1、高中數(shù)學(xué)三角恒等式變形解題常用方法一.知識分析1. 三角函數(shù)恒等變形公式（1）兩角和與差公式（2）二倍角公式（3）三倍角公式（4）半角公式 （5）萬能公式， ， （6）積化和差，（7）和差化積，2. 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)3. 基礎(chǔ)知識疑點辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否統(tǒng)一成一個三角公式？ 實際上，正弦、余弦的和角公式包括它們的差角公式，因為在和角公式中，是一個任意角，可正可負。另外，公式雖然形式不同，結(jié)構(gòu)不同，但本質(zhì)相同：。（2）怎樣正確理解正切的和差角公式？ 正確理解正切的和差角公式需要把握以下三點： 推導(dǎo)正切和角公式的關(guān)鍵步驟是把公式，右邊的“分子”、“分母”都除以，從而“化弦為切”，導(dǎo)出了。公

2、式都適用于為任意角，但運用公式時，必須限定，都不等于。用代替，可把轉(zhuǎn)化為，其限制條件同。（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些應(yīng)用？ 不用計算器或查表，只通過筆算求得某些特殊角（例如15，75，105角等）的三角函數(shù)值。能由兩個單角的三角函數(shù)值，求得它們和差角的三角函數(shù)值；能由兩個單角的三角函數(shù)值與這兩個角的范圍，求得兩角和的大?。ㄗ⒁膺@兩個條件缺一不可）。能運用這些和（差）角公式以及其它有關(guān)公式證明三角恒等式或條件等式，化簡三角函數(shù)式，要注意公式可以正用，逆用和變用。運用這些公式可求得簡單三角函數(shù)式的最大值或最小值。（4）利用單角的三角函數(shù)表示半角的三角函數(shù)時應(yīng)注意什么？ 先用二倍角公式導(dǎo)

3、出，再把兩式的左邊、右邊分別相除，得到，由此得到的三個公式：， ，分別叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根號前的符號，由所在的象限來確定，如果沒有給出限制符號的條件，根號前面應(yīng)保持正、負兩個符號。另外，容易證明 。 4. 三角函數(shù)變換的方法總結(jié)三角學(xué)中，有關(guān)求值、化簡、證明以及解三角方程與解幾何問題等，都經(jīng)常涉及到運用三角變換的解題方法與技巧，而三角變換主要為三角恒等變換。三角恒等變換在整個初等數(shù)學(xué)中涉及面廣，是常用的解題工具，而且由于三角公式眾多，方法靈活多變，若能熟練掌握三角恒等變換的技巧，不但能加深對三角公式的記憶與內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且對發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)知識的綜合運用能

4、力都大有益處。下面通過例題的解題說明，對三角恒等變換的解題技巧作初步的探討研究。（1）變換函數(shù)名對于含同角的三角函數(shù)式，通常利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，通過“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途徑來減少或統(tǒng)一所需變換的式子中函數(shù)的種類，這就是變換函數(shù)名法它實質(zhì)上是“歸一”思想，通過同一和化歸以有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑。【例1】已知同時滿足和,且a、b均不為0，求a、b的關(guān)系。解析：已知顯然有：由cos2cos，得：2acos22bcos=0即有：acosb=0又 a0 所以，cosb/a 將代入得：a（a/b）2b（b/a）2a即a4b42a2b2 （a2b2）20即

5、ab點評：本例是“化弦”方法在解有關(guān)問題時的具體運用，主要利用切割弦之間的基本關(guān)系式。（2）變換角的形式對于含不同角的三角函數(shù)式，通常利用各種角之間的數(shù)值關(guān)系，將它們互相表示，改變原角的形式，從而運用有關(guān)的公式進行變形，這種方法主要是角的拆變它應(yīng)用廣泛，方式靈活，如可變?yōu)椋ǎ?可變?yōu)椋ǎǎ?可變?yōu)椋ǎ?可看作4的倍角；（45）可看成（902）的半角等等?！纠?】求sin（75）cos（45）cos（15）的值。解析：設(shè)15，則原式sin（60）cos （+30）cos（sincos60cossin60 ）（coscos30sinsin30）cossincoscossincos0點評：本

6、例選擇一個適當?shù)慕菫椤盎玖俊?，將其余的角變成某特殊角與這個“基本量”的和差關(guān)系，這也是角的拆變技巧之一?！纠?】已知sinsin（） （其中cosA），試證明：tan（）證明：已知條件可變?yōu)椋簊in（）sin （）所以有：sin （） coscos （） sinsin （） sin （）（ cos）cos （） sin tan（）點評：在變換中通常用到視“復(fù)角”為“單角”的整體思想方法，它往往是尋找解題突破的關(guān)鍵。（3）以式代值利用特殊角的三角函數(shù)值以及含有1的三角公式，將原式中的1或其他特殊值用式子代換，往往有助于問題得到簡便地解決。這其中以“1”的變換為最常見且最靈活。“1”可以看作是s

7、in2xcos2x,sec2xtan2x,csc2x cot2x，tanxcotx,secxcosx,tan45等，根據(jù)解題的需要，適時地將“1”作某種變形，常能獲得較理想的解題方法?！纠?】化簡：解析：原式 點評：1“”的正用、逆用在三角變換中應(yīng)用十分廣泛。（4）和積互化積與和差的互化往往可以使問題得到解決，升冪和降次實際上就是和積互化的特殊情形。這往往用到倍、半角公式?！纠?】解三角方程：sin2xsin22xsin23x解析：原方程變形為：（1cos2x）（1cos4x）（1cos6x）即：1cos6x cos2xcos4x2cos23x 2cos3x cosx得： cos3x sin2

8、x sinx 0解得：x或x（） 原方程的解集為x| x或x,點評：題中先降次后升冪，這種交錯使用的方法在解三角方程中時有出現(xiàn)，其目的是為了提取公因式。（5）添補法與代數(shù)恒等變換一樣，在三角變換中有時應(yīng)用添補法對原式作一定的添項裂項會使某些問題很便利地得以解決。將原式“配”上一個因子，同時除以這個式子也是添補法的一種特殊情形?！纠?】求證：證明：左邊 右邊 原式成立。點評：本例中采用“加一項再減去一項”，“乘一項再除以一項”的方法，其技巧性較強，目的都是為了便于分解因式進行約分化簡。（6）代數(shù)方法三角問題有時稍作置換，用各種代數(shù)方法對三角函數(shù)式作因式分解、等量置換等的變形，從而將三角問題轉(zhuǎn)換成

9、代數(shù)問題來解，而且更加簡捷。這其中有設(shè)元轉(zhuǎn)化、利用不等式等方法?！纠?】銳角、滿足條件，則下列結(jié)論中正確的是（）A.+ B. +C. + D. +解析：令sin,則有整理得：（ab）20即ab即：sin2cos2（，同為銳角）sincos，故應(yīng)選D。點評：本例用設(shè)元轉(zhuǎn)化法將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。換元法這種數(shù)學(xué)思想應(yīng)用十分廣泛，往往能收到簡捷解題的效果（7）數(shù)形結(jié)合有的三角變換問題蘊含著豐富的幾何直觀，此時若能以數(shù)思形，數(shù)形滲透，兩者交融，則可開辟解題捷徑。利用單位圓，構(gòu)造三角形，利用直線、曲線的方程等方法都是數(shù)形結(jié)合的思想?！纠?】已知：，求的值。解析：點，均在單位圓上。由已知條件知：AB的

10、中點坐標為（1/6,1/8），即直線過 定點C如下圖所示xOC據(jù)萬能公式得：點評：本題用和差化積公式也不難求得，但在三角問題中利用單位圓是常見的研究方法。數(shù)形結(jié)合方法在三角變換中應(yīng)用類型頗多，篇幅所限，僅舉一例，本文不贅。從六、七兩種方法可以看出，將代數(shù)、幾何與三角有機聯(lián)系起來，綜合運用，在解三角變換題中，不僅構(gòu)思精巧，過程簡易，趣味橫生，而且還溝通數(shù)學(xué)知識的縱橫關(guān)系，也有利于多向探求，廣泛滲透，提高和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。以上探討了三角變換中的七種變換思想和解題方法，在實際解題中這些方法是交織在一起的，混合于同一問題中靈活使用。掌握這些變換方法的前提是熟悉公式，善于公式的變形運用，同時注

11、意縱橫聯(lián)系數(shù)學(xué)知識用發(fā)散性的思維考慮問題。三角變換的技巧除了以上七個方面外，還有平方消元，萬能置換，利用正余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換，利用輔助角，借用復(fù)數(shù)表示等方法我們以后有機會再介紹。5. 非特殊角的化簡、求值問題的解題方法探究 非特殊角的化簡求值是給角求值中一類常見的三角求值類型，對于此類求值問題，由于涉及到的三角公式及其變形靈活多樣，因而如何利用三角公式迅速準確的求值應(yīng)是解決這類問題的重點，現(xiàn)在我們通過一個題目的解法探尋，體會非特殊角三角函數(shù)的求法?！绢}目】求的值。分析1：這是一道給角求值中非特殊角的化簡求值問題，仔細觀察可看出在所求式子中有一項是正切函數(shù)、一項是正弦函數(shù)，因此通常運用切割化弦

12、，然后通過通分化簡，使其化為特殊的三角函數(shù)值。解法1： 點評：通分以后，要將和式轉(zhuǎn)化為積式，需將拆項為，這是將和式轉(zhuǎn)化為積式中常用的變形手段，在將和差化積后要盡可能的出現(xiàn)特殊角特殊值，這樣才有可能使化簡得以進行下去。分析2：運用切割化弦，通過通分化簡后，若不考慮將和式轉(zhuǎn)化為積式，而是對角進行變換，觀察到運算的式子中出現(xiàn)的兩角為20，40，與特殊角比較則會有604020，變角后再應(yīng)用兩角差的正弦公式展開進行化簡。解法2： 分析3：我們在運用“切割化弦”時，若不利用商數(shù)關(guān)系，而是將 tan200利用半角公式 進行化弦，也能進行求值。解法3： 分析4：從以上路徑可以看出，而是一個特殊的三角函數(shù)值，考

13、慮它等于什么呢？，因而考慮可否會有，這樣問題就轉(zhuǎn)化為等式的驗證。解法4： 有點評：本路徑采用了綜合法，只進行等式 的驗證，問題就得以解決。分析5：利用倍角公式可得到，能否再對角進行適當?shù)淖儞Q，出現(xiàn)特殊角，我們發(fā)現(xiàn)4060一20，這樣變角后利用兩角差的正弦公式展開化簡，也能求值。解法5： 將等式可寫成 兩邊同除以得 點評：本題利用綜合法求得了的值，在這里首先進行角的變換，然后利用兩角差的正弦公式展開，合并同類項后，再進行弦化切割，從而得到所要求的值。以上我們探尋了不查表求非特珠角的三角函數(shù)的值的問題，對于這類問題，要從多方面考慮解決的方法，在這里我們是從三角函數(shù)的“變名”“變角”“變式”“切割化

14、弦”弦化切割”等方面而進行了三角恒等變形，這在以后的學(xué)習(xí)訓(xùn)練中要逐步體會掌握。【典型例題】例1. 化簡cos（）cos（），其中kZ。解析：解法一：原式cosk（）cosk（）coskcos（）sinksin（）coskcos（）sinksin（）2coskcos（），（kZ）當k為偶數(shù)時，原式2cos（）cossin當k為奇數(shù)時，原式2cos（）sincos總之，原式（1）k（cossin），kZ解法二：由（k）（k）2k，知cos（k）cos2k（k）cos（k）cos（k）原式2cos（k）2（1）kcos（）（1）k（cossin），其中kZ點評：原式cos（k）cos（k）cosk（

15、）cosk（）這就啟發(fā)我們用余弦的和（差）角公式。例2. 已知sin（），cos（），求的值。解析：解法一：由已知條件及正弦的和（差）角公式，解法二：（設(shè)未知數(shù)）令x解之得例3. 在中，求的值和的面積。解析：解法一：解方程組得，故。解法二：由及得，可得因為，所以，故，即解方程組得，故。（以下同解法一）解法三：因為，所以。又，故，（以下同解法一）例4. 解析：解法一：此題可利用降冪、積化和差、和差化積等公式進行恒等變形化簡。原式解法二：利用“整體配對”思想，構(gòu)造對偶式來解題設(shè)則兩式相加得即例5. （第5屆IMO試題）證明解析：設(shè)則或（舍去）【模擬試題】一、選擇題： 1. 已知的值為（ ）A. B

16、. C. D. 2. 的值為（ ）A. 0 B. C. D. 3. 的值為（ ）A. 1 B. C. D. 4. 的兩內(nèi)角A,B滿足，則此三角形的形狀為（ ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不能確定5. 已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 6. ,則的值為（ ）A. B. 1 C. D. 7. 若，則的值為（ ）A. B. C. D. 8. 函數(shù)的值域是（ ）A. B. C. D. 9. 已知等腰三角形頂角的余弦值等于，則這個三角形底角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 10. 等于（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2二、填空題11. 在中，已知

17、tanA ,tanB是方程的兩個實根，則12. 已知，則的值為13. 觀察下列各等式：，根據(jù)其共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式 。14. 已知直線，A是之間的一定點，并且A點到的距離分別為，B是直線上一動點，作ACAB，且使AC與直線交于點C，則面積的最小值為 。三、解答題：15. 化簡 16. 已知，求的值17. 證明：18. 知函數(shù)，求（1）函數(shù)的最小值及此時的的集合（2）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間（3）此函數(shù)的圖像可以由函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到19. 已知向量，。（1）當，且時，求的值（2）當，且時，求的值【試題答案】一、選擇題：1. C 2. B 3. D 4. C 5. A6. C 7.

18、 B 8. D 9. C 10. A二、填空題：11. 7 12. 13.14. 三、解答題：15. 解：原式16. 解： （2）（1）得 （2）（1）得 （4）（3）得17. 略18. 解：由 （1）當時，此時，由得（2）由得減區(qū)間為（3）其圖像可由的圖像向左平移個單位，再向上平移2個單位而得到。19.（1）由，得， （2）由得而所以關(guān)于簡單三角變換的問題1、同角的三角函數(shù)有三種關(guān)系：平方關(guān)系：sin2cos2=1；商式關(guān)系：；倒數(shù)關(guān)系：tancot=1它們的主要應(yīng)用有：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一個，求其他兩個；（2）化簡三角函數(shù)式；（3）證明簡單三角恒等式等同角三角函數(shù)變換

19、，要突出弦、切互化，同時要注意各種變換技巧，如“1”可以用“sin2cos2”代換等2、誘導(dǎo)公式有兩組，可概括為對k90(Z)的各三角函數(shù)值滿足規(guī)律“奇變偶不變，符號看象限”，即當k為偶數(shù)時，得的同名函數(shù)；當k為奇數(shù)時，得的余名函數(shù)；然后在前面加一個把看成銳角時原函數(shù)的符號在利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值時，不必拘泥于課本上列出的幾個步驟，可以結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，靈活使用3、三角函數(shù)的恒等變換中最基本、最常見的變換有：（1）公式變換：要注意正確理解公式中和、差、倍的相對性，抓住公式中角、函數(shù)、結(jié)構(gòu)的特點，靈活地對公式進行正向、逆向及變形使用；（2）角度變換：要善于分析角之間的和、差、倍、半的

20、關(guān)系，要特別注意能否產(chǎn)生特殊角，正確使用誘導(dǎo)公式及輔助角公式；（3）函數(shù)變換：弦切互化；（4）1的變換：如1= sin2cos2，1= tancot，等；（5）冪的變換：用公式來升、降冪4、三角恒等變換的基本題型有三種（1）求值：給角求值，其關(guān)鍵是正確分析角間的關(guān)系，準確地選用公式，將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或?qū)⒎翘厥饨堑娜呛瘮?shù)值相約或相消；給值求值，其關(guān)鍵是分析已知和待求式之間的角、函數(shù)、結(jié)構(gòu)的差異，有目的地消化；給值求角，其關(guān)鍵是先求出該角某一三角函數(shù)值，在對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解（2）化簡：未指明答案的恒等變形，應(yīng)把結(jié)果化為最簡形式；根據(jù)解題需要將三角函數(shù)式化為某種特定的形式，如一角一函數(shù)

21、形式，以便研究函數(shù)的各種性質(zhì)（3）證明：主要有兩種：無條件恒等式證明和條件恒等式證明5、在求值、化簡、證明中應(yīng)注意的問題有：（1）三角式化簡的目標項數(shù)盡可能少；三角函數(shù)種類盡可能少；角盡可能少、小；次數(shù)盡可能低；分母盡可能不含三角式；盡可能不帶根號；能求出值的要求出值（2）三角運算的基本原則異角化同角；（角分析法）常數(shù)的處理（特別注意“1”的代換）（3）幾個重要的三角變換思想sincos湊倍角公式；1cos升冪公式；1sin配方或化為1cos(/2)再升冪；asinbcos輔助角公式；tgtg兩角和與差的正切公式逆用三、例題講解：例1、求證：tan3Atan2AtanA=tan3Atan2At

22、anA證明：欲證等式即為tan3A(1tan2AtanA)=tan2AtanA，即根據(jù)正切的和角公式，結(jié)論成立小結(jié)：1、分析法“執(zhí)果索因”，便于尋找解題途徑，也是三角恒等式證明中的一種常用方法；2、本題可以推廣如下：若=，則tantantan=tantantan特殊地，若ABC是非直角三角形，則（1）tanAtanBtanC=tanAtanBtanC，（2）tannAtannBtannC=tannAtannBtannC例2、已知(a0)的定義域為0，值域為5，1，求常數(shù)a、b的值分析：觀察函數(shù)的特征，需將它化歸為形如y=Asin(x)B型三角函數(shù)求值域，特別注意此時x0，故首先要求出x的范圍并

23、進而求出sin(x)的取值范圍，同時注意系數(shù)A的符號解：（1）求得a=2，b=5（2）求得a=2，b=1例3、已知sin是sin和cos的等差中項，sin是sin和cos的等比中項，求證：cos44cos4=3證明：由已知條件得：2sin=sincos，sin2=sincos式平方得：4sin2=12sincos，式代入得：4 sin2=12sin2，即2cos2=cos2式平方得：4cos22=cos22，再降冪：2(1cos4)=(1cos4)，cos44cos4=3小結(jié)：在三角變換中，為了達到化繁為簡的目的，降冪應(yīng)該是最主要的手段，但在某些情況下，升冪也是必要的例4、已知 ，求：（1）x

24、22xyy2的最大值與最小值；（2）求3x4y的最大值與最小值分析：由已知條件的結(jié)構(gòu)特征：兩數(shù)的平方和為1，聯(lián)想到sin2cos2=1，由此可作三角代換，將上述問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最值問題因而本題考查三角函數(shù)作為工具被應(yīng)用的能力解：（2）例5、如圖所示，一條河寬1千米，兩岸各有一座城市A和B，A和B的直線距離是4千米，今需鋪設(shè)一條電纜線連結(jié)A與B已知地下電纜的修建費是2萬元/千米，水下電纜的修建費是4萬元/千米假定河兩岸是平行直線，問應(yīng)如何鋪設(shè)電纜方可使總施工費用最少分析：解決實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型此處有兩種選擇：一是建立函數(shù)模型，可以考慮以AD或DB為自變量，函數(shù)式易立，但最值難求；二是建立三角模型，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值，處理稍容易些解：設(shè)CAD=，由AC=1，AB=4，則依題意，設(shè)由A到B鋪設(shè)電纜的總費用為y，則答：水下電纜應(yīng)從距B城（）千米處向A城鋪設(shè)8.基本初等函數(shù)()及三角恒等變換同角三角函數(shù)關(guān)系式：(1)平方關(guān)系：sin2cos21,1tan2sec2，1cot2csc2；(2)倒數(shù)關(guān)系：sincsc1，cossec1，tancot1；(3)商數(shù)關(guān)系：tansin/cos，cotcos/sin.誘導(dǎo)公式的規(guī)律可簡記為：奇變偶不變，符號看象限。此外在應(yīng)用時，不論取什么值，我們始終視為銳角。否則，將導(dǎo)致錯誤。誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，