1、微積分,張 杰 zhangjie_,a. 高等數(shù)學(xué)研究的對象: 函數(shù),b. 初等數(shù)學(xué): 主要是離散量的運(yùn)算體系 (加, 減, 乘, 除),連續(xù)量隨另外一個連續(xù)量連續(xù)地變化 (函數(shù)的概念). 連續(xù)量的運(yùn)算體系及其數(shù)學(xué)理論 (微積分),c. 兩種體系的區(qū)別. 初等數(shù)學(xué)主要是恒等變形技巧; 而高等數(shù)學(xué)則是用不等式來刻劃等式(用極限的概念),緒 論,初、高中： 從填鴨式 啟發(fā)式, 以教師為主, 強(qiáng)烈地依賴于教師。 大學(xué)： 從啟發(fā)式 個人自發(fā), 以學(xué)生本身為主， 教師引導(dǎo)。,e.微積分的發(fā)展歷史 15世紀(jì)以前是它的概念的萌芽時期，主要是阿基米德（Archimedes公元前287212)的窮竭法和劉徽的割

2、圓術(shù),d. 學(xué)習(xí)方法的不同,數(shù)學(xué)基本完成時期，也是變量數(shù)學(xué)的醞釀時期，微積分正式進(jìn)入了醞釀階段,16世紀(jì)前后約200年的時間是古已有之的常量,17世紀(jì)上半葉，微積分的奠基工作在緊鑼密鼓,地進(jìn)行著，最主要的先驅(qū)有法國的帕斯卡（Pascal,1623-1662)和費(fèi)馬（Fermat16011665）， 英國,16301677）,的瓦里士（ Wallis16161703）和 巴羅（Barrow,萊布尼茲Leibniz (1646-1716)在前人的基礎(chǔ)上創(chuàng),18世紀(jì)是關(guān)于微積分的基礎(chǔ)的討論和研究,19世紀(jì)，從形式演算 嚴(yán)格的科學(xué)體系，,17世紀(jì)下半葉，牛頓（Newton 1642-1727)和,立了

3、微積分及其演算體系,的時期,波爾察諾（Bolzano 1781-1848），,定了嚴(yán)格的分析學(xué)基礎(chǔ)，,戴德金 （Dedekind 1831-1916） 和康托 （Cantor 1845-1918）等1872年建立了嚴(yán)格的 實數(shù)系理論微積分嚴(yán)密化的任務(wù)終于在他 們手中完成了,哥西 (Cauchy 1789-1857)，維爾斯特拉斯,（Weierstr-ass 1815-1897）等數(shù)學(xué)家給出了,分析學(xué)一系列基本概念的精確定義，從而奠,實數(shù)理論為基礎(chǔ) 演算體系極限概念刻劃 基石：實數(shù)連續(xù)統(tǒng),學(xué)習(xí)目的：掌握微積分，極限，實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念和方法，更主要的是，培養(yǎng)自己的積極思考問題和解決問題的能力。,微

4、積分是以極限論作為基礎(chǔ)，而極限論又以,參考書目： 1高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)出版； 2微積分配套習(xí)題人民大學(xué)出版社； 3.高等數(shù)學(xué)習(xí)題集同濟(jì)版。,高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法因人而異,在學(xué)習(xí)中注意以下幾個環(huán)節(jié),1. 課前預(yù)習(xí),2. 認(rèn)真聽講,3. 復(fù)習(xí)鞏固,本學(xué)科的學(xué)習(xí)基本方法,4. 作業(yè),5. 答疑,6. 融會貫通,1. 我們用符號“” 表示“任取”,或“對于任意的”,或“對于所有的” ,符號“” 稱為全稱量詞.,1 集合，符號,2. 我們用符號“”表示“存在”.,例：命題“對任意的實數(shù)x, 都存在實數(shù)y, 使得x+y=1”可表示為“xR, yR, 使x+y=1”,符號“”稱,為存在量詞.,3. 我們用符號“

5、”表示“充分條件”,比如, 若用p, q分別表示兩個命題或陳述句.,或 “推出” 這一意思.,則“ p q”表示“ 若p成立, 則q也成立”. 即p是q成立的充分條件.,4. 我們用符號“”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”,比如“p q”表示“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立” 或者說p成立的充要條件是q成立.,或 “充要條件” 這一意思.,一、集合(set),1.集合:,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.,組成這個集合的事物稱為該集合的元素.,記為,唯一確定的特性：任意對象是否為該集合的元素，可唯一判別。,(3) 文氏圖,2.表示法:,(1) 分為 有限集和無限集,3.幾種集合:,(2) 常用數(shù)集,N-自然數(shù)集,Z-整數(shù)集

6、,Q-有理數(shù)集,R-實數(shù)集,(3) 不含任何元素的集合稱為空集.,例如,(4) 由所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集,注意:,空集為任何集合的子集.,集合A為自己的子集.,例如,記為 A=B,(2) 集合的并,(3) 集合的交運(yùn)算,(4) 集合的差運(yùn)算,(5) 集合的補(bǔ)運(yùn)算,性質(zhì)：,1、 交換律,2、結(jié)合律,3、分配律,D,4、摩根定律,設(shè)A和B是兩個集合,稱,為集合A 與B的 Descartes 乘積集合，,例1.1.4有一家生產(chǎn)窗簾的廠，所用的面料顏色有紅、綠、藍(lán)三種，所用的工藝有抽紗、提花、印染、刺繡等四種，若用,三、集合的笛卡爾（Descartes ）乘積,B抽紗，提花，印染，刺繡,并

7、且,表示的是該廠生產(chǎn)的所有的窗簾品種,如（紅，提花）、（藍(lán)，印染）、（綠，抽紗）等,表示加工工藝的集合，那么它們的Descartes乘積集合,A紅，綠，藍(lán) 表示面料顏色的集合，,特別,:絕對值(absolute):,運(yùn)算性質(zhì):,絕對值不等式:,1.實數(shù)集,.區(qū)間:,是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,兩端點(diǎn)間的距離為區(qū)間長度 I,(1)有限區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,(2) 無限區(qū)間,Def,Def,Def,.鄰域(neighborhood):,=(x0 -,x0+),1.3: 函數(shù)概念,例如 圓內(nèi)接正多邊形的周長,郵件的費(fèi)用依賴與郵件的

8、重量，郵局公布的費(fèi)用表可根據(jù) 郵件的重量W確定郵件的費(fèi)用C。,自動紀(jì)錄儀畫出了一天中氣溫隨時間變化的曲線圖，由圖形 可以找出在一天中的某個時刻t的溫度值T。,真空中初速為零的自由落體，下落路程S與時間t的關(guān)系為： ，設(shè)這一運(yùn)動花費(fèi)T秒鐘，則t0,T。,因變量,自變量,數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域(Domain of definition), 定義,函數(shù)的兩要素:,定義域與對應(yīng)法則.,、 約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.,、函數(shù)的表示,函數(shù)兩要素：定義域與對應(yīng)法則,(1)分段表示,設(shè) A, B 是兩個互不相交的實數(shù)集合，,是分別定義在集合A和集合B上的函數(shù)，則,是定義在集合

9、,這樣的表示方法,稱為函數(shù)的分段表示.,(2)隱式表示,通過方程 F(x , y) =0 來確定的變量x與y之間函數(shù),關(guān)系的方式稱為函數(shù)的隱式表示.,(3)參數(shù)表示,通過建立變量 t 與 x，t 與 y之間的函數(shù)關(guān)系，間接,的確定 x 與 y 之間的函數(shù)關(guān)系.,即,這種表示法稱為函數(shù)的參數(shù)表示.,、函數(shù)相等,定義：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同， 我們稱這兩個函數(shù)是相同的函數(shù)。,例 判斷下列幾對函數(shù)是否相等.,(1)f(x)=2lnx, (x)=lnx2 ;,(2)f(x)=x, (x)=|x|;,(3)f(x)=sin2x+cos2x, (x)=1.,解： f(x)與(x)的對應(yīng)規(guī)律不同

10、 ，所以是不同的函數(shù)。,解：f(x)與(x)的對應(yīng)規(guī)律相同 ，定義域也相同， 所以 f(x)=(x)。,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù),多值函數(shù)、 單值分支,一般只討論單值函數(shù),、 幾個特殊的函數(shù)舉例,思考題1,思考題1解答,設(shè),則,故,練 習(xí) 題1,1.4分段函數(shù),在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的,式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).,注： 分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)。 分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集. 對分段函數(shù)求函數(shù)值時，不同點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)代入相應(yīng)范圍的表達(dá)式中去計算.,例1 重量為G的物體放在

11、地平面上，有一大小為F的力作用于該物體上，此作用力與地平面的交角為,欲使此力沿地面的分力與物體對于地面的摩擦力平衡，F(xiàn)與應(yīng)有什么關(guān)系？,解 作用力沿地平面的分力是Fcos ， 垂直地面的分力是Fsin，,1.5 建立函數(shù)關(guān)系例題,物體對于地平面的摩擦力R是： R=(G-Fsin) （為摩擦系數(shù)）,例2 已知鐵路線上AB段的距離為100千米。工廠C離A處為20千米， AC垂直于AB（如圖）.為了運(yùn)輸需要，要在AB線上選定一點(diǎn) D向工廠C建筑一條公路。已知鐵路上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為3k 元，公路上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為5k元（k為某個正數(shù)）。 設(shè)AD= x (km)，建立使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)

12、費(fèi)與x 之間的函數(shù)關(guān)系式。,有界,無界,1、函數(shù)的有界性(Bound):,1.6 函數(shù)的幾種簡單性質(zhì),2、函數(shù)的單調(diào)性(Monotonic Function):,單調(diào)增與單調(diào)減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。,3函數(shù)的奇偶性(Even and Odd):,Even Function,Odd Function,4函數(shù)的周期性(Periodic Function):,（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,周期函數(shù)意味著性:函數(shù)圖形可由其一 個周期內(nèi)的圖形拷貝生成。,狄利克雷函數(shù),是周期函數(shù)，且任意有理數(shù)均是它的的周期，故它沒有最小正周期。,1.反 函數(shù)與復(fù)合函數(shù),1、反函數(shù),直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于

13、直線 對稱.,Proposition:單值嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)仍是單值嚴(yán)格單調(diào)，且保持直接函數(shù)的增(減)性。,、復(fù)合函數(shù)(Composite Function),定義:,說明： 并不是任何兩個函數(shù)都可以構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)；,因為u=2+x2的值域u2，全部落在y=arcsinu的定義域之外., 復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不只一個； 分解復(fù)合函數(shù)時，每一步必須都是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算.,例4,解,單值函數(shù),有界函數(shù),偶函數(shù),周期函數(shù)(無最小正周期),不是單調(diào)函數(shù),例5,解,綜上所述,1、冪函數(shù)(Power Function),（一）、基本初等函數(shù),1.初等函數(shù)(elementary f

14、unctions),2、指數(shù)函數(shù)(Exponential Function),3、對數(shù)函數(shù)(Logarithmic Function),4、三角函數(shù)(Trigonometric Function),正弦函數(shù)(sine),余弦函數(shù)(cosine),正切函數(shù)(tangent function),余切函數(shù)(cotangent function),正割函數(shù)(secant ),余割函數(shù)cosecant,5、反三角函數(shù)(inverse trigonometric function),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).,（二）、初等函數(shù)(Elementary Function),1. 定義由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子