1、湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,1,4.3.2 二階常系數(shù)線性微分方程,一、二階常系數(shù)齊次線性方程,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,2,1、定義,n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,3,2、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,-特征方程法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,4, 有兩個不相等的實(shí)根,兩個線性無關(guān)的特解,得齊次方程的通解為,特征根為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,5, 有兩個相等的實(shí)根,一特解為,得齊次方程的通解為,特征根為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,6, 有一

2、對共軛復(fù)根,重新組合,得齊次方程的通解為,特征根為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,7,二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫出相應(yīng)的特征方程; （2）求出特征根; （3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.,(見下表),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,8,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,9,定義,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例1,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,10,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例2,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,11,例如，,注意:,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,12,3、n階常系數(shù)齊次線性方程解

3、法,特征方程為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,13,注意,n次代數(shù)方程有n個根, 而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各一個任意常數(shù).,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,14,特征根為,故所求通解為,解,特征方程為,例3,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,15,4、小結(jié),二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫出相應(yīng)的特征方程; （2）求出特征根; （3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.,(見下表),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,16,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,17,思考題,求微分方程 的通解.,P292 4題,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,18,思考題解答,令,則,特征根,通

4、解,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,19,練 習(xí) 題,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,20,練習(xí)題答案,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,21,二、二階常系數(shù)非齊次線性方程,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,22,二階常系數(shù)非齊次線性方程,對應(yīng)齊次方程,通解結(jié)構(gòu),常見類型,難點(diǎn)：如何求特解？,方法：待定系數(shù)法.,1、 型,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,23,設(shè)非齊方程特解為,代入原方程,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,24,綜上討論,注意,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,25,特別地,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,26,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代

5、入方程, 得,原方程通解為,例1,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,27,第二步 求出如下兩個方程的特解,分析思路:,第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特點(diǎn),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,28,第一步,利用歐拉公式將 f (x) 變形,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,29,第二步 求如下兩方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式兩邊取共軛 :,為方程 的特解 .,設(shè),則 有,特解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,3

6、0,第三步 求原方程的特解,利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :,原方程,均為 m 次多項(xiàng)式 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,31,第四步 分析,因,均為 m 次實(shí),多項(xiàng)式 .,本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,32,小 結(jié):,對非齊次方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,33,例1.,的一個特解 .,解: 本題,特征方程,故設(shè)特解為,不是特征方程的根,代入方程

7、得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個特解,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,34,解,對應(yīng)齊方通解,作輔助方程,代入輔助方程,例2,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,35,解,對應(yīng)齊方通解,作輔助方程,代入上式,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取虛部）,例3,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,36,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取實(shí)部）,注意,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,37,3、小結(jié),(待定系數(shù)法),只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解, 取特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,38,思考題,寫出微分方程,的待定特解的形式.,P293

8、8題的奇數(shù),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,39,思考題解答,設(shè) 的特解為,設(shè) 的特解為,則所求特解為,特征根,（重根）,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,40,練 習(xí) 題,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,41,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,42,練習(xí)題答案,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,43,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,44,三、歐拉方程,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,45,解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.,特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,46,作變量變換,將自變量換為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,47,上述結(jié)果可以寫為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,48,一般地，,例,求歐拉方程,的通解,解,作變量變換,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,49,原方程化為,即,或,(1),方程(1)所對應(yīng)的齊次方程為,其特征方程,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,50,特征方程的根為,所以齊次方程的通解為,設(shè)特解為