1、第七節(jié) 矩形、菱形課標(biāo)呈現(xiàn) 指引方向1理解平行四邊形、矩形、菱形的概念，以及它們之間的關(guān)系2探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等：菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直.以及它們的判定定理：三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形考點(diǎn)梳理 夯實(shí)基礎(chǔ)1矩形： (1)矩形的性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有四邊形和平行四邊形所有的性質(zhì)，還有： 角：它的四個(gè)角為_； 對(duì)角線：它的對(duì)角線_； 對(duì)稱性：它是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是_所在的直線【答案】直角 相等 對(duì)邊中點(diǎn)(2)矩形的判定判定1：_的平行四

2、邊形是矩形（定義）；判定2：_的平行四邊形是矩形；判定3：_的四邊形是矩形. 【答案】有一個(gè)角為直角 兩條對(duì)角線相等 有三個(gè)角為直角注：(1)矩形被它的對(duì)角線分成四個(gè)_三角形和四個(gè)_三角形； (2)矩形中常見題目是對(duì)角線相交成60或120角時(shí)，利用直角三角形、等邊三角形等圖形的性質(zhì)解決問題【答案】等腰 直角2菱形： (1)菱形的性質(zhì)：菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有四邊形和平行四邊形所有的性質(zhì)，還有： 邊：它的四條邊_； 對(duì)角線：它的對(duì)角線_，并且每一條對(duì)角線平分_； 對(duì)稱性：它是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是_； 面積：它的面積除底乘以高外還有_【答案】相等 互相垂直 每一組對(duì)角 對(duì)角線所在的直

3、線 兩對(duì)角線乘積的一半 (2)菱形的判定判定1：_的平行四邊形是菱形（定義）；判定2：_的平行四邊形是菱形；判定3：_的四邊形是菱形. 【答案】一組鄰邊相等 兩對(duì)角線垂直 四邊相等注：(1)菱形被它的對(duì)角線分成四個(gè)全等的_三角形和兩對(duì)全等的_三角形. (2)菱形中常見題目是內(nèi)角為60或120角時(shí)，利用直角三角形、等邊三角形等圖形的性質(zhì)解決問題【答案】直角 等腰考點(diǎn)精析 專項(xiàng)突破考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)【例1】（2016包頭）如圖，在矩形abcd中，對(duì)角線ac與bd相交于點(diǎn)o過點(diǎn)a作aebd垂足為點(diǎn)e，若eac=2cad，則bae=_度【答案】22.5解題點(diǎn)撥：首先證明aeo是等腰直角三角形，求出oa

4、b,oae即可.考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)【例2】（2015通遼）菱形abcd的一條對(duì)角線長為6，邊ab的長為方程y2-7y+10=0的一個(gè)根，則菱形abcd的周長為 ( ) a8 b20 c8或20 d10 【答案】b解題點(diǎn)撥：邊ab的長是方程y2-7y+10=0的一個(gè)根，解方程求得x的值，根據(jù)菱形abcd的一條對(duì)角線長為6，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出菱形的邊長，即可求得菱形abcd的周長.考點(diǎn)三 矩形、菱形的綜合【例3】（2016南寧）已知四邊形abcd是菱形，ab=4，abc=60eaf的兩邊分別與射線cb、dc相交于點(diǎn)ef且eaf= 60 (1)如圖l，當(dāng)點(diǎn)e是線段cb的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段a

5、e，ef，af之間的數(shù)量關(guān)系； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)e是線段cb上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)e不與b、c重合），求證：be=cf； (3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)e在線段cb的延長線上，且eab=15時(shí)，求點(diǎn)f到bc的距離 解題點(diǎn)撥：(1)結(jié)論ae=ef=af只要證明ae=af即可，證明aef是等邊三角形 (2)欲證明be=cf，只要證明baecaf即可 (3)過點(diǎn)a作agbc于點(diǎn)g，過點(diǎn)f作fhec于點(diǎn)h，根據(jù)fh =cfcos30，因?yàn)閏f= be，只要求出be即可解決問題【答案】(1)解：結(jié)論ae=ef=af.理由：如圖1中，連接ac，四邊形abcd是菱形，b=60,ab=bc=cd=ad,b=d=60,abc,

6、adc是等邊三角形，bac=dac=60be=ec，bae=cae=30,aebc,eaf=60, caf=daf=30,afcd，ae=af(菱形的高相等)，aef是等邊三角形ae=ef=af(2)證明：如圖2中，連接ac,bac=eaf=60，bae=caf,在bae和caf中， baecaf.be= cf.(3)解：過點(diǎn)a作agbc于點(diǎn)g，過點(diǎn)f作fh ec于點(diǎn)h,eab=15,abc=60，aeb=45,在rtagb中，abc=60,ab=4,bg=2,ag=2,在rtaeg中，aeg=eag=45,ag=ge=2，eb=eg-bg=2-2,aebafc，ae=af,eb=cf=2-2

7、,在rtchf中，cfh=30,cf=2-2,fh=cfcos30=(2-2) =3一點(diǎn)f到bc的距離為3-課堂訓(xùn)練 當(dāng)堂檢測(cè)1如圖，在矩形abcd中，對(duì)角線ac，bd相交于點(diǎn)o，acb= 30，則aob的大小為 ( ) a.30 b.60 c.90 d.120【答案】b2（2015桂林）如圖，在菱形abcd中，ab=6，abd=30，則菱形abcd的面積是 ( )a18 b18 c36 d36【答案】b3如圖，菱形abcd中，ac、bd相交于點(diǎn)o，若bco=55，則ado=_【答案】354（2015曲靖）如圖，菱形abcd的對(duì)角線ac與bd相交于點(diǎn)0，且beac，cebd(1)求證：四邊形o

8、bec是矩形；(2)若菱形abcd的周長是4，tana=，求四邊形obec的面積(1)證明：菱形abcd的對(duì)角線ac與bd相交于點(diǎn)o,acbd,beac,cebd,boc=oce=obe=90,四邊形obec是矩形.(2)解：菱形abcd的周長是4，ab=bc=ad=dc=tana=，設(shè)co=x,則b0=2x,+ =，解得：x=，四邊形obec的面積為：2=4中考達(dá)標(biāo) 模擬自測(cè)a組 基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1（2016無錫）下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的是 ( )a對(duì)角線相等 b對(duì)角線互相平分c對(duì)角線互相垂直 d鄰邊互相垂直【答案】c2如圖，在菱形abcd中，m，n分別在ab，cd上，且am

9、 =cn，mn與ac交于點(diǎn)o，連接bo若dac= 28，則obc的度數(shù)為 ( ) a28 b52 c62 d72【答案】c3（2016棗莊）如圖，四邊形abcd是菱形，ac=8，db= 6，dhab于h，則dh等于 ( )a b. c.5 d.4【答案】 a4（2015安徽）如圖，矩形abcd中，ab=8，bc=4點(diǎn)e在邊ab上，點(diǎn)f在邊cd上，點(diǎn)g、h在對(duì)角線ac上若四邊形egfh是菱形，則ae的長是 ( )a2 b3 c5 d6 【答案】c二、填空題5如圖，菱形abcd中，a= 60，bd=7，則菱形abcd的周長為_.【答案】286（2016成都）如圖，在矩形abcd中，ab=3，對(duì)角線

10、ac，bd相交于點(diǎn)o，ae垂直平分ob于點(diǎn)e，則ad的長為_【答案】37（2016巴中）如圖，延長矩形abcd的邊bc至點(diǎn)e，使ce=bd連結(jié)ae，如果adb=30，則e=_度【答案】15三、解答題8如圖，在平行四邊形abcd中，ae平分bad，交bc于點(diǎn)e，bf平分abc，交ad于點(diǎn)f，ae與bf交于點(diǎn)p，連接ef，pd(1)求證：四邊形abef是菱形；(2)若ab=4,ad=6,abc=60，求tanadp的值.解：(1)證明：四邊形abcd是平行四邊形adbc,dae= aebae是角平分線，dae= baebae= aeb，ab=be，同理ab=af，af=be，四邊形abef是平行四

11、邊形，ab=be，四邊形abef是菱形；(2)作phad于h，四邊形abef是菱形abc=60，ab=4，ab=af=4,abf= 30,apbf.ap=ab=2，ph=，dh =5,tanadp= =.9（2015烏魯木齊）如圖，平行四邊形abcd中，點(diǎn)e，f在直線ac上（點(diǎn)e在f左側(cè)），bedf.(1)求證：四邊形bedf是平行四邊形；(2)若abac，ab=4，bc=2，當(dāng)四邊形bedf為矩形時(shí)，求線段ae的長解：(1)證明：四邊形abcd是平行四邊形，adbc，ad=bc，daf=bce又bedfbec= dfa在bec與dfa中，becdfa(aas),:.be=df,又bedf四邊

12、形bedf為平行四邊形：(2)連接bd，bd與ac相交于點(diǎn)d，如圖：abac，ab=4，bc=2，ac=6a0=3rtbao中，b0=5，四邊形bedf是矩形oe=ob=5點(diǎn)e在oa的延長線上，且ae=2.b組提高練習(xí)10（2016舟山）如圖，矩形abcd中，ad=2ab=3，過點(diǎn)a，c作相距為2的平行線段ae，cf，分別交cd，ab于點(diǎn)e，f，則de的長是 ( )a b. c.1 d. 【答案】d（提示：過f作fh ae于h，四邊形abcd是矩形，ab=cd，abcd，aecf，四邊形aecf是平行四邊形af=ce,de=bf,af=3- de,ae=,fha=d= daf=90,afh+

13、haf= dae+ fah=90，dae= afh，adeafh，=，ae =af, =3dede=，故選d.)11如圖，在邊長為2的菱形abcd中，a= 60，m是ad邊的中點(diǎn)，n是ab邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將amn沿mn所在直線翻折得到amn，連接ac則ac長度的最小值是_【答案】-1（提示：如圖所示：mc，ma是定值，ac長度的最小值時(shí)，即a在mc上時(shí)，過點(diǎn)m作mfdc于點(diǎn)f，在邊長為2的菱形abcd中，a=60,cd=2，adc=120,fda=60,fmd=30，fd=, fm=dmcos30=，mc=，ac=mc-ma=-1. 12(2016重慶一中)已知四邊形abcd為菱形，連接bd，點(diǎn)e為菱形abcd外任意一點(diǎn)如圖，若a45，ab，點(diǎn)e為過點(diǎn)b作ad邊的垂線與cd邊的延長線的交點(diǎn)，be，ad交于點(diǎn)f，求de的長如圖，若2aeb180bed，abe60，求證：bcbede如圖，若點(diǎn)e在cb延長線上時(shí)，連接de，試猜想bed，abd，cde三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論【答案】解：在菱形abcd中,abad,abde