1、數(shù)學建模期末考試論文儲油罐的變位識別與罐容表標定姓名：劉丹丹學號：班級：08級2班儲油罐的變位識別與罐容表標定-（聊城大學）劉丹丹摘要本文建立了由于地基變形等原因而造成儲油罐發(fā)生變位進而影響儲油罐標定的模型.對于小橢圓型儲油罐：我們先通過積分方法求出其無變位后的油高h與儲油量V之間的函數(shù)關(guān)系，然后通過三次多項式擬合方法得出了變位后h與V的函數(shù)關(guān)系式，并得到小儲油罐變位前/后的罐容表，接著對變位前后的各種誤差進行了分析，其中平均誤差為269.1L.因而，變位后很有必要對罐容表進行重新標定. 由圖像可得模型一的擬合度很高，幾乎實際數(shù)據(jù)與所計算結(jié)果的圖像完全重合.對于實際儲油罐，在未變位的情況下，通

2、過積分得出了儲油量與油位高度之間的關(guān)系并對其進行了標定.為了求實際儲油罐的罐內(nèi)儲油量V與油位高度h及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的函數(shù)關(guān)系,利用了幾何中的積分分別對實際儲油罐的左、中、右的三部分體積進行了計算.最后通過非線性最小二乘法的遍歷搜索算法并利用MATLAB編程，得出了模型二要求的結(jié)果：a=2.1、b=3，又對變位后的實際儲油罐進行標定.最后我們又對兩個變位參數(shù)進行了靈敏度分析，得出儲油量對不敏感。文末討論了模型的優(yōu)缺點和實際應(yīng)用中的改進方向.文中采用的工程學中的假設(shè)和策略，很具有現(xiàn)實意義.關(guān)鍵字： 罐容表，標定，積分，數(shù)值積分，弓形面積，遍歷搜索I 問題的重述通常

3、加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，我們可以采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況.然而許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變.按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定.我們采用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題，并解決以下兩個問題. （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢

4、圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示.請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值.(b) 小橢圓油罐截面示意圖 油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小橢圓油罐正面示意圖圖4 小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系.請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學

5、模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值.進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性.油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針I(yè)I 模型假設(shè)（1）向罐內(nèi)注入的油量數(shù)都是通過流量計來完成，是準確的；（2）罐內(nèi)的儲油量只有通過加油機加油流出，并且加油機的計量誤差在允許的范圍內(nèi)；（3）設(shè)注油期間油量無損耗.（4）油位探針、注油管、出油管所占的體積可以忽略不計.（5）儲油罐的厚度可以忽略不計.（6）忽略溫度和壓力對油罐形狀的影響.（7）油浮子的大小可以忽略.III問題分析問題一是

6、利用小橢圓型儲油罐模型研究變位對罐容表的影響.在有變位的情況下，可利用附件1中所給出的數(shù)據(jù)對儲油量V與顯示的油位高度h的函數(shù)關(guān)系進行模擬并建立擬合模型.且可通過圖像直觀的觀察變位前后，顯示的油位高度對儲油量的不同影響.問題二是一個求實際儲油罐變位參數(shù)的問題，由于平位時儲油罐內(nèi)液體的體積是一個比較規(guī)則的立體圖形，因此可以用三重積分的方法求出平位時不同高度時液體體積的理論值，即罐容表的理論值，然后再利用積分的方法求出罐內(nèi)液體體積與縱向偏移角度、橫向偏移角度的關(guān)系,建立一個體積與變位參數(shù)的關(guān)系模型，用這個關(guān)系模型求出的相關(guān)數(shù)據(jù)和題中給出的數(shù)據(jù)進行對比，利用最小二乘法求出實際的變位參數(shù).IV 符號說明

7、HNorm：無變位進油后油位高度向量；VNorm：無變位進油后儲油量向量；HChange:變位后進油油位高度向量；VChange:變位后進油儲油量向量；其中VNorm與VNhange是在原來的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上加了初始油量，并將單位轉(zhuǎn)化成了m，其中HNorm與HChange已將單位轉(zhuǎn)化成了m.另外的符號會在使用時加以說明.V 模型建立和求解1 問題一的罐體變位后對罐容表影響的求解1.1無變位的情況：設(shè)油位高度為h，截面陰影部分的面積為S，對應(yīng)的罐容表的標定值為.建立如圖所示的直角坐標系.hXOb=0.6mYa=0.89圖1-1儲油罐橫截面坐標系陰影部分的面積是：，（1）此時儲油量V是：，（2）根據(jù)

8、公式（1）、（2）編寫MATLAB程序（附件1）來計算一系列液面高度時的儲油量，并得到下表1：表1 無變位小儲油罐的罐容表高度/m容積/1000L高度/m容積/1000L高度/m容積/1000L高度/m容積/1000L0.010.00530.310.84150.612.09870.913.34420.020.01490.320.87990.622.14230.923.38130.030.02740.330.91860.632.18580.933.41790.040.0420.340.95780.642.22940.943.45410.050.05860.350.99720.652.27290.

9、953.48980.060.07680.361.03710.662.31630.963.52490.070.09660.371.07720.672.35960.973.55960.080.11770.381.11760.682.40290.983.59360.090.140.391.15830.692.44610.993.6270.10.16360.41.19930.72.489113.65990.110.18820.411.24050.712.53211.013.6920.120.21390.421.2820.722.57491.023.72350.130.24050.431.32370.7

10、32.61751.033.75430.140.26810.441.36570.742.661.043.78440.150.29650.451.40780.752.70231.053.81360.160.32580.461.45010.762.74451.063.8420.170.35580.471.49260.772.78641.073.86960.180.38660.481.53530.782.82811.083.89620.190.41810.491.57810.792.86961.093.92190.20.45030.51.6210.82.91081.13.94650.210.48310

11、.511.66410.812.95181.113.97010.220.51650.521.70720.822.99251.123.99250.230.55060.531.75050.833.0331.134.01360.240.58520.541.79380.843.07311.144.03330.250.62040.551.83730.853.11291.154.05150.260.6560.561.88080.863.15241.164.06810.270.69220.571.92430.873.19151.174.08280.280.72890.581.96790.883.23031.1

12、84.09520.290.7660.592.01150.893.26861.194.10480.30.80350.62.05510.93.30661.24.1101對由積分計算出來的小儲油罐液面高度與儲油量的關(guān)系和已知數(shù)據(jù)繪制的圖像如下所示：圖1-2 無變位計算值與實際值1.2有變位的情況為了得到有變位情況下儲油量與高度的關(guān)系，我們利用三次多項式擬合的方法進行計算，并標定了罐容表.MATLAB程序如下：p=polyfit(HChange,VChange,3);h=0:0.01:1.2;VChange1=polyval(p,h);得到的關(guān)系式是：（3）由公式（3）可以得到變位后的罐容表如下表2所

13、示：表2 變位后小儲油罐罐容表油高/m油體積/1000L油高/m油體積/1000L油高/m油體積/1000L油高/m油體積/1000L0.010.04210.310.59480.611.71390.912.99470.020.04710.320.62530.621.75620.923.03550.030.05320.330.65630.631.79870.933.0760.040.06040.340.68790.641.84140.943.11610.050.06850.350.72020.651.88420.953.1560.060.07770.360.7530.661.92710.963.

14、19550.070.08790.370.78630.671.97010.973.23470.080.09910.380.82020.682.01320.983.27350.090.11130.390.85460.692.05630.993.3120.10.12440.40.88950.72.099613.35010.110.13850.410.92490.712.14291.013.38770.120.15340.420.96080.722.18621.023.4250.130.16940.430.99720.732.22951.033.46180.140.18620.441.0340.742

15、.27281.043.49810.150.20380.451.07120.752.31611.053.5340.160.22240.461.10890.762.35941.063.56940.170.24180.471.14690.772.40261.073.60430.180.26210.481.18540.782.44581.083.63870.190.28310.491.22420.792.48891.093.67260.20.3050.51.26340.82.53191.13.70590.210.32770.511.30290.812.57481.113.73870.220.35120

16、.521.34280.822.61761.123.77090.230.37540.531.3830.832.66021.133.80260.240.40030.541.42340.842.70271.143.83360.250.4260.551.46420.852.74511.153.8640.260.45250.561.50520.862.78721.163.89380.270.47960.571.54650.872.82921.173.9230.280.50740.581.5880.882.87091.183.95150.290.53590.591.62980.892.91241.193.

17、97930.30.56510.61.67180.92.95371.24.0064對由三次多項式模擬出來的小儲油罐液面高度與儲油量的關(guān)系和已知數(shù)據(jù)繪制的圖像如下所示：圖1-3 變位計算值與實際值可見模擬結(jié)果很理想.1.3變位后的影響：對表1、2進行比較計算，其中絕對誤差為相同油高下油量的差值，相對誤差百分比為絕對誤差除以變位前相應(yīng)油高下的油量.從而得到變位前、后小儲油罐的誤差如下表3：表3 變位前/后小儲油罐的誤差高度/m絕對誤差/1000L相對誤差百分比/%高度/m絕對誤差/1000L相對誤差百分比/%高度/m絕對誤差/1000L相對誤差百分比/%0.010.0368694.0.410.315

18、625.441350.810.37712.771870.020.0322216.0.420.321225.05460.820.374912.527990.030.025894.0.430.326524.665710.830.372812.291460.040.018443.0.440.331724.287910.840.370412.052980.050.009916.0.450.336623.909650.850.367811.815350.060.00091.0.460.341223.529410.860.365211.584820.070.00879.0.470.345723.16093

19、0.870.362311.352030.080.018615.0.480.349922.790330.880.359411.12590.090.028720.50.490.353922.42570.890.356210.897630.10.039223.0.50.357622.060460.90.352910.672590.110.049726.0.510.361221.705430.910.349510.450930.120.060528.0.520.364421.344890.920.345810.226840.130.071129.0.530.367520.9940.930.341910

20、.003220.140.081930.0.540.370420.64890.940.3389.0.150.092731.0.550.373120.306970.950.33389.0.160.103431.0.560.375619.970230.960.32949.0.170.11432.0.570.377819.633110.970.32499.127430.180.124532.0.580.379919.304840.980.32018.0.190.13532.0.590.381718.975890.990.3158.0.20.145332.0.60.383318.6511610.3098

21、8.0.210.155432.0.610.384818.335161.010.30438.0.220.165332.0.620.386118.022691.020.29858.0.230.175231.0.630.387117.709761.030.29257.0.240.184931.0.640.38817.403791.040.28637.0.250.194431.0.650.388717.10151.050.27967.0.260.203531.0.660.389216.802661.060.27267.0.270.212630.0.670.389516.507041.070.26536

22、.0.280.221530.0.680.389716.21791.080.25756.0.290.230130.0.690.389815.935571.090.24936.0.30.238429.0.70.389515.648231.10.24066.0.310.246729.0.710.389215.370641.110.23145.0.320.254628.0.720.388715.095731.120.22165.0.330.262328.0.730.38814.82331.130.2115.0.340.269928.0.740.387214.556391.140.19974.0.350

23、.27727.0.750.386214.291531.150.18754.0.360.284127.0.760.385114.03171.160.17434.0.370.290927.0.770.383813.774051.170.15983.0.380.297426.0.780.382313.517911.180.14373.0.390.303726.0.790.380713.266661.190.12553.0.40.309825.0.80.378913.017041.20.10372.可以計算得到變位前、后最大誤差為389.8L，平均誤差為269.1L，平均相對誤差百分比為25.8862

24、%：說明變位對罐容表的影響比較大.2 問題二的罐內(nèi)儲油量函數(shù)關(guān)系的建立2.1無變位球冠體在液面高度為h時的儲油量公式把以為半徑，以r為底面半徑的球缺放入空間直角坐標系Oxyz，球心為M(0,r，-m)，如圖2-1所示： 圖2-1 空間直角坐標系Oxyz則球面方程為：由球心坐標可知，R、r、m之間有關(guān)系式：設(shè)液面高度為h，弓形ACB的面積為,則儲油量為：而（2）由于球體在坐標平面Oxz的投影為：則在中，所以又知，那么故得因此可得一端球冠體在液面高度為h時的儲油量為：而兩端球冠體的出油量總和為：2.2中間圓柱體在液面高度為h的儲油量公式設(shè)圓柱體的半徑為R，長為L (其中R=1.5m，L=8m)，液

25、面高為h，其容積為,作出如圖2-2所示的平面直角坐標系Oxy.圖2-2 圓柱體儲存罐的平面直角坐標系則有方程，即，設(shè)弓形AOB的面積為S,則：.中間圓柱體油罐在液面高度為h時的儲油量為，實際儲油罐在無變位情況下的儲油量為.根據(jù)上述實際儲油罐的儲油量計算公式，用matlab求解.其中，公式中的積分用數(shù)值積分的復化梯形公式計算，復化梯形公式的步長為0.0001，利用如下的程序：%該函數(shù)用于計算無變?yōu)闀r實際儲油罐的儲油量function V=V(h)y=0:0.00001:h;R0=13/8;r=1.5;m1=5/8;%以上用于給已知的常數(shù)變量賦值m2=r-h;a=acos(m2/r);f1=R02

26、-(y-r).2;f2=r2-(y-r).2; f3=f1*asin(sqrt(f2/f1)-m1*sqrt(f2);V1=2*trapz(y,f3);%其用于計算兩側(cè)球冠里的儲油量V2=16*trapz(y,sqrt(f2);%其用于計算中間柱體內(nèi)的儲油量V=V1+V2;最后得到實際儲油罐在無變位情況下的罐容表，如表4所示.表4：實際儲油罐無變位的罐容表標定值高度/m儲油量/1000L高度/m儲油量/1000L高度/m儲油量/1000L0.10.59431.121.2672.148.9150.21.69291.224.01332.251.4130.33.1221.326.80542.353.

27、79530.44.81351.429.62752.456.04210.56.72391.532.46382.558.13160.68.82051.635.29912.660.03850.711.07661.738.11792.761.73220.813.46931.840.90482.863.17160.915.97761.943.6442.964.292118.5828246.3196364.9277利用計算出來的結(jié)果和第一次進油的數(shù)據(jù)做對比，如圖2-3，發(fā)現(xiàn)幾乎完全吻合，誤差很小，說明在無變位時計算公式合理，結(jié)果準確.圖2-3 無變位是理論值與數(shù)據(jù)值的對比2.3建立罐內(nèi)儲油量與油位高度以及

28、縱向傾斜角、橫向傾斜角之間的函數(shù)關(guān)系式基本思路如下：求V(h,)求V(h,)V=V(h, )求解變位參數(shù)求樣本值靈敏度分析對于儲油罐中間圓柱體部分：設(shè)游浮子所測出的油位高度為h，則油面上各點的高度可表示為,即CD= 圖2-4 傾斜后油罐坐標表示 圖2-5 傾斜時側(cè)面的截面面積在圖2-5中，r=1.5m,所以陰影部分的面積可以利用上面求平位油罐液體體積模型時的公式（2）求出為兩邊球冠的液體體積可以根據(jù)上面求無變位油罐液體體積模型是方法近似求出為這種求解方法存在誤差，但是由于兩邊球冠的體積兩邊部分誤差可抵消，因此誤差較小，所以這種求解方法理論上是可行的.對于左邊的球冠，而右邊球冠：在這里分三種情況

29、積分求出傾斜后液體體積：(1)當時：(2)當時：+（3）當時：+下面我們研究橫向偏移的情況，其側(cè)面的界面圖如圖所示圖2-6 橫式傾斜截面圖圖2-6中油罐顯示高度為H，實際高度為h，Hr,由幾何關(guān)系很容易看出：，而當油位高度比半徑低的時候，有，.這個實際上就是只考慮縱向偏移時的游標顯示值，因此只需要將的表達式代入到縱向偏移函數(shù)式中，就找到了體積與的關(guān)系，建立出罐體變位后標定變?nèi)荼淼臄?shù)學模型即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)的數(shù)學模型.2.4 變位參數(shù)、的求解 下面利用已建立的儲油量與油位高度、變位參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合給出的實際數(shù)據(jù)，反過來對、進行求解.因為實際儲油罐的儲油量初值未知，因此題目給

30、出的附件2中的D列所給儲油量數(shù)據(jù)不準確，所以用非線性最小二乘法求參數(shù)，即在參數(shù)解空間中找到參數(shù)，使得最小.即.其中，表示了不同高度之間對應(yīng)的理論儲油量差，而表示了附件2中出油量值.在這個范圍內(nèi)以步長為0.01用遍歷搜索算法求出、的局部最優(yōu)解，求解過程通過Matlab編程實現(xiàn)，程序見附件3.最后得到變位參數(shù)的局部最優(yōu)解為a=2.1、b=3.2.5罐容表的標定將、的值代入到前面建立的模型中，得到實際體積與顯示高度的關(guān)系，通過這個關(guān)系建立出變位后的罐容表標定，如表5所示.表5：變位后的罐容表高度/m油體積/1000L高度/m油體積/1000L高度/m油體積/1000L0.10.34961.119.1

31、4222.146.70060.21.00751.221.82032.249.26330.32.1421.324.55742.351.72460.43.60671.427.33792.454.06540.55.32581.530.14552.556.26460.67.25681.632.96512.658.29830.79.36791.735.78142.760.13860.811.63331.838.57862.861.74980.914.03081.941.34162.963.0802116.5399244.0542364.01972.6靈敏度分析下面我們利用已知附件2中的數(shù)據(jù)進行靈敏度分析

32、.使用流水號為350和351這兩組數(shù)據(jù).按照我們的模型,出油量為201.1L與實際的200.46L可認為兩者相等.經(jīng)過計算得到的變位參數(shù)為=2.1，=3.然后將、分別上下浮動10%可以得到如下的結(jié)果：=2.1保持不變，上下浮動/2.12.42.733.33.63.9改變百分比-30%-20%-10%0%10%20%30%出油量/L201.4201.2201.2201.1201.3201.2200.9出油量變化/L0.30.10.30.00.20.10.2=3保持不變，上下浮動/1.471.681.892.12.312.522.73改變百分比-30%-20%-10%0%10%20%30%出油量/

33、L201.6201.7201.7201.1200.9200.9200.7出油量變化/L0.60.50.60.00.20.20.4由上結(jié)果可以看出：儲油量的變化對的敏感性比強，增大、的改變量并結(jié)合已知數(shù)據(jù)得出儲油量對不敏感。VI 模型評價與改進這個模型用于解決加油站儲油罐因為地形變化等原因而引起的罐體位置變化，進而影響到罐容表的標定數(shù)據(jù)問題.建立模型時用到了擬合、作圖等數(shù)據(jù)處理分析方法和建立適當坐標、通過數(shù)值積分求體積、遍歷搜索算法等經(jīng)典的數(shù)學思想和方法.并將數(shù)據(jù)按點分析，且關(guān)于變位對罐容表的各種影響做了估值.考慮到外界環(huán)境以及內(nèi)部因素如儲油罐壁厚等因素，理論值和實際測量值難免有一定的誤差，但是

34、誤差都在可接受的范圍內(nèi).在求體積時的積分是很麻煩的，我們用數(shù)值積分的復化梯形公式求其值.為了更好的優(yōu)化，還可以采用拉格朗日近似積分法，差值算法等方法，為了和給出的測量值吻合，也可以適當?shù)脑诶碚撝登斑吋由弦粋€系數(shù).對于兩個方向的位偏立體不規(guī)則圖形的近似積分法，還有很多的研究空間.因油浮子高度接近3m時（即）由于出現(xiàn)的情況較少，且可近似認為是滿罐時的儲油量，故沒予以分析.由圖1-2可知利用積分算出來的小儲油罐的儲油量與實際值差別較大，可再考慮用模擬等方法建立一個新的模型，以減小誤差.VII 參考文獻1高恩強,豐培云，臥式傾斜安裝圓柱體油罐不同液面高度時貯油量的計算，1997年.2田鐵軍，傾斜立式罐

35、體部分容積的計算，2007年.3王正林，龔純，何倩，精通MATLAB科學計算，北京：電子工業(yè)出版社，2009年.4薛定宇，陳陽泉，高等應(yīng)用數(shù)學問題的MATLAB求解，北京，清華大學出版社，2008年.5楊啟帆，何勇，談之奕，數(shù)學建模競賽，浙江，浙江大學出版社，2005年.6何青，王麗芬，Maple教程，北京，科學出版社，2006年.7高恩強（山東昌邑麻紡廠）豐培云（萊蕪鋼鐵總廠供銷處），臥式傾斜安裝圓柱體油罐不同液面高度時貯油量的計算題目 儲油罐的變位識別與罐容表標定 - (山東科技大學) 王宗炎 虞鑫棟 宋婉瑩摘要本文分別建立了小橢圓型儲油罐及實際儲油罐的變位識別模型。針對小橢圓型儲油罐的變

36、位識別問題，采用積分方法，給出無變位時儲油量與油位高度的計算公式并得到正常的罐容表標定。對于小橢圓型儲油罐縱向傾斜變位問題，討論了其截面是三角形和梯形兩種情況，利用積分法給出了縱向傾斜變位問題的計算公式，給出了修正后的罐容表標定值，并與正常標定值進行比較。針對實際大儲油罐的變位識別問題，給出無變位時儲油量與油位高度的計算公式，根據(jù)計算公式得到正常罐容表標定值。對于傾斜變位問題，用積分方法在不同油高下分別計算出球冠部分和中間圓柱體部分的油量，并求和給出大儲油罐縱向傾斜變位后的修正公式。然后對儲油罐橫向偏轉(zhuǎn)角度進行分析，給出橫向偏轉(zhuǎn)后實際油面高度與正常時油面高度的關(guān)系式。最后結(jié)合縱向傾斜角度及橫向

37、偏轉(zhuǎn)角度參數(shù)公式推導得到罐內(nèi)儲油量與油位高度及兩個變位參數(shù)間的函數(shù)式。結(jié)合附件二中所給數(shù)據(jù)，利用非線性最小二乘法通過遍歷搜索算法求出縱向傾斜角度及橫向偏轉(zhuǎn)角度值，最后利用附件二中的數(shù)據(jù)對模型的可靠性進行了檢驗，檢驗結(jié)果表明模型較為合理。關(guān)鍵詞：積分，數(shù)值積分，復化梯度法，非線性最小二乘法，罐容表，標定一、問題的重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，我們可以采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。然而許多儲油罐在使用一段時

38、間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。我們采用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題，并解決以下兩個問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。(b) 小橢圓油罐截面示意圖 油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m

39、1.2m1.2m1.78m(a) 小橢圓油罐正面示意圖圖4 小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針二、問題的假設(shè)（1）向罐內(nèi)注入

40、的油量數(shù)都是通過流量計來完成，是準確的；（2）罐內(nèi)的儲油量只有通過加油機加油流出，并且加油機的計量誤差在允許的范圍內(nèi)；（3）不計外部環(huán)境的變化對內(nèi)部油量所產(chǎn)生的影響。（4）浮標的大小相對于溶劑來說可以忽略。（5）儲油罐中油的密度是均勻的，不考慮水汽、重油等因素的影響。（6）儲油罐的厚度可以忽略。（7）設(shè)注油期間油量無損耗。（8忽略出油管、檢查口、注油口以及油位探針對油位高度的影響。部分假設(shè)在題中給予說明三、問題的分析問題一是利用小橢圓型儲油罐模型研究變位對罐容表的影響。在無變位的情況下，儲油罐的儲油量就是對小橢圓型儲油罐進行積分；在變?yōu)楹螅秩接嬎阌偷捏w積，第一步，在油平面未到達右端底部時

41、，可以沿垂直于油面和地面的方向截得三角形切面，以油面到橢圓原點的距離為L，求出三角形面積，然后再積分；第二步，當油平面到達右端底部之后，可以用先前的結(jié)果減去虛擬部分的結(jié)果；第三步，當油平面上升到左端的上沿后，儲油量為總體積減去上部空余部分的體積，空余部分的體積和第一步的算法相同。問題二是一個求實際儲油罐變位參數(shù)的問題，由于平位時儲油罐內(nèi)液體的體積是一個比較規(guī)則的立體圖形，因此可以用三重積分的方法求出平位時不同高度時液體體積的理論值，即罐容表的理論值，然后再利用積分的方法求出罐內(nèi)液體體積與縱向偏移角度、橫向偏移角度的關(guān)系,建立一個體積與變位參數(shù)的關(guān)系模型，用這個關(guān)系模型求出的相關(guān)數(shù)據(jù)和題中給出的

42、數(shù)據(jù)進行對比，利用最小二乘法實際的變位參數(shù)。四、符號說明符號表示含義單位油位高度油位高度為的兩端冠球體儲油量總和油位高度為時圓柱體的儲油量油位高度為時的儲油總量L貯油罐中間圓柱形的長度剩余的符號在解題的過程中說明五、模型的建立與求解第（1）題（一） 首先建立罐體未變位時罐容表標定值模型 設(shè)油位高度為h，截面作對應(yīng)的面積為S，對應(yīng)的罐容表的標定值為 圖1-1儲油罐橫截面坐標系 圖1-2整個儲存罐的坐標表示正常時高度是已知的，只需求出截面的儲油面積： 帶入得到體積的公式：根據(jù)此函數(shù)可以得到理論值，與數(shù)據(jù)中的值在同一圖中用MATLAB進行擬合，可以得到圖1-3所示圖形：圖1-3 無變位是理論值與數(shù)據(jù)

43、值的對比（二）建立罐體變位時罐容表標定值模型見如圖1-4 圖1-4 變位時的儲存罐的坐標表示L 表示油平面到橢圓的中心o的距離，L可以為負數(shù)；a為長半軸，b為短半軸；為傾斜角（）；先表示出投影三角形的面積，然后再對Y軸積分； 圖1-5 V與外部虛擬部分的關(guān)系 圖1-6 標高h與L的關(guān)系下面分別計算三種情況下的V函數(shù)，即V關(guān)于h的數(shù)學模型模型：為方便輸入，一些復雜的表達式由字母代替0h0.14690.1469h1.17 1.17h1.2其中 把求得的102個值與進油時的數(shù)據(jù)在同一圖中比較，發(fā)現(xiàn)吻合的非常好，說明我們的模型是可行的。如圖1-7圖1-7 變位后理論值與數(shù)據(jù)的對比罐體變位后油位高度間隔

44、為1cm的罐容表標定值如表1。表1：變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值高度/m容積/L高度/m容 積/L高度/m容 積/L高度/m容 積/L0.01 3.5380 0.31 630.1550 0.61 1841.8820 0.91 3112.4600 0.02 6.2710 0.32 665.5850 0.62 1885.1330 0.92 3151.4020 0.03 9.9820 0.33 701.5320 0.63 1928.7240 0.93 3190.3330 0.04 14.7640 0.34 737.9800 0.64 1972.5660 0.94 3229.1200 0.

45、05 20.7080 0.35 774.9620 0.65 2015.4560 0.95 3266.9230 0.06 27.8610 0.36 812.3540 0.66 2058.7600 0.96 3304.6320 0.07 36.3250 0.37 849.9700 0.67 2102.1940 0.97 3342.0310 0.08 46.1540 0.38 888.2460 0.68 2145.7160 0.98 3378.7240 0.09 57.4070 0.39 926.8420 0.69 2190.0650 0.99 3415.0080 0.10 70.1430 0.40

46、 965.6660 0.70 2232.5120 1.00 3451.2140 0.11 84.4350 0.41 1004.9580 0.71 2275.6870 1.01 3486.4320 0.12 100.2660 0.42 1044.7620 0.72 2319.1350 1.02 3521.2250 0.13 117.7600 0.43 1084.8500 0.73 2362.3410 1.03 3555.4440 0.14 136.9320 0.44 1124.9720 0.74 2405.4020 1.04 3589.1290 0.15 157.8320 0.45 1165.4

47、910 0.75 2448.4360 1.05 3622.2550 0.16 180.2680 0.46 1206.3620 0.76 2491.3850 1.06 3654.5060 0.17 204.3410 0.47 1247.2300 0.77 2534.1380 1.07 3686.2140 0.18 228.9180 0.48 1288.5640 0.78 2576.7220 1.08 3717.0120 0.19 254.8880 0.49 1330.1220 0.79 2619.2560 1.09 3747.4820 0.20 281.8650 0.50 1371.8880 0.80 2661.5380 1.10 3776.8250 0.21 309.7630 0.51 1413.6820 0.81 2704.