1、2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問題平面化的典范.空間中直線與平面的垂直問題是連接線線垂直和面面垂直的橋梁和紐帶，可以說(shuō)線面垂直是立體幾何的核心.本節(jié)重點(diǎn)是直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用.三維目標(biāo)1.探究直線與平面垂直的判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.2.掌握直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.讓學(xué)生明確直線與平面垂直在立體幾何中的地位.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):直線與平面垂直的判定.教學(xué)難點(diǎn):靈活應(yīng)用直線與平面垂直判定定理

2、解決問題.課時(shí)安排 1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入) 日常生活中，我們對(duì)直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí)，比如，旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的印象. 在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子.隨著時(shí)間的變化，盡管影子BC的位置在移動(dòng)，但是旗桿AB所在直線始終與BC所在直線垂直.也就是說(shuō)，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B的直線BC也是垂直的.思路2.(事例導(dǎo)入) 如果一條直線垂直于一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？舉例說(shuō)明. 如圖1，直線AC1與直線BD、EF、GH等無(wú)數(shù)條直線垂直，但直線AC1與平面ABCD不

3、垂直.圖1推進(jìn)新課新知探究提出問題探究直線與平面垂直的定義和畫法.探究直線與平面垂直的判定定理.用三種語(yǔ)言描述直線與平面垂直的判定定理.探究斜線在平面內(nèi)的射影，討論直線與平面所成的角.探究點(diǎn)到平面的距離.活動(dòng):問題引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合事例觀察探究.問題引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合事例實(shí)驗(yàn)探究.問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換.問題引導(dǎo)學(xué)生思考其合理性.問題引導(dǎo)學(xué)生回憶點(diǎn)到直線的距離得出點(diǎn)到平面的距離.討論結(jié)果：直線與平面垂直的定義和畫法：教師演示實(shí)例并指出書脊（想象成一條直線）、各書頁(yè)與桌面的交線，由于書脊和書頁(yè)底邊（即與桌面接觸的一邊）垂直，得出書脊和桌面上所有直線都垂直，書脊和桌面的位置關(guān)系給了我們直線和平面垂直的形象.

4、從而引入概念：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直；過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.平面的垂線和平面一定相交，交點(diǎn)叫做垂足.直線和平面垂直的畫法及表示如下：如圖2，表示方法為：a. 圖2 圖3如圖3,請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：過ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）.(1)折痕AD與桌面垂直嗎？(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線與桌

5、面所在的平面垂直.如圖4.(1) (2)圖4 所以，當(dāng)折痕AD垂直平面內(nèi)的一條直線時(shí)，折痕AD與平面不垂直，當(dāng)折痕AD垂直平面內(nèi)的兩條直線時(shí)，折痕AD與平面垂直.直線和平面垂直的判定定理用文字語(yǔ)言表示為： 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面. 直線和平面垂直的判定定理用符號(hào)語(yǔ)言表示為：l.直線和平面垂直的判定定理用圖形語(yǔ)言表示為：如圖5, 圖5 圖6斜線在平面內(nèi)的射影.斜線：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直時(shí)，這條直線就叫做這個(gè)平面的斜線.斜足：斜線和平面的交點(diǎn).斜線在平面內(nèi)的射影：從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在

6、這個(gè)平面內(nèi)的射影. 直線與平面相交，直線與平面的相互位置類同于兩條相交直線，也需要用角來(lái)表示，但過交點(diǎn)在平面內(nèi)可以作很多條直線.與平面相交的直線l與平面內(nèi)的線a、b所成的角是不相等的.為了定義的確定性，我們必須找到一些角中有確定值的，又能準(zhǔn)確描述其位置的一個(gè)角，這就是由斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的銳角作為直線和平面所成的角. 平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. 特別地：如果一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角為直角. 一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角為0.如圖6，l是平面的一條斜線，點(diǎn)O是斜足，A是l上任意一點(diǎn)，AB是的垂線，點(diǎn)B

7、是垂足，所以直線OB（記作l）是l在內(nèi)的射影，AOB（記作）是l與所成的角. 直線和平面所成的角是一個(gè)非常重要的概念，在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，如發(fā)射炮彈時(shí)，當(dāng)炮筒和地面所成的角為多少度時(shí)，才能準(zhǔn)確地命中目標(biāo)，也即射程為多遠(yuǎn)？又如鉛球運(yùn)動(dòng)員在投擲時(shí)，以多大的角度投擲，投出的距離最遠(yuǎn)？點(diǎn)到平面的距離:經(jīng)過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影還是一個(gè)點(diǎn).垂線段：上述的點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段.點(diǎn)到平面的距離：垂線段的長(zhǎng)叫做點(diǎn)到平面的距離.應(yīng)用示例思路1例1 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面.解：已知ab，a.求證：b

8、.圖7證明：如圖7,在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n，設(shè)mn=A.*變式訓(xùn)練 如圖8,已知點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，PABC，PCAB，求證：PBAC.圖8證明：過P作PO平面ABC于O，連接OA、OB、OC.PO平面ABC，BC平面ABC，POBC.又PABC，BC平面PAO.又OA平面PAO，BCOA.同理,可證ABOC.O是ABC的垂心.OBAC.可證POAC.AC平面PBO.又PB平面PBO，PBAC.點(diǎn)評(píng)：欲證線面垂直需要轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，欲證線線垂直往往轉(zhuǎn)化為線面垂直.用符號(hào)語(yǔ)言證明問題顯得清晰、簡(jiǎn)潔.例2 如圖9,在正方體ABCDA1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成

9、的角.圖9活動(dòng)：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.解：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接A1O.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，因?yàn)锳1B1B1C1,A1B1B1B,所以A1B1平面BCC1B1.所以A1B1BC1.又因?yàn)锽C1B1C，所以BC1平面A1B1CD.所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角.在RtA1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,BA1O=30.因此,直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30.變式訓(xùn)練 如圖10，四面體ABCD的棱長(zhǎng)都相等，Q是AD的中

10、點(diǎn)，求CQ與平面DBC所成的角的正弦值.圖10解：過A作AO面BCD，連接OD、OB、OC，則可證O是BCD的中心,作QPOD,QPAO,QP面BCD.連接CP，則QCP即為所求的角.設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為a，在正ACD中，Q是AD的中點(diǎn),CQ=.QPAO，Q是AD的中點(diǎn),QP=，得sinQCP=.點(diǎn)評(píng)：求直線與平面所成的角，是本節(jié)的又一重點(diǎn)，作線面角的關(guān)鍵是找出平面的垂線.思路2例1 （2007山東高考,文20）如圖11(1)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.(1)(1)求證：D1CAC1；（2）設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E

11、平面A1BD，并說(shuō)明理由.（1）證明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，如圖11(2).(2)DC=DD1，四邊形DCC1D1是正方形.DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1=D,AD平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1.ADD1C.AD、DC1平面ADC1，且ADDC1=D,D1C平面ADC1.又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解：連接AD1、AE，如圖11(3).(3)圖11設(shè)AD1A1D=M,BDAE=N,連接MN，平面AD1E平面A1BD=MN，要使D1E平面A1BD，需使MND1E，又M是AD1的中點(diǎn)，N是AE的中點(diǎn).又易知ABNEDN，AB=D

12、E,即E是DC的中點(diǎn).綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E平面A1BD.變式訓(xùn)練 如圖12，在正方體ABCDA1B1C1D1，G為CC1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心.求證：A1O平面GBD.圖12證明：BDA1O.又A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,A1O2+OG2=A1G2.A1OOG.又BDOG=O,A1O平面GBD.點(diǎn)評(píng)：判斷線面垂直往往轉(zhuǎn)化為線線垂直，勾股定理也是證明線線垂直的重要方法.例2 如圖13，ABCD為正方形，過A作線段SA面ABCD，又過A作與SC垂直的平面交SB、

13、SC、SD于E、K、H，求證：E、H分別是點(diǎn)A在直線SB和SD上的射影.圖13證明：SABC,又ABBC,SAAB=A,BC平面SAB.BCAE.SC平面AHKE,SCAE.又BCSC=C,AE平面SBC.AESB,即E為A在SB上的射影.同理可證,H是點(diǎn)A在SD上的射影.變式訓(xùn)練 已知RtABC的斜邊BC在平面內(nèi)，兩直角邊AB、AC與都斜交，點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是點(diǎn)A，求證：BAC是鈍角.證明：如圖14，過A作ADBC于D，連接AD，圖14AA，BC，AABC.BCAD.tanBAD=tanBAD=，tanCAD=tanCAD=，BADBAD，CADCAD.BACBAC，即BAC是鈍角.知能訓(xùn)

14、練 如圖15，已知a、b是兩條相互垂直的異面直線，線段AB與兩異面直線a、b垂直且相交，線段AB的長(zhǎng)為定值m，定長(zhǎng)為n（nm）的線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)分別在a、b上移動(dòng)，M、N分別是AB、PQ的中點(diǎn).圖15求證：（1）ABMN；（2）MN的長(zhǎng)是定值.證明：(1)取PB中點(diǎn)H,連接HN,則HNb.又ABb,ABHN.同理,ABMH.AB平面MNH.ABMN.(2)b平面PAB.bPB.在RtPBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2, 在RtPBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2, 兩式相加PA2+BQ2=n2-m2,ab,MHN=90.MN=(定值).拓展提升1.如圖16，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).圖16（1）求證：ACBC1;（2）求證：AC1平面CDB1；（1）證明：在ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,ABC為直角三角形.ACCB.又CC1面ABC,AC面ABC,ACCC1.AC面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,ACBC1.（2）證明：連接B1C交BC1于E，則E為BC1的中點(diǎn)，連接DE,則在ABC1中,DEAC1.又DE面CDB1,則AC1面B1CD.課堂小結(jié)知識(shí)總結(jié)：利用面面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題