1、第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算基礎(chǔ)盤(pán)查一向量的有關(guān)概念(一)循綱憶知1了解向量的實(shí)際背景；2理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；3理解向量的幾何表示(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)向量與向量是相等向量()(2)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小()(3)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量()(4)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無(wú)關(guān)()答案：(1)(2)(3)(4)2.(人教A版教材例題改編)如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中與，相等的向量解：；.基礎(chǔ)盤(pán)查二向量的線性運(yùn)算(一)循綱憶知1掌握向量加法、減

2、法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；2掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義；3了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量()(2) ()(3)向量ab與ba是相反向量()(4)兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)：(1)()_.(2)_.答案：(1)(2)0基礎(chǔ)盤(pán)查三共線向量定理(一)循綱憶知理解兩個(gè)向量共線的含義，掌握向量的共線定理及應(yīng)用(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同()(2)若ab，bc，則ac()(3)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上(

3、)(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)2已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.答案：(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量題組練透1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平

4、行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號(hào)是()ABC D解析：選A不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時(shí)，既使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件不正確考慮b0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號(hào)是.故選A.

5、2設(shè)a0為單位向量，下述命題中：若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.假命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.類(lèi)題通法平面向量有關(guān)概念的核心(1)向量定義的核心是方向和長(zhǎng)度(2)非零共線向量的核心是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制(3)相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等(4)單位向量的核心是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)

6、單位長(zhǎng)度(5)零向量的核心是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)1向量的加法定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖運(yùn)算律：(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)2向量的減法定義：向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差，即a(b)ab.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖3向量的數(shù)乘定義：實(shí)數(shù)與向量a的積運(yùn)算，即a.運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖，a的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|a|a|.(2)當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.運(yùn)算律：(a)()a；()aaa；(a

7、b)ab.提醒(1)實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差；(2)0或a0a0.典題例析1(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則()A B.C D.解析：選A()()()，故選A.2(2013江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi)解析：()，所以1，2，即12.答案：類(lèi)題通法1向量線性運(yùn)算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知

8、向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解2兩個(gè)結(jié)論(1)P為線段AB的中點(diǎn)()；(2)G為ABC的重心0.演練沖關(guān)1(2015聊城二模)在ABC中，c，b.若點(diǎn)D滿足2，則()A.bcB.cbC.bc D.bc解析：選A如圖，可知()c(bc)bc.故選A.2若典例2條件變?yōu)椋喝?，則_.解析：，2.又2，2().，即.答案：(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)全面發(fā)掘)必備知識(shí)共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.提醒限定a0的目的是保證實(shí)數(shù)的存在性和唯一性一題多變典型母題設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值解e

9、1e2，2e13e2，3e12e2.A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2.實(shí)數(shù)k的值為2.題點(diǎn)發(fā)散1在本例條件下，試確定實(shí)數(shù)k，使ke1e2與e1ke2共線解：ke1e2與e1ke2共線，存在實(shí)數(shù)，使ke1e2(e1ke2)，即ke1e2e1ke2，解得k1.題點(diǎn)發(fā)散2在本例條件下，如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線證明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，與共線又與有公共點(diǎn)C，A，C，D三點(diǎn)共線類(lèi)題通法1共線向量定理及其應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由

10、向量共線求參數(shù)的值(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2證明三點(diǎn)共線的方法若，則A，B，C三點(diǎn)共線一、選擇題1給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量?jī)蓚€(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小a0(為實(shí)數(shù))，則必為零，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選C錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯(cuò)誤，當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，ab0，此時(shí)，a與b可以是任意向量故選C.2已知向量a，b，c中任

11、意兩個(gè)都不共線，但ab與c共線，且bc與a共線，則向量abc()AaBbCc D0解析：選D依題意，設(shè)abmc，bcna，則有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a與c不共線，于是有m1，n1，abc，abc0，選D.3(2015福建四地六校聯(lián)考)已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且22，則()A點(diǎn)P在線段AB上B點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上C點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上D點(diǎn)P不在直線AB上解析：選B因?yàn)?2，所以2，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，故選B.4設(shè)D，E，F(xiàn)分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且2，2，2，則與 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直

12、 D既不平行也不垂直解析：選A由題意得，因此()，故與反向平行5在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若mn (m，nR)，則的值為()A2 BC2 D.解析：選A設(shè)a，b，則manb，ba，由向量與共線可知存在實(shí)數(shù)，使得，即manbba，又a與b不共線，則，所以2.6設(shè)O在ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為()A3 B4C5 D6解析：選BD為AB的中點(diǎn)，則()，又20，O為CD的中點(diǎn)，又D為AB中點(diǎn)，SAOCSADCSABC，則4.二、填空題7設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，216，|，則|_.解析：由|可知，則A

13、M為RtABC斜邊BC上的中線，因此，|2.答案：28(2015江門(mén)模擬)已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足0，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)解析：如圖所示，由且0，則P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此2，則2.答案：29已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量，滿足等式，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi)解析：，BA綊CD，四邊形ABCD為平行四邊形答案：平行四邊形10已知D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且a，b，給出下列命題：ab；ab；ab；0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)解析：a，b，ab，故錯(cuò)；ab，故正確；()(ab)ab，故正確；baabba0.正確命題為.答案

14、：3三、解答題11已知a，b不共線，a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因?yàn)閍，b不共線，所以有解之得t.故存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上12.如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使，連接BG，CG，得到

15、平行四邊形ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)證明：由(1)可知，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)盤(pán)查一平面向量基本定理(一)循綱憶知了解平面向量的基本定理及其意義(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)在ABC中，向量，的夾角為ABC()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)1，1，2，2滿足1a1b2a2b，則12，12()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材復(fù)習(xí)題改編)設(shè)M是ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，

16、O為任意一點(diǎn)，則_.答案：4基礎(chǔ)盤(pán)查二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(一)循綱憶知1掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同()(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()(3)已知點(diǎn)A(2,1)，B(1,3)，則(3,2)()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材例題改編)已知a(2,1)，b(3,4)，則3a4b_.答案：(6,19)基礎(chǔ)盤(pán)查三平面向量共線的坐標(biāo)表示(一)循綱憶知理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)若a(x1，y1)，b(

17、x2，y2)，則ab的充要條件可表示成()(2)已知向量a(4，x)，b(4,4)，若ab，則x的值為4()答案：(1)(2)2O是坐標(biāo)原點(diǎn)，(k,12)，(4,5)，(10，k)，當(dāng)k_時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？答案：2或11(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底題組練透1如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()Ae1與e1e2Be12e2與e

18、12e2Ce1e2與e1e2 De13e2與6e22e1解析：選D選項(xiàng)A中，設(shè)e1e2e1，則無(wú)解；選項(xiàng)B中，設(shè)e12e2(e12e2)，則無(wú)解；選項(xiàng)C中，設(shè)e1e2(e1e2)，則無(wú)解；選項(xiàng)D中，e13e2(6e22e1)，所以?xún)上蛄渴枪簿€向量2如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)設(shè)a，b，試用a，b為基底表示向量，.解：babba，bba，bab.類(lèi)題通法(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式

19、，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2); (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)；(3)若a(x，y)，則a(x，y)；|a|.題組練透1已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab()A(2，1)B(2,1)C(1,0) D(1,2)解析：選Da，b，故ab(1,2)2(2015昆明一中摸底)已知點(diǎn)M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A(2,0)B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析：選A3a3(1，2)(3,6)，設(shè)N(x，y)，則(x5

20、，y6)(3,6)，所以即選A.3已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)類(lèi)題通法平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘

21、運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)全面發(fā)掘)必備知識(shí)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.則abx1y2x2y10.一題多變典型母題平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k.解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0.k.題點(diǎn)發(fā)散1在本例條件下，若d滿足(dc)(a

22、b)，且|dc|，求d.解：設(shè)d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由題意得得或d(3，1)或d(5,3)題點(diǎn)發(fā)散2在本例條件下，若manb與a2b共線，求的值解：manb(3mn,2m2n)，a2b(5，2)，由題意得2(3mn)5(2m2n)0.題點(diǎn)發(fā)散3若本例條件變?yōu)椋阂阎狝(3,2)，B(1,2)，C(4,1)，判斷A，B，C三點(diǎn)能否共線解：(4,0)，(1，1)，4(1)010，不共線A，B，C三點(diǎn)不共線類(lèi)題通法1向量共線的兩種表示形式設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)：abab(b0)；abx1y2x2y10.至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)

23、的應(yīng)用.2兩向量共線的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線的問(wèn)題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值一、選擇題1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且a，b，則()AbaBbaCab Dab解析：選Aababa.2已知平行四邊形ABCD中，(3,7)，(2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為()A.B.C. D.解析：選D(2,3)(3,7)(1,10).故選D.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊ABDC，ADBC.已知A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(0，2) B(4,2)C(1

24、6,14) D(0,2)解析：選A設(shè)D(x，y)，由題意知，即(x6，y8)(8，8)(2，2)(6，10)，故選A.4設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析：選D設(shè)d(x，y)，由題意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)5已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角

25、形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是()Ak2 BkCk1 Dk1解析：選C若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量，共線，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.6(2015山西四校聯(lián)考)在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若x(1x)，則x的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D依題意，設(shè)，其中1，則有()(1).又x(1x)，且，不共線，于是有x1，即x的取值范圍是.二、填空題7設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即

26、e1e2_a_b.解析：由題意，設(shè)e1e2manb.因?yàn)閍e12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：8已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC135，設(shè) (R)，則的值為_(kāi)解析：由AOC135知，點(diǎn)C在射線yx(x0)上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，a)，a0，則有(a，a)(1，)，得a1，a，消掉a得.答案：9在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則_.解析：(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案：(6,21)10(2015九江

27、模擬)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個(gè)向量集合，則PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)則得此時(shí)ab(13，23)答案：三、解答題11已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？解：(1)因?yàn)閍(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以3(k2)70，即k.此時(shí)kab(k2，1)，a3b(7,3)，則a3b3(kab)，即此時(shí)向量a3b與kab方向相反

28、12已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線解：(1)t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)證明：當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，A，B，M三點(diǎn)共線第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例基礎(chǔ)盤(pán)查一平面向量的數(shù)量積(一)循綱憶知1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系(二)小題查驗(yàn)1判斷

29、正誤(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(3)兩個(gè)向量的夾角的范圍是()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材例題改編)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120，則ab_答案：10基礎(chǔ)盤(pán)查二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(一)循綱憶知1掌握數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；2能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)由ab0，可得a0或b0()(2)兩向量ab的充要條件：ab0x1x2y1y20()(3)若ab0，則a

30、和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材復(fù)習(xí)題改編)已知|a|，|b|2，a與b的夾角為30，則|ab|_.答案：13已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，則實(shí)數(shù)x等于_答案：9基礎(chǔ)盤(pán)查三平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(一)循綱憶知掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)(ab)ca(bc)()(2)abac(a0)，則bc()答案：(1)(2)2(人教A版教材習(xí)題改編)已知單位向量e1，e2的夾角為60，則向量a2e1e2與b2e23e1的夾角為_(kāi)答案：150(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)1平面向量

31、數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab|a|b|cos ，規(guī)定0a0.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.3平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積提醒投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量， 不是向量題組練透1(2015云南統(tǒng)一檢測(cè))設(shè)向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數(shù)量積等于()ABC. D.解析：選Da2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由題意得3(12m)4(2m)

32、0，則m，所以ab121.2.(2013湖北高考)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.C D解析：選A(2,1)，(5,5)，由定義知在方向上的投影為.3(2014重慶高考)已知向量a與b的夾角為60，且a(2，6)，|b|，則ab_.解析：因?yàn)閍(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a與b的夾角為60，所以ab|a|b|cos 60210.答案：104(2015東北三校聯(lián)考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，2，()，則_.解析：如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則B(0,0)，E，D(2,2

33、)由()知F為BC的中點(diǎn)，故，(1，2)，2.答案：類(lèi)題通法向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cos a，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.提醒(1)在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若abac(a0)，則不一定得到bc.(2)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)多角探明)必備知識(shí)已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)：結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1

34、x2y1y20多角探明平面向量的夾角與模的問(wèn)題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直.角度一：平面向量的模1已知平面向量a，b的夾角為，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D為BC中點(diǎn)，則|等于()A2B4C6 D8解析：選A因?yàn)?)(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，則|2.2(2014北京高考)已知向量a，b滿足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，則|_.解析：|a|1，可令a(cos ，sin )， ab0.即由sin

35、2cos21得25，得|.答案：角度二：平面向量的夾角3向量a，b均為非零向量，(a2b)a，(b2a)b，則a，b的夾角為()A. B.C. D.解析：選B(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cos a，b0，可得cosa，b，又因?yàn)?a，b，所以a，b.4(2014江西高考)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.解析：因?yàn)閍2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos 18，所以|b|2，a

36、b(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .答案：角度三：平面向量的垂直5(2014重慶高考)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()A B0C3 D.解析：選C因?yàn)?a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3，選C.6在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，則k的值為_(kāi)解析：當(dāng)A90時(shí)，0.213k0，解得k.當(dāng)B90時(shí)，又(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.當(dāng)C90時(shí)，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.答案：或或.類(lèi)題通法平面向量數(shù)

37、量積求解問(wèn)題的策略(1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，則|a|.(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)典題例析(2013江蘇高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值解：(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因?yàn)閍2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因?yàn)閍b(cos

38、 cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos ()，由0，得0.又0，所以，.類(lèi)題通法平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等演練沖關(guān)已知向量a，b，c(，1)，其中xR，(1)當(dāng)ab時(shí)，求x的取值集合；(2)設(shè)函數(shù)f(x)(ac)2，求f(x)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間解：(1)abcos cos sin sin c

39、os x，x2k(kZ)所求x的取值集合為xx2k，kZ.(2)ac，f(x)(ac)22252cos 2sin 5454sin.最小正周期為T(mén).由2k2k(kZ)，得x(kZ)單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)一、選擇題1(2015惠州調(diào)研)已知向量p(2，3)，q(x,6)，且pq，則|pq|的值為()A.B.C5 D13解析：選B由題意得263x0x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|.2(2015長(zhǎng)春調(diào)研)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若為實(shí)數(shù)，(ba)c，則的值為()A BC. D.解析：選Aba(1,0)(1,2)(1，2)，c(3,4)，又(ba)c，(ba)c0

40、，即(1，2)(3,4)3380，解得，故選A.3已知向量a，b滿足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，則a與b的夾角為()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)?a2b)(5a4b)0，|a|b|1，所以6ab850，即ab.又ab|a|b|cos cos ，所以cos ，因?yàn)?，所以.4在ABC中，()|2，則ABC的形狀一定是()A等邊三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：選C由()|2，得()0，即()0,20，A90.又根據(jù)已知條件不能得到|，故ABC一定是直角三角形5(2015東北三校聯(lián)考)已知ABC中，|10，16，D為邊的中點(diǎn)，則|等于()A6 B5C4 D

41、3解析：選D由題知()，16，|cosBAC16.在ABC中由余弦定理得，|2|2|22|cosBAC，102|2|232，|2|268，|2(222)(6832)9，|3，故選D.6在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C將正方形放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)E(x,0)，0x1.又M，C(1,1)，所以，(1x,1)，所以(1x,1)(1x)2.因?yàn)?x1，所以(1x)2，即的取值范圍是.二、填空題7(2015北京東城質(zhì)量檢測(cè))已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(ab)b，則|c|_.解析：由題意可

42、得ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.答案：88(2015山西四校聯(lián)考)圓O為ABC的外接圓，半徑為2，若2，且|，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)解析：2，O是BC的中點(diǎn)，故ABC為直角三角形在AOC中，有|，B30.由定義，向量在向量方向上的投影為|cos B23.答案：39單位圓上三點(diǎn)A，B，C滿足0，則向量，的夾角為_(kāi)解析：A，B，C為單位圓上三點(diǎn)，|1，又0，2()2222，可得cos ，向量，的夾角為120.答案：12010(2014江蘇高考)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則的值是_解析：因?yàn)?，所以|2|22，

43、將AB8，AD5代入解得22.答案：22三、解答題11已知|a|4，|b|8，a與b的夾角是120.(1)計(jì)算：|ab|，|4a2b|；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7時(shí)，a2b與kab垂直12在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a(1,2)，又點(diǎn)A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t).(1)若a，且|，求向量；(2)若向量與向量a共線，當(dāng)k4，且tsin 取最大值4時(shí)，求.解：(1)由題設(shè)知(n8，t)，a，8n2t0.又|，564(n8)2t25t2，得t8.當(dāng)t8時(shí)，n24；t8時(shí)，n8，(24,8)或(8，8)(2)由題設(shè)知(ksin 8