1、第10練重應(yīng)用函數(shù)的實際應(yīng)用題型分析高考展望函數(shù)的實際應(yīng)用也是高考?？碱}型，特別是基本函數(shù)模型的應(yīng)用，在選擇題、填空題、解答題中都會出現(xiàn)，多以實際生活、常見的自然現(xiàn)象為背景，較新穎、靈活，解決此類問題時，應(yīng)從實際問題中分析涉及的數(shù)學(xué)知識，從而抽象出基本函數(shù)模型，然后利用基本函數(shù)的性質(zhì)或相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，使問題得以解決.體驗高考1.(2015課標(biāo)全國)如圖，長方形ABCD的邊AB2，BC1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記BOPx.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為()答案B解析由已知得，當(dāng)點P沿著邊BC運動，即0x時，PAPBtan x

2、；當(dāng)點P在CD邊上運動時，即x時，PAPB ，當(dāng)x時，PAPB2；當(dāng)點P在AD邊上運動時，即x時，PAPBtan x.從點P的運動過程可以看出，軌跡關(guān)于直線x對稱，且f()f()，且軌跡非線型，故選B.2.(2015四川)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是_小時.答案24解析由題意得e22k，e11k，x33時，ye33kb(e11k)3eb3eb19224.3.(2015上海)如圖，A，B，C三地有直道相通，

3、AB5千米，AC3千米，BC4千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從A地出發(fā)勻速前往B地，經(jīng)過t小時，他們之間的距離為f(t)(單位：千米).甲的路線是AB，速度為5千米/小時，乙的路線是ACB，速度為8千米/小時.乙到達(dá)B地后原地等待.設(shè)tt1時乙到達(dá)C地.(1)求t1與f(t1)的值；(2)已知警員的對講機的有效通話距離是3千米，當(dāng)t1t1時，求f(t)的表達(dá)式，并判斷f(t)在t1，1上的最大值是否超過3？說明理由.解(1)t1.記乙到C時甲所在地為D，則AD千米.在ACD中，CD2AC2AD22ACADcos A，所以f(t1)CD(千米).(2)甲到達(dá)B用時1小時；乙到達(dá)C用時小時，從A到B總用

4、時小時.當(dāng)t1t時，f(t)；當(dāng)t1時，f(t)55t，所以f(t)因為f(t)在上的最大值是f，f(t)在上的最大值是f，所以f(t)在上的最大值是，不超過3.4.(2015江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米.以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常

5、數(shù))模型.(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標(biāo)為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當(dāng)t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.解(1)由題意知，點M，N的坐標(biāo)分別為(5，40)，(20，2.5).將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點P的坐標(biāo)為，設(shè)在點P處的切線l分別交x，y軸于A，B點，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5，20.設(shè)g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當(dāng)t(5，10)時，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當(dāng)t(10，20)時，g(t)0，g(t)是增函數(shù).從而當(dāng)

6、t10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時f(t)min15.答當(dāng)t10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米.高考必會題型題型一基本函數(shù)模型的應(yīng)用例1某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億千瓦時.本年度計劃將電價調(diào)至0.55元0.75元之間，經(jīng)測算，若電價調(diào)至x元，則本年度新增用電量y(億千瓦時)與(x0.4)(元)成反比.又當(dāng)x0.65時，y0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每千瓦時電的成本價為0.3元，則電價調(diào)至多少時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%？收益用電量(實際電價成本價)解(1)y與(x0.4)成反比，設(shè)y(k0).把x

7、0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0.2.y，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y.(2)根據(jù)題意，得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120%).整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.經(jīng)檢驗x10.5，x20.6都是所列方程的根.x的取值范圍是0.550.75，故x0.5不符合題意，應(yīng)舍去.x0.6.當(dāng)電價調(diào)至0.6元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%.點評解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵在于讀題，讀題必須細(xì)心、耐心，從中分析出數(shù)學(xué)“元素”，確定該問題涉及的數(shù)學(xué)模型，一般程序如下：.變式訓(xùn)練1(1)(2015北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油

8、時的情況.加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()A.6升 B.8升 C.10升 D.12升(2)2015年“五一”期間某商人購進(jìn)一批家電，每臺進(jìn)價已按原價a扣去20%，他希望對貨物定一新價，以便每臺按新價讓利25%銷售后，仍可獲得售價20%的純利，則此商人經(jīng)營這種家電的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是_.答案(1)B(2)yx (xN*)解析(1)由表知，汽車行駛路程為35 60035 000600千米，耗油量為48

9、升，每100千米耗油量8升.(2)設(shè)每臺新價為b，則售價b(125%)，讓利b25%，由于原價為a，則進(jìn)價為a(120%)，根據(jù)題意，得每件家電利潤為b(125%)20%b(125%)a(120%)，化簡得ba.yb25%xa25%xx (xN*)，即yx(xN*).題型二分段函數(shù)模型的應(yīng)用例2已知美國某手機品牌公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元.設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的

10、利潤最大？并求出最大利潤.解(1)當(dāng)040時，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W(2)當(dāng)040時，W16x7 360，由于16x2 1 600，當(dāng)且僅當(dāng)16x，即x50(40，)時，取等號，所以此時W有最大值5 760.因為6 1045 760，所以當(dāng)x32時，W取得最大值6 104萬元.點評函數(shù)有關(guān)應(yīng)用題的常見類型及解題關(guān)鍵(1)常見類型：與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價、 路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題.(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答.變式訓(xùn)練2某市

11、出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元.現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了_ km.答案9解析設(shè)出租車行駛x km時，付費y元，則y由y22.6，解得x9.高考題型精練1.某位股民購進(jìn)某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A.略有盈利 B.略有虧損C.沒有盈利也沒有

12、虧損 D.無法判斷盈虧情況答案B解析設(shè)該股民購進(jìn)這支股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(110%)na1.1n元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa)以及實數(shù)x(0x1)確定實際銷售價格cax(ba).這里，x被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中項.據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于_.答案解析依題意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，兩邊同除以(ba)2，得x2x10，解得x.0x1，x.10.某公司生產(chǎn)的商品A每件

13、售價為5元時，年銷售10萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷量相應(yīng)減少1萬件，要使銷售收入不低于原銷售收入，該商品的銷售價格最多提高多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，公司決定對該商品的生產(chǎn)進(jìn)行技術(shù)革新，將技術(shù)革新后生產(chǎn)的商品售價提高到每件x元，公司擬投入(x2x)萬元作為技改費用，投入萬元作為宣傳費用.試問：技術(shù)革新后生產(chǎn)的該商品銷售量m至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使技術(shù)革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和？解(1)設(shè)商品的銷售價格提高a元，則(10a)(5a)50，即0a5，所以商品的價格最多可以提高5元.(2)由題意知改革后的銷售收入為mx萬元，若改革后的銷售收入等

14、于原銷售收入與總投入總和，只需要滿足mx(x2x)50(x5)，即mx2 ，當(dāng)且僅當(dāng)x10時等號成立.故銷售量至少應(yīng)達(dá)到萬件時，才能使改革后的銷售收入等于原銷售收入與總投入之和.11.某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O的兩條直線段圍成，按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為(弧度).(1)求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知在花壇的邊緣(實線部分)進(jìn)行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米.設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式

15、，并求出x為何值時，y取得最大值？解(1)設(shè)扇環(huán)的圓心角為，則30(10x)2(10x)，所以(0x10).(2)花壇的面積為(102x2)(5x)(10x)x25x50(0x10)，裝飾總費用為9(10x)8(10x)17010x，所以花壇的面積與裝飾總費用的比y，令t17x，則y，當(dāng)且僅當(dāng)t18時取等號，此時x1，.綜上，當(dāng)x1時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大.12.在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息).在甲提供的資料中：這種消費品的進(jìn)價為每件14元；該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關(guān)系如圖所示；每月需各種開支2 000元.(