1、2020/9/17,1,高 等 數(shù) 學(xué),多媒體課件 數(shù)學(xué)教研室編,2020/9/17,2,高 等 數(shù) 學(xué),第一章 函數(shù),極限與連續(xù) 第二章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 第三章 一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用 第四章 一元函數(shù)的積分 第五章 定積分的應(yīng)用 第六章 常微分方程,2020/9/17,3,第一講 映射與函數(shù),二 函數(shù)基本概念,一 問題的提出,三 函數(shù)的幾種特性,四 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù),五 小結(jié)與思考判斷題,(Mapping and Function),2020/9/17,4,一 問題的提出,微積分是一門以變量為研究對象、以極限方法作為研究工具的數(shù)學(xué)學(xué)科，應(yīng)用極限方法研究各類變化率問題和幾何學(xué)中曲線的切線

2、問題，就產(chǎn)生了微分學(xué)；應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到微小量無窮積累的問題，就產(chǎn)生了積分學(xué)。英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲同時發(fā)現(xiàn)了微積分，微積分研究的主要對象就是函數(shù)。,2020/9/17,5,二、集合(Set):,1.集合概念,我們把具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的總體稱為一個集合。,組成這個集合的事物稱為該集合的元素。,注：集合的表示方法主要有列舉法和描述法。,2020/9/17,6,2.區(qū)間(interval):,介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)構(gòu)成區(qū)間.這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,開區(qū)間,閉區(qū)間,2020/9/17,7,左閉右開區(qū)間,左開右閉區(qū)間,注:,兩端點間的距離稱為區(qū)間

3、的長度.,無窮區(qū)間,2020/9/17,8,3 鄰域,記作,2020/9/17,9,三 映射(Mapping),1 映射概念,2020/9/17,10,對應(yīng)法則f,1）映射的三要素:,定義域、對應(yīng)法則和值域,2020/9/17,11,2020/9/17,12,2020/9/17,13,注意：只有單射才 存在逆映射,2020/9/17,14,如：,2020/9/17,15,因變量,自變量,數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域,四 函數(shù)（Function),1 函數(shù)概念,2020/9/17,16,2020/9/17,17,自變量,因變量,對應(yīng)法則f,1）函數(shù)的三要素:,定義域、對應(yīng)法則和值域,注: 定義域是

4、自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.,2020/9/17,18,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù),函數(shù)的表示方法：,1）表格法,2）圖形法,3）解析法,2）單值函數(shù)與多值函數(shù),2020/9/17,19,1) 符號函數(shù),2 分段函數(shù)（Piecewise-defined Functions),符號函數(shù)的定義域是實數(shù)集，值域-1，0，1,2020/9/17,20,2) 取整函數(shù) y=x x表示不超過 的最大整數(shù),2020/9/17,21,3) 狄利克雷函數(shù)(Dirichlet),2020/9/17,22,2020/9/17,23

5、,3 函數(shù)的特性,有界,無界,1）有界性(Boundedness):,2020/9/17,24,2）單調(diào)性(Monotonicity):,2020/9/17,25,2020/9/17,26,3）奇偶性(Odd and Even):,偶函數(shù),2020/9/17,27,奇函數(shù),2020/9/17,28,4）周期性(Periodicity):,（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,思考：是否存在無周期的周期函數(shù)？,2020/9/17,29,3、復(fù)合函數(shù)(Composite Functions),注：不是任何函數(shù)都可以復(fù)合成一個函數(shù)。,2020/9/17,30,直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對

6、稱.,4、反函數(shù)(Inverse Functions),2020/9/17,31,映射與函數(shù)（）,一 基本初等函數(shù),二 初等函數(shù),三 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),(Mapping and Function),2020/9/17,32,一 基本初等函數(shù) (Basic Elementary Functions),1 冪函數(shù)(Power Function),思 考 冪 函 數(shù) 的 性 質(zhì),2020/9/17,33,2 指數(shù)函數(shù)(Exponential Function),思 考: 指 數(shù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì),2020/9/17,34,3 對數(shù)函數(shù)(Logarithmic Function),2020/9/

7、17,35,4 三角函數(shù)(Trigonometric Function),正弦函數(shù),余弦函數(shù),2020/9/17,36,正切函數(shù),余切函數(shù),2020/9/17,37,正割函數(shù),余割函數(shù),2020/9/17,38,5 反三角函數(shù)(Anti-Trigonometric Function),2020/9/17,39,2020/9/17,40,冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。,由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù)。,二 初等函數(shù)(Elementary Functions),2020/9/17,41,例1,解,2020/9/17,42,2020/9/17,43,三 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),奇函數(shù).,偶函數(shù).,1 雙曲函數(shù),(Hyperbolic Function and