1、3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例提出問題某廠家計劃用一種材料生產(chǎn)一種盛500 mL溶液的圓柱形易拉罐問題1：生產(chǎn)這種易拉罐，如何計算材料用的多少呢？提示：計算出圓柱的表面積即可問題2：如何制作使用材料才能最?。刻崾荆阂褂昧献钍?，只需圓柱的表面積最小可設(shè)圓柱的底面半徑為x，列出圓柱表面積S2x2(x0)，求S最小時，圓柱的半徑、高即可導(dǎo)入新知1優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題2用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路化解疑難1在求實際問題的最大(小)值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應(yīng)舍去2在解決實際優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)

2、系用函數(shù)關(guān)系表示，還應(yīng)確定出函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍面積、容積最值問題例1某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100 m，并與北京路一邊所在直線l相切于點M.點A為上半圓弧上一點，過點A作l的垂線，垂足為點B.市園林局計劃在ABM內(nèi)進行綠化設(shè)ABM的面積為S(單位：m2)，AON(單位：弧度)(1)將S表示為的函數(shù)；(2)當(dāng)綠化面積S最大時，試確定點A的位置，并求最大面積解(1)BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)則SMBAB100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0

3、，)(2)S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令S0，得cos 或cos 1(舍去)，此時.當(dāng)變化時，S，S的變化情況如下表：S0S極大值所以，當(dāng)時，S取得最大值Smax3 750 m2，此時AB150 m，即點A到北京路一邊l的距離為150 m. 類題通法解決面積、容積的最值問題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值活學(xué)活用用長為90 cm、寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四個角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成(如圖所示)問：該容器的高為多少時，容器的容積最大？

4、最大容積是多少？解：設(shè)容器的高為x cm，容器的容積為V(x) cm3，則V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)，V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)令V(x)0，得x110，x236(舍去)當(dāng)0x0，V(x)是增函數(shù)；當(dāng)10x24時，V(x)0，V(x)是減函數(shù)因此，在定義域(0,24)內(nèi)，函數(shù)V(x)只有當(dāng)x10時取得最大值，其最大值為V(10)10(9020)(4820)19 600(cm3)故當(dāng)容器的高為10 cm時，容器的容積最大，最大容積是19 600 cm3.用料最省(成本最低)問題例2某地建一座橋

5、，兩端的橋墩已建好，這兩個橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640時，需新建多少個橋墩才能使y最?。拷?1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n1)xm，即n1，所以，yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xmm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.當(dāng)0x64時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；

6、當(dāng)64x0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)所以f(x)在x64處取得最小值，此時n119.故需新建9個橋墩才能使y最小類題通法解決實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等問題，需要求相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時根據(jù)f(x)0求出極值點(注意根據(jù)實際意義舍去不合適的極值點)后，判斷函數(shù)在該點附近滿足左減右增，則此時的極小值就是所求函數(shù)的最小值活學(xué)活用甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時，已知該汽車每小時的運輸成本P(單位：元)關(guān)于速度v(單位：千米/時)的函數(shù)關(guān)系是Pv4v315v，(1)求全程運輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式(2)

7、為使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值解：(1)QP400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，則v0(舍去)或v80.當(dāng)0v80時，Q0；當(dāng)80v100時，Q0，v80千米/時時，全程運輸成本取得極小值，即最小值，且QminQ(80)(元).利潤最大問題例3某公司為了獲得更大的利益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(單位：百萬元)，可增加銷售額約為t25t(單位：百萬元，且0t5)(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元，分別用于廣告促

8、銷和技術(shù)改造經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費x(單位：百萬元)，可增加的銷售額約為x3x23x(單位：百萬元)請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大(注：收益銷售額投入)解(1)設(shè)投入t百萬元的廣告費后增加的收益為f(t)百萬元，則有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，當(dāng)t2時，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x百萬元，則用于廣告促銷的資金為(3x)百萬元，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)，則g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.當(dāng)0x2時，

9、g(x)0；當(dāng)2x3時，g(x)0，故g(x)在0,2)上是增函數(shù)，在(2,3上是減函數(shù)當(dāng)x2時，g(x)取最大值，即將2百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷時，該公司由此獲得的收益最大類題通法(1)經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(2)關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系利潤收入成本利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)活學(xué)活用某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p(x

10、N*)(1)將該廠的日盈利額T(元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)；(2)為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解：(1)因為次品率p，所以當(dāng)每天生產(chǎn)x件時，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN*)(2)T25，由T0，得x16或x32(舍去)當(dāng)0x0；當(dāng)x16時，T0; 所以當(dāng)x16時，T最大，即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大盈利.典例(12分)如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，橢圓的長半軸長為2r，短半軸長為r.計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD2x，梯形面積為S.(1)求S以x為自變量的函數(shù)表達式，并寫出其定義域；(2

11、)求S的最大值解題流程活學(xué)活用有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問：供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？解：如圖所示，依題意，點C在線段AD上，設(shè)C點距D點x km，則BD40，AC50x，所以BC.設(shè)總的水管費用為y元，則y3a(50x)5a(0x50)，y3a，令y0，解得x130，x230(舍去)當(dāng)x30時，y0；當(dāng)x30時，y0，所以當(dāng)x30時，y取得最小值，此時AC503020(km)，

12、即供水站建在A，D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省隨堂即時演練1做一個容積為256 m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時，它的高為()A6 mB8 mC4 m D2 m解析：選C設(shè)底面邊長為x m，高為h m，則有x2h256，所以h.設(shè)所用材料的面積為S m2，則有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4(m)2已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A13萬件 B11萬件C9萬件 D7萬件解析：選Cyx281，令y0，解得x9或x9(舍去)當(dāng)0x9時，y0；當(dāng)x9時，y

13、0.所以當(dāng)x9時，y取得最大值3做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則VR2L27，所以L.要使用料最省，只需使圓柱表面積最小S表R22RLR22，令S表2R0，得R3，即當(dāng)R3時，S表最小答案：34某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y117x2(x0)；生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y22x3x2(x0)為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)_千臺解析：設(shè)利潤為y，則yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，經(jīng)檢驗知x6既是函數(shù)的極大值

14、點又是函數(shù)的最大值點答案：65某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0x30)的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解：(1)若商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2件，由題意知24k22，得k6.若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則依題意有f(x)(30x9)(4326x2)(21x)(4326x2)，所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30(2)根據(jù)(1)有f(x

15、)18x2252x43218(x2)(x12)當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：0(0,2)2(2,12)12(12,30)f(x)00f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故x12時，f(x)取得極大值，因為f(0)9 072，f(12)11 664，所以定價為301218元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大課時達標(biāo)檢測一、選擇題1某箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V(x)x2(0x60)，則當(dāng)箱子的容積最大時，箱子底面邊長為()A30B40C50 D60解析：選BV(x)2xx2x260xx(x40)令V(x)0，得x40或x0(舍)故不難確定x40時，V(x)有最大值選

16、B.2某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品若該商品零售價定為P元，銷售量為Q件，且銷量Q與零售價P有如下關(guān)系：Q8 300170PP2，則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進貨支出)()A30元B60元C28 000元 D23 000元解析：選D毛利潤為(P20)Q，即f(P)(P20)(8 300170PP2)，f(P)3P2300P11 7003(P130) (P30)令f(P)0，得P30或P130(舍去)又P20，)，故f(P)maxf(P)極大值，故當(dāng)P30時，毛利潤最大，f(P)maxf(30)23 000(元)3內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的寬和長分別為()A.和R

17、B.R和RC.R和R D以上都不對解析：選B設(shè)矩形一邊的長為x，則另一邊的長為2，則l2x4(0xR)，l2，令l0，解得x1R，x2R(舍去)當(dāng)0xR時，l0；當(dāng)RxR時，l0.所以當(dāng)xR時，l取最大值，即周長最大的矩形的寬和長分別為R，R.4某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0x390)的關(guān)系是R(x)400x,0x390，則當(dāng)總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A150 B200C250 D300解析：選D由題意可得總利潤P(x)R(x)100x20 000300x20 000，0x390，P(x)x2300.令

18、P(x)0，得x300.當(dāng)0x0；當(dāng)300x390時，P(x)0.所以當(dāng)x300時，P(x)最大5某工廠要圍建一個面積為512 m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新墻壁，當(dāng)砌新墻壁所用的材料最省時堆料場的長和寬分別為()A32 m,16 mB30 m,15 mC40 m,20 m D36 m,18 m解析：選A設(shè)矩形堆料場中與原有的墻壁平行的一邊的邊長為x m，其他兩邊的邊長均為y m，則xy512.則所用材料lx2y2y(y0)，求導(dǎo)數(shù)，得l2.令l0，解得y16或y16(舍去)當(dāng)0y16時，l0；當(dāng)y16時，l0.所以y16是函數(shù)l2y(y0)的極小值點，也是最小值點

19、，此時，x32.所以當(dāng)堆料場的長為32 m，寬為16 m時，砌新墻壁所用的材料最省二、填空題6已知某矩形廣場面積為40 000 m2，則其周長至少為_m.解析：設(shè)廣場的長為x m，則寬為 m，于是其周長為y2(x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，這時y800.當(dāng)0x200時，y0；當(dāng)x200時，y0.所以當(dāng)x200時，y取得最小值，故其周長至少為800 m.答案：8007要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為_cm.解析：設(shè)該漏斗的高為x cm，體積為V cm3，則底面半徑為 cm，Vx(202x2)(400xx3)(0x20)，則V(4003x2)令V0，解得x1，x2 (舍去)當(dāng)0x0；當(dāng)x20時，V0)，貸款的利率為0.048，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去若存款利率為x(x(0,0.048)，為使銀行獲得最大收益，則存款利率應(yīng)定為_解析：存款利率為x，依題意：存款量是kx2，銀行應(yīng)支付的利息是kx3，貸款的收