1、第一章“算法初步” 簡介 算法是高中數(shù)學課程中的新增內(nèi)容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，運用消元法解二元一次方程組、求最大公因數(shù)等的過程就是算法。一般地，機械式地按照某種確定的步驟行事，通過一系列小的簡單計算操作完成復(fù)雜計算的過程，被人們稱為“算法”過程。例如，人們很容易完成的基本計算是一位數(shù)的加、減、乘和進位借位等，復(fù)雜計算過程實際上都是通過這些操作，按照一定的工作次序與步驟，組合完成的。一、內(nèi)容與課程學習目標算法是數(shù)學及其應(yīng)用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法在科學技術(shù)、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經(jīng)成

2、為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學素養(yǎng)。需要特別指出的是，中國古代數(shù)學中蘊涵了豐富的算法思想。在本章中，學生將在義務(wù)教育階段初步感受算法思想的基礎(chǔ)上，結(jié)合對具體數(shù)學實例的分析，體驗程序框圖在解決問題中的作用；通過模仿、操作、探索，學習設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程；體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力。具體來說，通過本章的學習，應(yīng)當使學生達到以下目標：1算法的含義、程序框圖（1）通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如：二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義。（2）通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題

3、的解決過程中（如：三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)。2基本算法語句經(jīng)歷將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句的過程，理解幾種基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，體會算法的基本思想。3通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻，增強民族自豪感。二、內(nèi)容安排本章包括3節(jié)，約需12課時，具體內(nèi)容和課時分配（僅供參考）如下：1.1 算法與程序框圖 約2課時1.2 基本算法語句 約3課時1.3 算法案例 約6課時閱讀與思考 割圓術(shù)小 結(jié) 約1課時本章知識結(jié)構(gòu)如下：1中學數(shù)學中的算法內(nèi)容和其它內(nèi)容是密切聯(lián)系在

4、一起的，比如線性方程組的求解、數(shù)列的求和等。具體來說，需要通過模仿、操作、探索，學習設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程，體會算法的基本思想和含義，理解算法的基本結(jié)構(gòu)和基本算法語句，并了解中國古代數(shù)學中的算法。2本章集中解決算法的一些基本問題，比如通過實例讓學生體會和理解算法的含義，通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程，了解算法語言的基本構(gòu)成，理解幾種基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，并通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻。3一般算法由順序、條件和循環(huán)三種基本結(jié)構(gòu)組成。順序結(jié)構(gòu)是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，這

5、是任何一個算法都離不開的基本主體結(jié)構(gòu)。例如，下面的算法就是典型的順序結(jié)構(gòu)。一個三角形的三邊邊長分別為2、3、4，設(shè)計一個算法，求出它的面積。算法分析：第一步：輸入3個數(shù)2、3、4。第二步：計算。第三步：計算三角形的面積。第四步：輸出s的值。條件結(jié)構(gòu)是以條件的判斷為起始點，根據(jù)條件是否成立而決定執(zhí)行哪一個處理步驟。例如，下面的例題就要求我們做出判斷。任意給定3個正實數(shù)，設(shè)計一個算法求分別以這3個數(shù)為三邊邊長的三角形的面積。算法分析：第一步：輸入3個數(shù)a、b、c。第二步：判斷a、b、c是否能構(gòu)成三角形。第三步：如果能構(gòu)成三角形，計算和三角形的面積。第四步：輸出的值或者“無法構(gòu)成三角形”的信息。循環(huán)

6、結(jié)構(gòu)是指在算法設(shè)計中，從某處開始有規(guī)律地反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟，這個處理步驟稱為循環(huán)體。循環(huán)體的執(zhí)行次數(shù)由一個控制循環(huán)條件決定。滿足條件反復(fù)做，不滿足則停止。循環(huán)結(jié)構(gòu)分為兩種當型（while型）和直到型（until型）。當型循環(huán)在執(zhí)行循環(huán)體前對控制循環(huán)條件進行判斷，當條件滿足時反復(fù)做，不滿足停止；直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體之后，對控制循環(huán)條件進行判斷，當條件不滿足時反復(fù)做，滿足則停止。 下面的例子分別用當型和直到型算法解決同一個問題。例如，畫出求1 + 2 + + 100的程序框圖。程序框圖： “WHILE型循環(huán)” “UNTIL型循環(huán)”4“算法是計算機科學的基礎(chǔ)”，計算機完成任何一項任務(wù)都需要

7、算法。但是，用自然語言或程序框圖描述的算法計算機是無法“理解”的，我們還需要將算法用計算機能夠理解的語言表達出來，通常這稱為程序設(shè)計，所用的語言稱為程序設(shè)計語言（programming language）。程序設(shè)計語言由一些有特定含義的程序語句構(gòu)成，與算法程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)相對應(yīng)，任何程序設(shè)計語言都包含輸入輸出語句 、賦值語句、條件語句和循環(huán)語句。不同的程序設(shè)計語言有不同的語句形式和語法規(guī)則，但基本結(jié)構(gòu)是相同的。正是由于這樣的原因，在研究算法的時候，有時并不很關(guān)心算法語句是否用得是某種精確的程序語言，而采用基本結(jié)構(gòu)相同的更為簡便易懂的語言形式，有人稱之為偽代碼。5中國古代數(shù)學中算法的內(nèi)容是

8、非常豐富的，比如，中國古代數(shù)學著作九章算術(shù)中介紹了下述“約分術(shù)”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之?！币馑际钦f：若分子、分母全是偶數(shù)，則把分子、分母分別置于兩邊，然后由較大的數(shù)減去較小的數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，直到兩邊所得的數(shù)相等，就用這個數(shù)（等數(shù)）來約分。這個數(shù)就是分子和分母的最大公約數(shù)?！凹s分術(shù)”實際上給出了求任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)的一種算法，被后人稱為“更相減損術(shù)”。這種方法與歐氏算法異曲同工，本質(zhì)上是相同的。在中國古代數(shù)學中，中學生能夠很容易理解的內(nèi)容還有熟知的割圓術(shù)、多項式求值的秦九韶算法等。算法內(nèi)容反映了時代的特點，同時也是中國數(shù)學課程內(nèi)容

9、的新特色。中國古代數(shù)學以算法為主要特征，取得了舉世公認的偉大成就?，F(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使算法重新煥發(fā)了前所未有的生機和活力，算法進入中學數(shù)學課程，既反映了時代的要求，也是中國古代數(shù)學思想在一個新的層次上的復(fù)興，也就成為了中國數(shù)學課程的一個新的特色。三、編寫中考慮的幾個問題強調(diào)通過案例引導(dǎo)學生認識算法的本質(zhì)算法的概念并沒有一個統(tǒng)一的定義，教科書從豐富的實例出發(fā)，自始至終貫徹“通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義”的要求，力求使學生能夠?qū)λ惴ū举|(zhì)有所認識。自然語言、程序框圖和算法語言是表達算法的三種形式，教科書通過簡單的實例來說明程序框圖和

10、算法語言的使用，抓住了算法表示的核心內(nèi)容，不追求完整。算法案例的處理也遵循了這一原則，重在對案例的算法的分析，案例的選擇也主要從算法的典型性、與以往知識的連續(xù)性和可接受性的角度出發(fā)，使學生能夠通過案例的學習進一步理解算法的本質(zhì)。突出與其他部分內(nèi)容的聯(lián)系，體現(xiàn)算法的基本思想教科書中例題的選取注意體現(xiàn)與已經(jīng)學過的內(nèi)容的聯(lián)系，比如一元二次方程、二元二次方程的解法過程，用二分法求方程的近似解，遞推數(shù)列求和等等。力求通過這樣的聯(lián)系使學生認識到算法思想的重要性，并逐步能夠應(yīng)用算法思想解決一些實際問題。3強調(diào)學生的實踐算法是實踐性很強的內(nèi)容，只有通過學生自己的親身實踐，讓學生親自去解決幾個算法設(shè)計的問題，才

11、能使學生體會算法的基本思想，學會一些基本邏輯結(jié)構(gòu)和語句。因此，在教科書編寫過程中，特別強調(diào)了通過實例讓學生體會和理解算法的含義，通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程，了解算法語言的基本構(gòu)成，理解幾種基本算法語句。四、對教學的幾個建議準確把握算法內(nèi)容的教學要求算法一方面具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有高度抽象性、概括性和精確性。對于一個具體算法而言，從算法分析到算法語言的實現(xiàn)，任何一個疏漏或錯誤都將導(dǎo)致算法的失敗。算法是思維的條理化、邏輯化。算法既重視“算則”，更重視“算理”。對于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據(jù)，即“算理”有

12、著更基本的作用，“算理”是“算則”的基礎(chǔ)，“算則”是“算理”的表現(xiàn)。算法思想可以貫穿于整個中學數(shù)學內(nèi)容之中，有豐富的層次遞進的素材，而在算法的具體實現(xiàn)上又可以和信息技術(shù)相聯(lián)系，因而，算法有利于培養(yǎng)學生理性精神和實踐能力，是實施探究性學習的良好素材。根據(jù)對算法的上述理解，以及“標準”對算法的定位，教學中應(yīng)當把體會算法的基本思想、提高學生邏輯思維能力作為重點，即教學過程中，應(yīng)當以教科書中提供的案例為載體，引導(dǎo)學生在設(shè)計程序框圖、將程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句的實踐中，體會算法的含義，學會如何用程序框圖表達解決問題的思路，而不要將本章內(nèi)容簡單處理成程序語言的學習和程序設(shè)計。2算法教學必須通過實例進行，應(yīng)盡量使用信息技術(shù)前已指出，算法的操作性很強，因此算法教學應(yīng)當強調(diào)學生的動手實踐。教學中應(yīng)當充分應(yīng)用教科書中提供的實例，使學生在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯結(jié)構(gòu)和算法語句。算法內(nèi)容是將數(shù)學中的算法與計算機技術(shù)建立聯(lián)系，形式化地表示算法。為了有條理地、清晰地表達算法，往往需要將解決問題的過程整理成程序框圖；為了能在計算機上實現(xiàn)，又要將自然語言或程序框圖翻譯成計算機語言。因此，如果能讓學生上機，算法設(shè)計的整個過程就可以得到完整的體現(xiàn)，學生可以及時看到自己設(shè)計的算法的可行性、有效性，這不但可以很好地激發(fā)學生的興趣，而且還能提高學習效果。因此