1、二項(xiàng)式定理 高考要求要求層次重難點(diǎn)二項(xiàng)式定理用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題B二項(xiàng)式定理 能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題例題精講板塊一：二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)與系數(shù)（一）知識(shí)內(nèi)容1二項(xiàng)式定理：2通項(xiàng)公式：展開式的第項(xiàng)3楊輝三角4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸遞增的，它的后半部分是逐漸遞減的是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)最大；是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)相等且最大二項(xiàng)式系數(shù)之和：（二）典例分析【例1】 的展開式中共有_項(xiàng)是有理項(xiàng)【例2】 的展開式中的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【例3】 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_（用

2、數(shù)字作答）【例4】 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【例5】 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【例6】 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【例7】 求展開式中含項(xiàng)系數(shù)【例8】 的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）【例9】 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）【例10】 若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答）【例11】 在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【例12】 的展開式中的系數(shù)等于_（用數(shù)字作答）【例13】 若，則的值為_（用數(shù)字作答）【例14】 若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)等于 【例15】 在的二項(xiàng)展開式中，若常數(shù)項(xiàng)為，則等于

3、（用數(shù)字作答）【例16】 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則 【例17】 已知的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且，則_【例18】 展開式中的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【例19】 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答）【例20】 在的展開式中的系數(shù)是（ ）A14 B14 C28 D28【例21】 已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，其中，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）【例22】 在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）（A） （B）85 （C） （D）274【例23】 在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【例24】 已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等 【例25】 若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為則（用數(shù)字作答

4、）【例26】 設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_【例27】 已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則 【例28】 已知，若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則這樣的有（ ）A3個(gè) B2 C1 D0【例29】 求展開式中的系數(shù)【例30】 的展開式中共有_項(xiàng)是有理項(xiàng)【例31】 的展開式中的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【例32】 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答）【例33】 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【變式】 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【變式】 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【例34】 求展開式中含項(xiàng)系數(shù)【例35】 的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）【例36】 的展開式中常

5、數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）【例37】 若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答）【例38】 在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【例39】 的展開式中的系數(shù)等于_（用數(shù)字作答）【例40】 中，為正實(shí)數(shù)，且，它的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，求的取值范圍【例41】 若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)等于 【例42】 在的二項(xiàng)展開式中，若常數(shù)項(xiàng)為，則等于 （用數(shù)字作答）【例43】 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則 【例44】 已知的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且，則_【例45】 展開式中的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【例46】 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答）【例47】 在的展開式中的系

6、數(shù)是（ ）A14 B14 C28 D28【例48】 已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，其中，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）【例49】 在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）（A） （B）85 （C） （D）274【例50】 在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【例51】 若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為則（用數(shù)字作答）【例52】 設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_【例53】 已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則 【例54】 已知，若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則這樣的有（ ）A3個(gè) B2 C1 D0【例55】 （2009浙江4）在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A B C D【例

7、56】 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_；各項(xiàng)系數(shù)之和為_（用數(shù)字作答）【例57】 的展開式中的系數(shù)是_，的系數(shù)為_【例58】 關(guān)于二項(xiàng)式有下列命題：該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是：該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為；該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)與第項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，除以的余數(shù)是其中正確命題的序號(hào)是_（注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）【例59】 若展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，則_，其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答）其中正確命題的序號(hào)是_（注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）【例60】 的展開中含的項(xiàng)的系數(shù)為（ ）ABCD【例61】 求二項(xiàng)式的展開式中：常數(shù)項(xiàng)；有幾個(gè)有理項(xiàng)（只需求出個(gè)數(shù)即可）；有幾個(gè)整式項(xiàng)（只需求出個(gè)數(shù)即

8、可）【例62】 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）ABCD【例63】 若展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則_，其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_（用數(shù)字作答）【例64】 已知，則二項(xiàng)式 展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是 【例65】 設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為， 二項(xiàng)式系數(shù)之和為，若， 則展開式中的系數(shù)為（ ）A B150 C D500【例66】 的展開式中的系數(shù)是（ ）A B C3 D 4【例67】 若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為，則（用數(shù)字作答）【例68】 ，則_【例69】 若在二項(xiàng)式的展開式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)為奇數(shù)的概率是【例70】 在的展開式中常數(shù)項(xiàng)是，中間項(xiàng)是【例71】 在的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng)，若實(shí)

9、數(shù)，那么【例72】 令為的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為【例73】 已知展開式中最后三項(xiàng)的系數(shù)的和是方程的正數(shù)解，它的中間項(xiàng)是，求的值【例74】 二項(xiàng)式的展開式中：求常數(shù)項(xiàng)；有幾個(gè)有理項(xiàng)；有幾個(gè)整式項(xiàng)【例75】 在的展開式中任取一項(xiàng)，設(shè)所取項(xiàng)為有理項(xiàng)的概率為，則A1 B C D【例76】 若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為 【例77】 已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于，則_【例78】 若的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_【例79】 在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項(xiàng)【例80】 求展開式中的系數(shù)；【例81】 求展開式

10、中的常數(shù)項(xiàng)【例82】 在的展開式，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）【例83】 在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A B C D【例84】 的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）【例85】 的展開式中的系數(shù)是（ ）A B C D【例86】 的展開式中的系數(shù)為 【例87】 已知展開式的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的系數(shù)比是，則_【例88】 若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，則第三項(xiàng)是 【例89】 的展開式中的系數(shù)是_；其展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_（用數(shù)字作答）【例90】 在的二項(xiàng)展開式中，若常數(shù)項(xiàng)為，則等于（ ）【例91】 已知為實(shí)數(shù)，展開式中的系數(shù)是，則_【例92】 求的二項(xiàng)展開式中含

11、的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)【例93】 的展開式中的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，那么正整數(shù)的值是 【例94】 二項(xiàng)式的展開式中第三項(xiàng)系數(shù)比第二項(xiàng)系數(shù)大，求第項(xiàng)的系數(shù)【例95】 的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于_板塊二：二項(xiàng)式系數(shù)與最值（一）知識(shí)內(nèi)容1二項(xiàng)式定理：2通項(xiàng)公式：展開式的第項(xiàng)3楊輝三角4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸遞增的，它的后半部分是逐漸遞減的是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)最大；是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)相等且最大二項(xiàng)式系數(shù)之和：（二）典例分析展開式【例1】 求的二項(xiàng)展開式【例2】 若（，為有理數(shù)），則（ ）ABCD二項(xiàng)式系數(shù)的和【例3】 若，求的值

12、【例4】 若，則 【例5】 若，則的值為_（用數(shù)字作答）【例6】 若，則_【例7】 已知，求【例8】 若，求的值【例9】 若，則的值為（ ）A B C D【例10】 設(shè)，則等于（ ）A B C D【例11】 若，則（ ）A B C D【例12】 已知，求： ； ； 【例13】 若，求的值【例14】 若，則_（用數(shù)字作答）【例15】 若，則 【例16】 若，則的值為（ ）ABCD最值問題【例17】 如果的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為_（用數(shù)字作答）【例18】 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【例19】 中，為正實(shí)數(shù)，且，它的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，求的取值范圍【例20】 如果的

13、展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為_（用數(shù)字作答）【例21】 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【例22】 二項(xiàng)式的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為，且二項(xiàng)式系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為，則在內(nèi)的值為_【例23】 已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列求的值；求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)【例24】 已知的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)【例25】 在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是_ A B C D【例26】 的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)【例27】 已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于，求【例28】 求

14、的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)以及系數(shù)最大的項(xiàng)【例29】 已知展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為，求：含的項(xiàng)；系數(shù)最大的項(xiàng)【例30】 設(shè)，的展開式中，的系數(shù)為求展開式中的系數(shù)的最大、最小值；對(duì)于使中的系數(shù)取最小值時(shí)的、的值，求的系數(shù)板塊三：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用（一）知識(shí)內(nèi)容1二項(xiàng)式定理：2通項(xiàng)公式：展開式的第項(xiàng)3楊輝三角4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸遞增的，它的后半部分是逐漸遞減的是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)最大；是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)相等且最大二項(xiàng)式系數(shù)之和：（二）典例分析【例1】 計(jì)算的近似值（精確到）【例2】 利用二項(xiàng)式定理證明：是64的倍數(shù)

15、【例3】 若，證明：能被整除【例4】 證明：能被整除【例5】 證明：能被整除【例6】 求證：【例7】 證明：【例8】 求證：【例9】 證明：【例10】 證明：【例11】 且，求證：【例12】 求證：【例13】 求證：【例14】 已知：，求證：，【例15】 ，求證：【例16】 ，求證：【例17】 設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，公比是的展開式的第二項(xiàng)用表示通項(xiàng)與前項(xiàng)和；若用表示【例18】 已知數(shù)列（）滿足：求證：對(duì)于任意正整數(shù)，【例19】 除以的余數(shù)_；除以的余數(shù)是_；除以的余數(shù)是【例20】 求證：【例21】 對(duì)于，【例22】 求證：【例23】 若（，為有理數(shù)），則（ ）ABCD【例24】 若，則等于（ ）A B C D【例25】 請(qǐng)先閱讀：在等式的兩邊求導(dǎo)得，由求導(dǎo)法則得，化簡得利用上述想法（或其他方法），結(jié)合等式（，整數(shù)），證明：；對(duì)于整數(shù)，求