1、2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義課堂導(dǎo)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)1.平面向量數(shù)量積的概念【例1】 已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角為120，求：（1）ab；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）（a+3b）.思路分析：由于向量的數(shù)量積滿足乘法對加法的分配律，因此向量的數(shù)量積運(yùn)算可類似于多項式的乘法運(yùn)算，如（a+b）2=（a+b）（a+b）=（a+b）a+（a+b）b=aa+ba+ab+bb= a2+2ab+b2.解：（1）ab=|a|b|cos120=54(-)=-10.（2）（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=25-210+16=21.(3)a

2、2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9.（4）（2a-b）（a+3b）=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=225+5(-10)-316=-48.溫馨提示（1）在進(jìn)行向量數(shù)量積運(yùn)算時，要嚴(yán)格按運(yùn)算律進(jìn)行；（2）由于向量數(shù)量積滿足乘法對加法的分配律，故向量數(shù)量積中也有類似多項式乘法的公式：（ab）2=a22ab+b2,（a+b）（a-b）=a2-b2（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.【例2】已知a與b的夾角為30，且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b與q=a-b的夾角的余弦.思路分析：利用cos=確定p,q的夾角，必先求pq及|p|q|，而

3、求|p|及|q|利用模長公式|p|2=p2,|q|2=q2.解：|p|=|a+b|=,|q|=|a-b|=cos=.溫馨提示（1）在求向量的模及兩向量夾角時，主要利用公式|a|2=a2及cos=.（2）向量夾角的計算中涉及了多種形式的向量運(yùn)算和數(shù)量運(yùn)算，計算時，不僅要防止計算錯誤的發(fā)生，還要區(qū)分要進(jìn)行的是向量運(yùn)算還是數(shù)量運(yùn)算，從而保證結(jié)果準(zhǔn)確無誤.2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【例3】 已知|a|=4，|b|=3，a與b的夾角為120，且c=a+2b，d=2a+kb，問當(dāng)k取何實數(shù)時，（1）cd;(2)cd思路分析：依據(jù)兩個向量垂直的條件是這兩個向量的夾角為90，而兩個向量的平行的條件是夾角為0或1

4、80；再由夾角公式求得所需條件.解：設(shè)c與d的夾角為，則由已知,得cd=（a+2b）（2a+kb）=2a2+（4+k）ab+2kb2=242+(4+k)43cos120+2k32=8+12k.|c|=|a+2b|=.|d|=|2a+kb|=cos=(1)要使cd，只要cos=0,即6k+4=0,k=-.(2)要使cd,只需cos=1,即=(6k+4),解得k=4.綜上，當(dāng)k=-時，cd;當(dāng)k=4時，cd.溫馨提示兩向量平行，夾角為0或180,故有ab=|a|b|或ab=-|a|b|.而兩向量垂直，夾角為90,所以ab=0,反之也成立.3.正確理解兩向量夾角的定義【例4】 RtABC中，已知|A

5、B|=3，|BC|=3，|CA|=，求+的值.思路分析：只需求出向量與，與，與的夾角，利用數(shù)量積定義求解.解：A=C=45,與夾角為135,與夾角為135,與夾角為90.+=+=33cos135+33cos135=-18.溫馨提示 正確理解兩向量夾角的定義，是指同一點(diǎn)出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小非負(fù)角。各個擊破類題演練1已知|a|=4，|b|=3，若：（1）ab；（2）ab;(3)a與b的夾角為60，分別求ab.解：（1）當(dāng)ab時，若a與b同向，則它們的夾角=0,ab=|a|b|cos0=431=12;若a與b反向，則a與b的夾角=180，ab=|a|b|cos180=43(-1)=-12.（2

6、）當(dāng)ab時，a與b的夾角為90，ab=|a|b|cos90=0,（3）當(dāng)a與b的夾角=60時.ab=|a|b|cos60=43=6.變式提升1設(shè)e1,e2是兩個單位向量，它們的夾角為60，則（2e1-e2）（-3e1+2e2）等于（ ）A.- B. C.-8 D.8解析：（2e1-e2） (-3e1+2e2)=-6e12+7e1e2-2e22=-6|e1|2+7|e1|e2|cos60-2|e2|2=-6+-2=-.答案：A類題演練2已知|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為，求向量a+b與a-2b的夾角的余弦.解：ab=|a|b|cos=21=1.a2=4,b2=1.(a+b)(a-2b)=

7、a2-ab-2b2=4-1-2=1.|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=4+2+1=7.|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=4-41+41=4.設(shè)a+b與a-2b的夾角為，則cos=.變式提升2設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1，|3a-2b|=3，求|3a+b|的值.解：|3a-2b|=3，9a2-12ab+4b2=9.|a|=|b|=1，ab=.|3a+b|2=9|a|2+6ab+|b|2=9+6+1=12,故|3a+b|=.類題演練3已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角為60,試問當(dāng)k為何值時，向量ka-b與a+2b垂直？解：若(ka-b)(a+2b),

8、則(ka-b)(a+2b)=0.即ka2+(2k-1)ab-2b2=0.k52+(2k-1)54cos60-242=0.k=.所以當(dāng)k=時，向量ka-b與向量a+2b垂直.變式提升3已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角.解：設(shè)a、b的夾角為，則cos=.又a+3b垂直于7a-5b，a-4b垂直于7a-2b，即2ab=b2.代入式，得a2=b2.|a|=|b|.cos=.=60.類題演練4如右圖，已知ABC中，a=5,b=8,C=60,求.解：因為|=a=5，|=b=8，設(shè)與的夾角為，則=180-C=180-60=120,所以=|cos=58cos120=-20.變式提升4在ABC中，=a，=b，且ab0，則ABC是（ ）A.銳角三角形