1、2.3.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課堂探究探究一 由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)已知雙曲線的方程求該雙曲線的有關(guān)性質(zhì)的步驟：先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式1，再根據(jù)a，b的值(注意分母分別為a2，b2，而不是a，b)求出c，進(jìn)而對(duì)照雙曲線的幾何性質(zhì)得到相應(yīng)的答案畫幾何圖形時(shí)，要先畫雙曲線的兩條漸近線(即以2a,2b為兩鄰邊的矩形的對(duì)角線所在的直線)和兩個(gè)頂點(diǎn)，然后根據(jù)雙曲線的變化趨勢(shì)畫出雙曲線的近似圖形【典型例題1】 求雙曲線16x29y2144的半實(shí)軸長(zhǎng)、半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程，并作出草圖思路分析：將雙曲線方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，確定a，b，c后求解解：把方程16x29y2144

2、化為標(biāo)準(zhǔn)方程1，由此可知，半實(shí)軸長(zhǎng)a4，半虛軸長(zhǎng)b3，c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5)，(0,5)；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)，(0,4)；離心率為e；漸近線方程為yx.作草圖探究二 利用幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和橢圓方程的求法類似，一般都采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用條件列出關(guān)于a，b，c的方程，解方程組求出待定系數(shù)【典型例題2】 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知雙曲線的漸近線方程為yx，焦距為10；(2)已知雙曲線的漸近線方程為yx，且過(guò)點(diǎn)M；(3)與橢圓1有公共焦點(diǎn)，且率心率e.思路分析：根據(jù)題設(shè)條件確定a，b的關(guān)系式，利用解方程的方法求得a，b的值但焦點(diǎn)位

3、置不明確的，要注意分情況討論也可根據(jù)雙曲線的幾何情況，設(shè)出雙曲線系方程再求解解：(1)解法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線方程為1.由漸近線方程為yx，得，2c10.又c2a2b2，得a220，b25，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可得雙曲線的方程為1，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.解法二：由漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線方程為y2(0)，即1.由a2b2c2,2c10，得|4|25，所以|5，所以5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為2x3y0，所以可設(shè)雙曲線的方程為4x29y2(0)又因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)M，所以4972.所以雙曲線方程為4x

4、29y272，即標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)解法一：由橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)，(5,0)，即c5且焦點(diǎn)在x軸上設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，且c5.又e，所以a4，所以b2c2a29.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.解法二：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)雙曲線方程為1(2449)又e，所以1，解得33.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.點(diǎn)評(píng)：(1)，(2)題中，利用漸近線方程與雙曲線方程的關(guān)系，可設(shè)有公共漸近線的雙曲線系方程(0)這樣可避免分類討論，從而減少運(yùn)算量，提高解題速度與準(zhǔn)確率(3)題的解法二利用共焦點(diǎn)的雙曲線系方程，不失為一種巧妙的解題方法探究三 雙曲線的離心率問(wèn)題求雙曲線的離心率，通常先由

5、題設(shè)條件得到a，b，c的關(guān)系式，再根據(jù)c2a2b2，直接求a，c的值而在解題時(shí)常把或視為整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程，解方程求之，從而得到離心率的值【典型例題3】 雙曲線的漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為_(kāi)思路分析：分焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論，把看作一個(gè)整體進(jìn)行求解解析：方法1：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，其漸近線方程為yx，依題意得，ba，ca，故e.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，其漸近線方程為yx，依題意得，ba，ca，即e.方法2：由e得：當(dāng)時(shí)，e；當(dāng)時(shí)，e.答案：或規(guī)律小結(jié)求雙曲線的離心率的常用方法：(1)利用a，c求若可求得a，c，則直接利用e得解(2)利用a，b求若已知a，b，可直接利用e

6、得解(3)利用方程求若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程(p，q，r為常數(shù)，且p0)，即pc2qacra20，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2qer0求解探究四 雙曲線的漸近線問(wèn)題根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程的方法中，最簡(jiǎn)單且實(shí)用的是把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中等號(hào)右邊的“1”改成“0”，就得到了此雙曲線的漸近線方程與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)；若已知雙曲線的漸近線方程0或yx，則雙曲線方程可設(shè)為(0)當(dāng)0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上【典型例題4】 已知F1，F(xiàn)2為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且PF1F230，求該雙曲線的漸近線方程思路分析：求雙曲線的漸近線方程就必須求漸近線的斜率，也就是求a，b間的關(guān)系本題利用雙曲線的定義和直角三角形邊角之間的關(guān)系，求a，b間的關(guān)系解：設(shè)F2(c,0)(c0)，P(c，y