1、第12講 分步與分類加法原理和乘法原理是計數(shù)研究中最常用、也是最基本的兩個原理加法原理 如果做一件事，完成它有m類不同的方法，在第l類方法中有n1種不同的方法，在第2類方法中有以n2種不同的方法，在第m類方法中有nm種不同的方法，那么完成這件事共有n1+n2+nm種不同的方法乘法原理 如果做一件事，完成它需要m個步驟，完成第1步有n1種不同的方法，完成第2步有n2種不同的方法，完成第m步有nm種不同的方法，那么完成這件事共有n1n2nm種不同的方法下面我們通過一些例子來說明這兩個原理在計數(shù)中的應(yīng)用A類例題例1（1998年全國高考題）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生

2、和2名護(hù)士，不同的分配方法有 （ ）A.90種 B.180種 C.270種 D.540種分析 本題要將所有醫(yī)生和護(hù)士分配到各所學(xué)校，可以分兩步進(jìn)行，即先分配醫(yī)生，再分配護(hù)士。在分配過程中，又要分配到每一所學(xué)校。故依據(jù)乘法原理計算。解 將醫(yī)生分配到3所學(xué)校，每校1人，有種方法，再分配護(hù)士，第一所學(xué)校有種方法；第二所學(xué)校有種方法，第三所學(xué)校有種方法，所以由乘法原理共有=540種方法。故應(yīng)選D。說明 運(yùn)用乘法原理解題要注意步與步的獨(dú)立性，即某一步的任何一種完成方式不會影響其它步的方法總數(shù)。例2（1999年全國高考題）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植1壟，為了有利

3、于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，在不同的選壟方法共有_種。分析由于A、B兩種作物的間隔不小于6壟，即間隔不定，因此，我們需要按分類來做。解間隔8壟時，有種；間隔7壟時，有2種；間隔6壟時，有3種。所以共有（1+2+3）=12種選壟的方法。說明 運(yùn)用加法原理解題要注意分類時不重不漏。例3 由數(shù)字0，1，3，5，7中取出不同的三個數(shù)字作系數(shù)，可以組成多少個不同的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)?其中有實(shí)根的方程有多少個？ 分析 一元二次方程有實(shí)根需滿足，所以有實(shí)根的方程個數(shù)對應(yīng)于滿足的（a,b,c）個數(shù)，分類的標(biāo)準(zhǔn)是b的不同取值。 解 x的系數(shù)a0,a有4種取法；對于每一種

4、a的取法，b,c可以從余下的4個數(shù)字中任何兩個排列，有A種方法，共可組成一元二次方程4A=48個。又要方程要有實(shí)根，必須滿足=b-4ac0。若c=0,則a,b在1，3，5，7中任取兩個作排列，有A種方法；若c0，則b只能取5或7時，當(dāng)b=7時，a,c可在1，3，5中取1，3或1，5，排列有2種取法；當(dāng)b=5時，a,c只能取1，3兩次數(shù)作排列，有A種取法。綜上討論，有實(shí)根的一元二次方程共有+2+=18個。說明 分類與分步是在計數(shù)時簡化列舉的一種手段。情景再現(xiàn)1（第39屆美國高中數(shù)學(xué)競賽題）一次職業(yè)保齡球賽的最后階段，前五名選手再按下法比賽：首先由第五名與第四名賽，輸者得五等獎；贏者與第三名賽，輸

5、者得四等獎；贏者與第二名賽，輸者得三等獎；贏者與第一名賽，輸者得二等獎，贏者得第一名。問有多少種獲獎順序？2（1997年全國高考題）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不同取法共有 （ ）A.150種 B.147種 C.144種 D.141種B類例題例4（2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物，如圖所示，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有 種栽種方案。分析 A、C、E所種植物是否為同一類植物對各步方法數(shù)產(chǎn)生影響，所以應(yīng)抓住A、C、E所種植物的種類，分類討論到結(jié)果。解 考慮A、C、E種同一種植物，此時

6、共有4333=108種方法；考慮A、C、E種兩種植物，此時共有343322=432種方法；考慮A、C、E種三種植物，此時共有A222=192種方法。故總計有108+432+192=732種方法。說明 請讀者從遞推的角度考慮本題的一般性解法。例5（2000年日本東京大學(xué)入學(xué)試題）滿足下列條件的正整數(shù)的全體用集合S表示“各位數(shù)字不相同，且任意兩位數(shù)字的和不為9”。這里，S的元素用十進(jìn)制表示，且S含1位整數(shù)。試回答下列問題：在S的元素中，4位數(shù)有多少個？在S的元素中，從小到大排列，第2000個數(shù)是什么？分析 解題的關(guān)鍵有二：考慮各個數(shù)位上取可能值；估計第2000個數(shù)的位數(shù)。解 4位數(shù)由高位到低位的數(shù)

7、字分別設(shè)為a，b，c，d，則由題意知a取9個值，b必取8個值，c必取6個值，d必取4個值，因此4位數(shù)共有9864=1728個；由題意知，S中1位數(shù)有9個，兩位數(shù)有72個，3位數(shù)有432個，則9+72+432=53120000，由a，b取值集合的對稱性，不失一般性可設(shè)a0，b0，-0。故a0。因此，這樣的二次函數(shù)有AA=12個。若頂點(diǎn)在第三象限，則有-0，-0,b0。這樣的二次函數(shù)有A=12個。由加法原理知，滿足條件的二次函數(shù)共有AA+A=24個。11.首項(xiàng)為的連續(xù)個正整數(shù)之和為=，由2000可得6062。當(dāng)=60時，由2000可得3，故n=1830，1890，1950；當(dāng)=61時，由2000可得2，故n=1891，1952；當(dāng)=62時，由2000可得1；故n=1953。于是題中的有6個。12. 因?yàn)槿忮F有4個頂點(diǎn)，確定三棱錐的情況有三種：平面N內(nèi)4點(diǎn)中取3點(diǎn)，平面M內(nèi)5點(diǎn)中取1點(diǎn)，共有=20個；平面N內(nèi)3點(diǎn)中取2點(diǎn)，平面M內(nèi)5點(diǎn)中取2點(diǎn)，共有=60個；平面N內(nèi)4點(diǎn)中取1點(diǎn)，平面M內(nèi)5點(diǎn)中取不共線3點(diǎn)，共有=36個。所以共有20+60+36=116個三棱錐。對于四棱錐，共有5個點(diǎn)組