一條最省時(shí)間的路線（圖51），它需要1511101248（分鐘）。答：最快需要48分鐘。【解法2】要抓住關(guān)鍵點(diǎn)C。從A到B的道路如果經(jīng)過C點(diǎn)，那么，從A到C的道路中選一條最省時(shí)間的，即AGC；從C到B的道路中也選一條最省時(shí)間的，即CFB。因而從A到B經(jīng)過C的所有道路中最省時(shí)間的就是這兩條道路接起來的，即AGCFB。它的總時(shí)間是48分鐘。剩下的只要比較從A到B而不經(jīng)過C點(diǎn)的道路與道路AGCFB，

32、看那個(gè)更省時(shí)間。不經(jīng)過C點(diǎn)的道路只有兩條：ADHFB，它需要49分鐘；AGIEB，它也需要49分鐘。所以，從A到B最快需要48分鐘?！痉治雠c討論】上面的簡(jiǎn)化過和并不需要逐一畫圖，只要在原圖上將準(zhǔn)備抹掉的路段打上記號(hào)，就能很快找出需時(shí)最短的路線來。即使更復(fù)雜的道路圖，也很容易得到簡(jiǎn)化。圖52是稍為復(fù)雜一些的道路圖，圖中數(shù)字意義與本題相同。請(qǐng)同學(xué)們?cè)囉蒙厦娴闹鸩胶?jiǎn)化方法求出從A到B的最短時(shí)間。本題在應(yīng)用數(shù)學(xué)中有個(gè)專門的名稱，叫做“最短路線問題”。最短路線問題在交通運(yùn)輸、計(jì)劃規(guī)劃等許多方面都有廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際問題中，道路圖往往很復(fù)雜，要找出從A到B的所有路線是很困難的。因此，象上面這樣的間化方法，

33、就十分必要了。梯形 ABCD的中位線EF長15厘米（見圖53），ABC=AEF=90，G是EF上的一點(diǎn)。如果三角形ABG的面積是梯形ABCD面積的1/5，那么EG的長是幾厘米？解梯形ABCD的面積等于EFAB，而三用形ABC的面積等于（1/2）EGAB，因此三角形ABG和梯形 ABCD的面積比等于（1/2）EG與EF的比。 由題目的條件，三角形ABG的面積是梯形ABCD的面積的1/5，或者說EG是EF的2/5。因?yàn)镋F長15厘米.EG的長就是15厘米2/56厘米答：EG長6厘米。分析與討論在本題中，假設(shè)ABCAEG=90，這個(gè)條件其實(shí)是多余的。只是考慮到小學(xué)同學(xué)可能還沒有學(xué)過有關(guān)中位線的性質(zhì)，

34、才加上這個(gè)條件的。有興趣的同學(xué)可以考慮一下，如果去掉這個(gè)條件，這一題應(yīng)該怎樣做？有三堆砝碼，第一堆中每個(gè)法碼重3克，第二堆中每個(gè)砝碼重5克，第三堆中每個(gè)砝碼重7克。請(qǐng)你取最少個(gè)數(shù)的砝碼，使它們的總重量為130克寫出的取法：需要多少個(gè)砝碼？其中3克、5克和7克的砝碼各有幾個(gè)？解法 為廠使問題簡(jiǎn)化，我們首先分析一下這三排砝碼之間的關(guān)系。很明顯，一個(gè)3克的破碼加上一個(gè)7 克的砝碼正好等于兩個(gè)5克的砝碼（都是10兌）。因此，如果用一個(gè)3克的砝碼和一個(gè)7克的砝碼去替換兩個(gè)5克的砝碼，砝碼的個(gè)數(shù)及總重量都保持不變。這樣一來，我們就可以把 5克砝碼兩個(gè)兩個(gè)地?fù)Q掉，直到只剩一個(gè)5克的砝碼或者沒有5克砝碼為止。

35、這樣就將問題歸結(jié)為下面兩種情形：一、所取的砝碼中沒有5克砝碼。很明顯，為了使所取的砝碼個(gè)數(shù)盡量少，應(yīng)該盡可能少取3克砝碼，而130克減去3克砝碼的總重量應(yīng)該是7無的倍數(shù)。計(jì)算一下就可以知道，取0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)3克砝碼，所余下的重量都不是7克的倍數(shù)。面如果取6個(gè)3克砝碼，則130-3克6=112克=7克16。于是可以取16個(gè)7克砝碼和6個(gè)3個(gè)克砝碼，總共22個(gè)砝碼，二、所取的砝碼中有一個(gè)5克的。那么3克和7克砝碼的總重最是130克-5克=125克、和第一種情形類似，可以算出應(yīng)取2個(gè)3克砝碼和17個(gè)7克砝碼，這樣總共有17+2+1=20個(gè)砝碼。比較上面兩種情形，我們得知最少也取2

36、0個(gè)砝碼。取法可以就象后十種情形那樣；2個(gè)3克的，1個(gè)5克的，17個(gè)7克的；當(dāng)然也可以用兩個(gè)5克砝碼換掉一個(gè)3克和1個(gè)7克的砝碼， 例如可以取5個(gè)5克的和15個(gè)7克的。答：最少要取 20個(gè)砝碼，取法如上述。分析和討論 在這個(gè)問題中，有三個(gè)數(shù)（即三種砝碼的個(gè)數(shù)）是可以變的。上面的解法實(shí)質(zhì)上是先固定一個(gè)數(shù)（5克砝碼的個(gè)數(shù)）、那么只剩下的個(gè)數(shù)在變，就比較容易處理了。如果三個(gè)數(shù)都在變，就會(huì)變得很亂，即使是找到一種只需20個(gè)砝碼的取法，也很難說清楚為什么這就是最少的。如果同學(xué)們還想冉做一個(gè)這樣的習(xí)題，那么不妨算一下，在本題的條件下，至多可以取多少個(gè)砝碼？怎樣?。坑?塊圓形的花圃，它們的直徑分別是3米、4

37、米、5米、8米、9米；請(qǐng)將這5塊花圃分成兩組，分別交給兩個(gè)班管便兩班所管理的面積盡可能接近。解法我們知道，每個(gè)圓的面積等于直徑的平方乘以（/4）?，F(xiàn)在要把5個(gè)圓分組， 兩組的總面積累盡可能接近或者說；兩組總面積的比盡可能接近！由于每個(gè)圓面積都有因子（/ 4）。而我們關(guān)心的只是面積的比，所以不把這個(gè)共同的因索都去掉，而把問題簡(jiǎn)化為：將5個(gè)圓公成兩組，使兩組圓的直徑的個(gè)方和盡可能接近。5個(gè)圓的直徑的平方分別是：9，16，25，64，81。這5個(gè)數(shù)的和是195。由于195是奇數(shù)，所以不可能把這5個(gè)數(shù)分成兩組，使它們的和相等。另一方面.81+16=97，9+25+24=98天者僅相差1，這當(dāng)是我樣期望的最佳分配了。答：應(yīng)該把直徑4米和9米的兩個(gè)花圃交給一個(gè)班管理，其余三個(gè)花圃交給另一個(gè)班管理。分析與討論這個(gè)題目和“華羅庚金杯”賽第一屆初賽第18題屬于同一類型。做這個(gè)題目時(shí)，如果先每花圃的面積、再根據(jù)面積來分組，計(jì)算量就太大了。將這個(gè)因數(shù)去掉，只考慮直徑的平方，就使問題大大簡(jiǎn)化。一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開始， 每一個(gè)數(shù)