1、,1、設(shè),求 An 2An-1 (n2)。,解：An 2An-1 =(A-2E )An-1,=0,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,2、設(shè)n 維向量 =(a , 0 , , 0 , a)T(a0),其中A的逆矩陣為B，求a的值。,A=E-T , B=E-T/a ,解：AB=E+(1-1/a-2a)T,AB=E 1-1/a-2a =0,a=-1/2,( a =1舍去),線性代數(shù)習(xí)題課（一）,3、設(shè)A與A+E均可逆，G=E-(A+E)-1 ,求 G-1。,G =E-(A+E)-1,=A(A+E) -1,G -1=(A(A+E) -1)-1=(A+E)A-1,=(A+E)(A+E) -1-(A+E)-1,由A與

2、A+E均可逆可知G也可逆，且,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,4、設(shè)四階矩陣A=( , r2, r3, r4), B=(, r2, r3, r4),|A+B|=|+，2r2, 2r3, 2r4|,=8(|A|+|B|),=40,其中，r2, r3, r4均為4維向量，,且已知|A|=4 , |B|=1 , 求|A+B|。,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,5、設(shè),且 AX=A+2X, 求矩陣X.,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,解: 因?yàn)?AX=A+2X,所以(A2E)X=A,而,又,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,所以,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,6、設(shè),求 An,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,解：設(shè) A=E+H，,Hn=0(n3),，,H=,則

3、H2=,其中,故 An=(E+H)n,= n E +n-1H+n-2H2,=,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,7、設(shè)矩陣,且r(A)=2，求 和 的值。,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,解：A,又 r(A)=2,故 = 5 , = -1,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,8、多項(xiàng)式 ,求f(x)中常數(shù)項(xiàng)的值。,解：觀察f(x)的結(jié)構(gòu)可知，常數(shù)項(xiàng)的值為,d =-1(-1)1+23(-1)2+3(2-3),=3,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,9、設(shè) ,求A2014。,解：注意到A3=-E , A6=E，,故 A2014=(A6)335A3A,=-A,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,10、計(jì)算行列式,解：,=24,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,11、設(shè)n階

4、矩陣A的伴隨矩陣為A*,(1) 若| A | = 0, 則| A* | = 0;,證明:,(2) |A*| = | A | n1.,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,證(1): 當(dāng)A = 0時(shí),則 | A |的所有代數(shù)余子式,從而A* = 0, 故| A* | = 0.,當(dāng) A O且| A | = 0時(shí), 用反證法證明.,假設(shè)| A* | 0, 則有A*(A*)1 = E,故,A = AE = AA*(A*)1 = AA*(A*)1,= | A |E(A*)1 = O,這與A 0矛盾,故當(dāng)| A | = 0時(shí), | A* | = 0.,均為0,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,(2) 當(dāng)| A | = 0時(shí), 則由(

5、1)得| A* | = 0,從而| A* | = | A |n1成立.,當(dāng)| A | 0時(shí), 由 AA* = | A | E 得,| A | | A* | = | AA* | = | A | E | = | A |n,由| A | 0得, | A* | = | A |n1.,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,12、設(shè)A為可逆矩陣，證明其伴隨矩陣A*也是,證: A為可逆矩陣，則|A* |=|A|n-10，,故A*是可逆的。,又 A*=|A|A-1，,故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1,=|A-1|A,顯然 A*(A-1)*=E，,故(A*)=(A-1)*。,可逆的，且(A*)=(A-1)*。,線性代數(shù)

6、習(xí)題課（一）,13、設(shè)矩陣A,B滿足A*BA=2BA-E,其中,A=diag(1,-2,1), A*為A的伴隨矩陣，求矩陣B,解:|A|=-2,故A可逆，且 A-1=diag(1,-1/2,1),又 A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2),故2(E+A-1)BA=E , 即B=(E+A-1)-1A-1/2,故B=diag(-1,1/2,-1),又 (E+A-1)-1=diag(-1 , 1/2 , -1),線性代數(shù)習(xí)題課（一）,14、設(shè)n階矩陣 A、B、A+B可逆，,試證明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩陣。,證明：,A+B=A(A-1+B-1)B,|A+B|=|A|A-1

7、+B-1|B|,又因?yàn)?A、B、A+B可逆，,故A、B、A+B的行列式不為零。,故A-1+B-1的行列式不為零，,即A-1+B-1為可逆矩陣。,又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,15、設(shè)行列式 ，,解：,=34,第三行各元素余子式之和。,顯然 M31+M32+M33+M34 =D,=34,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,16、設(shè)1=(1 , 1 , 1)T, 2=(1 , 2 , 3)T, 1=(1 , 3 , t)T,(1)問t為何值時(shí)，向量組1、2、3線性無關(guān)？,(2)問t為何值時(shí)，向量組1、2、3線性

8、相關(guān)？,線性相關(guān)時(shí)，將3 由1、2線性表出。,解：(1, 2, 1)=,故t=5時(shí)，向量組1、2、3線性相關(guān)，,且 3=-1+22,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,17、設(shè)1=m1+32+3 , 2=21+(m+1)2+3 ,3=-21-(m+1)2+(m-1)3 ,其中向量組1、2、3線性無關(guān)，,試討論向量組1、2、3線性相關(guān)性。,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,解：,(1 2 3)=,(1 2 3),=m(m-2)(m+1),故m=0 ,否則向量組線性無關(guān)。,或m=-1 ,或m=2,時(shí)向量組線性相關(guān)。,1、設(shè)A為n階方陣，A*為其伴隨矩陣，,det,(-1)n3,det(A)=1/3 , 則,線性代數(shù)習(xí)題課（

9、一）,2、設(shè)三階方陣A0，B= ,且AB=0，則t =,4,解：設(shè)A=(1 , 2 ,3) , 則,AB=(1+22+33 ,31+42+53 , 51+t2+33),由于AB=0，則B的列向量為AX=0的解,又三階方陣A0，故AX=0至多有兩個(gè),線性無關(guān)的解向量,即r(B)2。,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,3、若n階矩陣A滿足方程,A2+2A+3E=0,則 A-1=,4、設(shè)A為三階矩陣，且|A| = 1,則 |2A-1 +3A* |=,53=125,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,5、設(shè)A= ,則 An=,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,設(shè)A= ,則 An=,A2n+1=,A2n=,6、設(shè)A= ,則 A-1=,7、設(shè)

10、 =(a1 , a2 , ,an) 0, =(b1 , b2 , , bn) 0,且A=T ，則 r(A)=,1,r(AB)minr(A) , r(B),線性代數(shù)習(xí)題課（一）,設(shè)A= ,則 A-1=,8、設(shè)A為4階方陣,則r(A*)=,1,r(A*)=,n, 若r(A)=n,1, 若r(A)=n-1,0, 若r(A)n-2,(2)若矩陣A的秩r(A)=2，,A*為A的伴隨矩陣，,則r(A*)=,0,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,(1)若矩陣A的秩r(A)=3，,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,9、設(shè)A為43矩陣，且r(A)=2, 而,B= ,則 r(AB)=,2,10、設(shè)A= ,且r(A)=3,則 k =,-3

11、,11、設(shè)三階矩陣A= , B= ,且|A|=2 , |B|=3, 則|3A|=,|A+B|= ,|A-B|=,|AT+BT|=,54,20,0,20,線性代數(shù)習(xí)題課（一）,作 業(yè) 題 答 案,1、設(shè)矩陣,則(1)A+B=,2A-3C=,B-C=,(2)若矩陣X滿足A+2X=C ,則X =(C-A)/2=,(3) 若矩陣Y滿足(2A+Y)+3(B-Y)=0 ,則Y=(2A+3B)/2 =,(4) 若矩陣X、Y滿足3X-Y=2A , X+Y=B ,則X=(2A+B)/4 =,則Y=(3B-2A)/4 =,作 業(yè) 題 答 案,2、 設(shè)矩陣A= ,B=,則ABT=,=,作 業(yè) 題 答 案,線性代數(shù)習(xí)

12、題課（一）,3、用初等變換將矩陣A化成階梯形矩陣、,行最簡形矩陣、及標(biāo)準(zhǔn)型 。,A=,作 業(yè) 題 答 案,作 業(yè) 題 答 案,4、求A的逆矩陣,(AE)=,作 業(yè) 題 答 案,5、解矩陣方程:,(AB)=,(AX=B),X=,作 業(yè) 題 答 案,6、解矩陣方程:,(AXB=C),=,A=E(r1, r2)=A-1,B=E(r2 , r3)=B-1,X=A-1CB-1=,E(r1, r2),E(r2 , r3),作 業(yè) 題 答 案,7、設(shè)矩陣A、B滿足AB=2B+A,且A=,解、有題設(shè)可知：(A-2E)B=A,(A-2E A)=,B=,8、計(jì)算行列式,=64,作 業(yè) 題 答 案,作 業(yè) 題 答

13、案,9、求矩陣A的伴隨矩陣及逆矩陣。,矩陣A的代數(shù)余子式為：,A11=2,A21=-1,A31=-1,A12=-6,A22=0,A32=2,A13=2,A23=1,A33=-1,A的伴隨矩陣為：,矩陣A行列式：,|A|=-2,A的逆矩陣為：,作 業(yè) 題 答 案,10、設(shè) A=,則 A,若r( A)=1,則 k=1;,若r( A)=2,則 k=-2;,若r( A)=3,則 k1 , k-2.,作 業(yè) 題 答 案,11、設(shè) A=,則 A,若r( A)=2 , 則,=,=,故 a=5 , b=1,第二章 n維列向量,12.已知向量組,1=(1 , 1 , 1 , 2),2=(3 , 1 , 2 , 5),3=(2 , 0 , 1 , 3),4=(1 , -1 , 0 , 1),(2)求出該向量組所有的極大無關(guān)組；,(1)求該向量組的秩；,(3)確定一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量,5=(4 , 2 , 3 , 7),用該極大無關(guān)組線性表出,復(fù) 習(xí),第二章 n維列向量,解：,(1T,2T,3T,4T , 5T)=,極大無關(guān)組為：,且3 =-1+2，,4 =-21+2 ,1 , 2 ；,1 , 3 ；,