1、學(xué)點(diǎn)一,學(xué)點(diǎn)二,學(xué)點(diǎn)三,學(xué)點(diǎn)四,學(xué)點(diǎn)五,學(xué)點(diǎn)六,1.如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面 積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為 ， 簡稱為 . 2.在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：P(A)= . 3.均勻隨機(jī)數(shù) 均勻隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi), 產(chǎn)生的數(shù),并且得到 這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣.,幾何概率模型,幾何概型,隨機(jī),4.0,1間隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 在計(jì)算器中應(yīng)用 可連續(xù)產(chǎn)生0,1范圍內(nèi)的均勻 隨機(jī)數(shù).不同的計(jì)算器具體操作過程可能會(huì)不同. 5.隨機(jī)模擬法的應(yīng)用 隨機(jī)模擬法可用來求 （特別是 ） 的面積的近似值，或求 .,隨機(jī)函數(shù),某些特殊圖形,不規(guī)則圖形,某些量(如)

2、的近似值,學(xué)點(diǎn)一與長度有關(guān)的幾何概型的求法,【分析】本題考查與長度有關(guān)的幾何概型的求法.,某公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過(假設(shè)每一輛車帶走站上的所有乘客),乘客到達(dá)汽車站的時(shí)間是任意的,求乘客候車時(shí)間不超過3分鐘的概率.,【解析】這是一個(gè)幾何概型問題.記A=“候車時(shí)間不超過3分鐘”.以x表示乘客到車站的時(shí)刻,以t表示乘客到車站后來到的第一輛汽車的時(shí)刻,作圖3-4-3.據(jù)題意,乘客必然在t-5,t內(nèi)來到車站,故=x|t-5xt.,若乘客候車時(shí)間不超過3分鐘,必須t-3xt,所以A=x|t-3xt,據(jù)幾何概率公式得P(A)= =0.6.,【評(píng)析】(1)把所求問題歸結(jié)到x軸上的一個(gè)區(qū)間內(nèi)是解題的

3、關(guān)鍵,然后尋找事件A發(fā)生的區(qū)域,從而求得A. (2)本題也可這樣理解:乘客在時(shí)間段(0,5內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá),等待不超過3分鐘,則到達(dá)的時(shí)間在區(qū)間2,5內(nèi).,圖3-4-3,在兩端相距6 m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,則燈與兩端距離都大于2 m的概率是多少?,解:燈掛在繩子上的每一個(gè)位置都是一個(gè)基本事件,即整個(gè)區(qū)域的幾何度量為=6 m.記“燈與兩端距離都大于 2 m”為事件A,則把木桿三等分,當(dāng)繩子掛在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生,即A=2 m. 所以由幾何概型的概率公式,得P(A) .,學(xué)點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型的求法,1.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí),假定它們在 一晝夜的時(shí)間段

4、中隨機(jī)地到達(dá),試求這兩艘船中至少有 一艘在?？繒r(shí)必須等待的概率.,【分析】本題考查與面積有關(guān)的幾何概型的求法.,【解析】設(shè)A=兩艘船中至少有 一艘?？繒r(shí)等待.建立平面直角坐標(biāo) 系如圖3-4-4,x軸表示甲船到達(dá)的時(shí)間, y軸表示乙船到達(dá)的時(shí)間,則(x,y)表示 的所有結(jié)果是以24為邊長的正方形.,圖3-4-4,事件A發(fā)生的條件是0 x-y6或0y-x6,即圖中陰影部分,則=242,A=242-182. P(A)= , 即這兩艘船中至少有一艘在?？繒r(shí)必須等待的概率是.,【評(píng)析】(1)甲、乙兩船都是在054小時(shí)內(nèi)的任一時(shí)刻?？?故每一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)兩個(gè)時(shí)間;分別用x,y軸上的數(shù)表示,則每一個(gè)結(jié)果(x,

5、y)就對(duì)應(yīng)于圖中正方形內(nèi)的任一點(diǎn). (2)找出事件A發(fā)生的條件,并把它在圖中的區(qū)域找出來,分別計(jì)算面積即可. (3)這一類問題我們稱為約會(huì)問題.,2.設(shè)有一等邊三角形網(wǎng)格,其中各個(gè)最小等邊三角形的邊 長都是 cm,現(xiàn)用直徑等于2 cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格 上,求硬幣落下后與格線沒有公共點(diǎn)的概率.,【分析】考查幾何概型中與面積有關(guān)的問題.,【解析】記A=硬幣落下后與格線 沒有公共點(diǎn),如圖3-4-5所示,在等邊三 角形內(nèi)作小等邊三角形,使其三邊與原 等邊三角形三邊距離都為1,則等邊三角 形的邊長為 ,由幾何概 型得概率為兩三角形面積的比,即由概率,圖3-4-5,的公式得P(A)=,【評(píng)析】求出面積是

6、解題關(guān)鍵.,甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面,并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人一刻鐘,過時(shí)即可離去,求兩人能夠會(huì)面的概率.,解:按照約定,兩人在6點(diǎn)到7點(diǎn)之間任何時(shí)刻到達(dá)會(huì)面點(diǎn)是等可能的,因此是一個(gè)幾何概型,設(shè)甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)間為x,y,則|x-y|15是能夠會(huì)面的先決條件. 以x和y分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間,則兩人能夠會(huì)面的充要條件是|x-y|15.,在平面上建立直角坐標(biāo)系如圖,則(x,y) 的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形,而可能會(huì)面的時(shí)間用圖中的陰影部分表示.這是一個(gè)幾何概型問題,由等可能性知 P(A)= 答:甲、乙兩人能夠會(huì)面的概率是 .,學(xué)點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型的

7、求法,在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)取出10毫升,則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少?,【分析】本題考查與體積有關(guān)的幾何概型.,【解析】設(shè)A=取出10毫升種子,含有病種子,則= 1 000毫升,A=10毫升, P(A)= , 即取出種子中含麥銹病的種子的概率是0.01.,【評(píng)析】(1)病種子在這1升種子中的分布可以看作是隨機(jī)的,有無限個(gè)結(jié)果,并且是等可能的,是幾何概型.取得的10毫升種子可看作構(gòu)成事件的區(qū)域,1升種子可看作是試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域. (2)要注意使用“幾何概型”的條件.,如圖3-4-7所示,有一杯2升的水,其中含有一個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中

8、取出0.1升水,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.,解:設(shè)A=小杯水中含有這個(gè) 細(xì)菌.則=2升,A=0.1升, P(A)=,圖3-4-7,學(xué)點(diǎn)四與角度有關(guān)的幾何概型的求法,如圖3-4-8,在等腰RtABC中,過直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部作一射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,求AMAC的概率.,【分析】考查與角度有關(guān)的幾何 概型的求法.,圖3-4-8,【解析】在AB上取AC=AC,則 ACC= =67.5. 設(shè)A=在ACB內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,AMAC,則=90,A=67.5. P(A)=,【評(píng)析】(1)射線CM隨機(jī)地落在ACB內(nèi)部,故ACB為所有試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,當(dāng)射線CM落在ACC內(nèi)

9、部時(shí)AMAC,故ACC為構(gòu)成事件的區(qū)域. (2)事件區(qū)域是角域,可用角度刻畫.,若題目改為:在等腰RtABC中,在斜邊AB上取一點(diǎn)M,求AMAC的概率,答案一樣嗎?,解:在AB上截取AC=AC,AC = 設(shè)A=在斜邊AB上取一點(diǎn)M,AMAC,則 =AB,A= ,P(A)= 故不一樣.,學(xué)點(diǎn)五用隨機(jī)數(shù)模擬法估算幾何概率,取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,用隨機(jī)模擬法估算剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大?,【分析】在任意位置剪斷繩子,則剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍0,3內(nèi)的任意實(shí)數(shù),并且每一個(gè)實(shí)數(shù)被取到的可能性相等,因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果(即基本事件)對(duì)應(yīng)0,3上的均勻

10、隨機(jī)數(shù),其中1,2上的均勻隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)的距離在1,2內(nèi),也就是剪得兩段的長都不小于1 m,這樣取得的1,2內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)與0,3內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)之比就是事件A發(fā)生的頻率.,【解析】記事件A=剪得兩段的長都不小于1 m. (1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND. (2)經(jīng)過伸縮變換,a=a1*3. (3)統(tǒng)計(jì)出試驗(yàn)總次數(shù)N和1,2內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N1. (4)計(jì)算頻率fn(A)=N1/N即為概率P(A)的近似值.,【評(píng)析】用隨機(jī)模擬法估算幾何概率的關(guān)鍵是把事件A及基本事件空間對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍.,甲、乙兩輛貨車?？空九_(tái)卸貨的時(shí)間分別是6小時(shí)和4小

11、時(shí),用隨機(jī)模擬法估算有一輛貨車?？空九_(tái)時(shí)必須等待一段時(shí)間的概率.,解:記事件A“有一輛貨車?？空九_(tái)時(shí)必須等待一段時(shí)間”. (1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù),x1=RAND,y1=RAND.,(2)經(jīng)過伸縮變換,x=x1*24,y=y1*24得到兩組0,24上的均勻隨機(jī)數(shù). (3)統(tǒng)計(jì)出試驗(yàn)總次數(shù)N和滿足條件-4x-y6的點(diǎn)(x,y)的個(gè)數(shù)N1. (4)計(jì)算頻率fn(A)=,即為概率P(A)的近似值.,學(xué)點(diǎn)六用隨機(jī)數(shù)模擬法近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積,利用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算圖形(如圖3-4-9所示)中陰影部分的面積:y=x2+1與y=6所圍成區(qū)域的面積.,【分析】在坐標(biāo)系中

12、畫出矩形(x= ,x=- ,y=1和y=6所圍成的部分),用隨機(jī)模擬的方法可以得到陰影部分的面積的近似值.,圖3-4-9,【解析】(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0至1之間的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND; (2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=5*b1+1; (3)數(shù)出落在陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)N1,總試驗(yàn)次數(shù)為N,用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積為S= .多做幾次試驗(yàn),得到的面積會(huì)更精確.,【評(píng)析】要記住公式 .其中N為總的試驗(yàn)次數(shù),N1為落在不規(guī)則圖形內(nèi)的試驗(yàn)次數(shù).,利用隨機(jī)方法計(jì)算如圖3-4-10中陰影部分(曲線y=2x與x軸,x=1圍成的部分)的面積.,解:(

13、1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0,1上的均勻隨機(jī)數(shù),a1=RAND,b1=RAND. (2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一組-1,1上的均勻隨機(jī)數(shù)和一組0,2上的均勻隨機(jī)數(shù).,圖3-4-10,(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(滿足條件b2a的點(diǎn)(a,b)數(shù)). (4)計(jì)算頻率 ,即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值. (5)用幾何概率公式求得點(diǎn)落在陰影部分的概率為P= . . ,即為陰影部分面積的近似值.,(1)幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn):一是無限性,即在一次試驗(yàn)中,基本事件的個(gè)數(shù)可以是無限的;二是等可能性,即每一基本事件發(fā)生的可能性是均等的.因此,用幾何概型求解的概

14、率問題和古典概型的思路是相同的,同屬于“比例解法”.即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗(yàn)的基本事件空間所占總面積(總體積、長度)”之比來表示. (2)基本事件的“等可能性”的判斷很容易被忽略,從而導(dǎo)致各種錯(cuò)誤.,1.如何理解幾何概型?,2.隨機(jī)數(shù)是如何產(chǎn)生的?如何理解隨機(jī)模擬試驗(yàn)?,(1)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0,1上的均勻隨機(jī)數(shù)x1=RAND,然后利用伸縮和平移變換,x=x1*(b-a)+a,就可以得到a,b內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),試驗(yàn)的結(jié)果是a,b上的任何一個(gè)實(shí)數(shù),并且任何一個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能出現(xiàn)的. (2)隨機(jī)模擬試驗(yàn) 用頻率估計(jì)概率時(shí)

15、,需做大量的重復(fù)試驗(yàn),費(fèi)時(shí)費(fèi)力,并且有些試驗(yàn)具有破壞性,有些試驗(yàn)無法進(jìn)行,因而隨機(jī)模擬試驗(yàn)就成為一種重要的方法,它可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù).用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn),首先需要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可,以用隨機(jī)數(shù)來模擬試驗(yàn)結(jié)果的概率模型,也就是怎樣用隨機(jī)數(shù)刻畫影響隨機(jī)事件結(jié)果的量.我們可以從以下幾個(gè)方面考慮: 由影響隨機(jī)事件結(jié)果的量的個(gè)數(shù)確定需要產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)組數(shù).如長度型、角度型(一維)只用一組,面積型(二維)需要用兩組. 由所有基本事件總體(基本事件空間)對(duì)應(yīng)區(qū)域確定產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍. 由事件A發(fā)生的條件確定隨機(jī)數(shù)所應(yīng)滿足的關(guān)系式. (3)隨機(jī)模擬的基本思想是用頻率近似于概率,頻率可由試驗(yàn)獲得.,對(duì)于一個(gè)具體問題,能否應(yīng)用幾何概率公式計(jì)算事件的概率