1、第2課時(shí) 數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式,1.會(huì)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決簡(jiǎn)單的數(shù)列問(wèn)題. 2.體會(huì)遞推公式是數(shù)列的一種表示法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng). 3.掌握由一些簡(jiǎn)單的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法.,數(shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng)) 開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)_(或前幾項(xiàng))(n2，nN*) 間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè) 數(shù)列的遞推公式.,an-1,1.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，an=2an-1+1(n2)，則a5=() A.7B.15C.20D.31 【解析】選D.因?yàn)閍1=1，an=2an-1+1(n2)，所以a2=3

2、，a3=7，a4=15，所以a5=2a4+1=31.,2.數(shù)列an中，a1=-1，an+1=an-2，則a3=. 【解析】因a1=-1，an+1=an-2. 所以a2=-1-2=-3，a3=a2-2=-3-2=-5. 答案：-5,3.數(shù)列an中a1=3，an+1=an+4，則它的第5項(xiàng)是 . 【解析】a1=3，an+1=an+4，則a2=7，a3=11，a4=15，a5=19. 答案：19,數(shù)列的遞推公式 已知一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1=a，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于它的前一項(xiàng)的b倍再加c，即an=ban-1+c，該式子體現(xiàn)了相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，稱(chēng)之為數(shù)列的遞推公式，結(jié)合該定義探究下面的問(wèn)題：,探究1：

3、根據(jù)數(shù)列的遞推公式如何求數(shù)列中的項(xiàng)？ 提示：根據(jù)數(shù)列的遞推公式，只需將初始值代入遞推公式，就可依次求出數(shù)列中的其他項(xiàng).,探究2：若僅由數(shù)列an的遞推關(guān)系an=ban-1+c(n2，nN*)，能否確定數(shù)列an的每一項(xiàng)？ 提示：僅由數(shù)列an的遞推關(guān)系an=ban-1+c(n2，nN*)，只能確定數(shù)列an中相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，而無(wú)法確定數(shù)列中的每一項(xiàng).而要想確定數(shù)列中的每一項(xiàng)，還需知道數(shù)列的第一項(xiàng)或前幾項(xiàng).,探究3：數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式能否互相轉(zhuǎn)化？ 提示：數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式一般可以相互轉(zhuǎn)化.但有些遞推公式求不出通項(xiàng)公式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式并不一定能互相轉(zhuǎn)化.,【探究總結(jié)】數(shù)列遞推

4、公式與通項(xiàng)公式的區(qū)別與聯(lián)系,類(lèi)型一數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用 1.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n，則數(shù)列an各項(xiàng)中最小項(xiàng)是() A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng) 2.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4(nN*)，問(wèn)： (1)數(shù)列中有多少項(xiàng)為負(fù)數(shù)？ (2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.,【解題指南】1.用函數(shù)的觀點(diǎn)看待通項(xiàng)公式，是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，越接近對(duì)稱(chēng)軸的函數(shù)值越小. 2.數(shù)列的通項(xiàng)公式an與n是函數(shù)關(guān)系，本題為二次式，需結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)探求，當(dāng)然不能忘記n的取值范圍.,【自主解答】1.選B.由an=3n2-28n= 又n為正整數(shù)，故當(dāng)n=5時(shí)an取最小值. 2.

5、(1)由an為負(fù)數(shù)，得n2-5n+40，解得1n4. 因?yàn)閚N*，所以n=2，3.故數(shù)列有兩項(xiàng)為負(fù)數(shù). (2)因?yàn)閍n=n2-5n+4= ，所以對(duì)稱(chēng)軸為n= =2.5. 又因nN*，故n=2或3時(shí)，an有最小值. 其最小值為22-52+4=-2.,【規(guī)律總結(jié)】數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的求法 (1)利用單調(diào)性，確定n的取值或范圍，從而確定最大或最小項(xiàng). (2)通過(guò)解不等式組 (nN*，n1)求出最大項(xiàng)是第幾 項(xiàng)；通過(guò) (nN*，n1)求出最小項(xiàng)是第幾項(xiàng).,【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 則當(dāng)an取得最大值時(shí)，n等于. 【解析】由題意知 所以 解得 所以n=5或6. 答案：5或6,類(lèi)型二由遞推公式

6、求數(shù)列的項(xiàng) 1.根據(jù)框圖，建立所打印數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的前5項(xiàng)為.,2.數(shù)列an中，a1=1，對(duì)所有的n2都有a1a2a3 an=n2，則a3+a5等于() A.B.C.D. 3.已知數(shù)列an中，a1=1，an+3an+3，an+2an+2，求a2013.,【解題指南】1.閱讀框圖，得到遞推公式，求出前5項(xiàng). 2.根據(jù)已知，寫(xiě)出a1a2an-1=(n-1)2，可以求出an. 3.利用遞推關(guān)系推導(dǎo)2013a20132013.,【自主解答】1.根據(jù)框圖，數(shù)列的遞推公式為 數(shù)列的前5項(xiàng)依次為：1， 答案：1，,2.選A.因?yàn)閍1a2an=n2， 所以a1a2an-1=(n-1)2， 所以an= (

7、n2)， 所以 所以,3.由an+2an+2得 a2013a2011+2a2009+22a1+21006=2013， 由an+2an+2得anan+2-2， 又an+3an+3得an+3an+3an+2+1，于是 a2013a2012+1a2011+21a2010+31a2009+41a1+20121=2013，所以a2013=2013.,【規(guī)律總結(jié)】已知遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)的方法 根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，這類(lèi)問(wèn)題要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可.若數(shù)列前幾項(xiàng)各項(xiàng)間規(guī)律明顯，可歸納出一個(gè)通項(xiàng)公式，然后再代入通項(xiàng)公式求數(shù)列中的每一項(xiàng).,【變式訓(xùn)練】(2014巢湖高二檢測(cè))在各項(xiàng)均

8、為正數(shù)的數(shù)列 an中，任意m，nN*都有am+n=aman.若a6=64，則a9等于 () A.256B.510C.512D.1024,【解析】選C.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an中， 對(duì)任意m，nN*都有am+n=aman. 所以a12=a6a6=642， 又a6=a3a3，所以a3=8， 所以a12=a9a3，解得a9= =512.,類(lèi)型三利用遞推公式研究數(shù)列 1.已知an中，a1=1， 則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是() A.an=2nB.an= C.an=D.an=,2.已知數(shù)列an滿(mǎn)足：a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 (n2)，則an的通項(xiàng)an= 3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1

9、=2，an+1=2an，寫(xiě)出數(shù)列的前4項(xiàng)，猜 想數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明.,【解題指南】1.寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察得出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 2.利用方程進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化找數(shù)列an的項(xiàng)an與前一項(xiàng)an-1之間的關(guān)系. 3.根據(jù)遞推公式可以逐個(gè)寫(xiě)出前4項(xiàng)，用累乘法證明.,【自主解答】1.選C.a1=1，a2= ，a3= ，a4= ， 觀察得an= 2.由已知得：an=a1+2a2+(n-2)an-2+(n-1)an-1(n2)， an-1=a1+2a2+(n-2)an-2(n3). 兩式相減得：an-an-1=(n-1)an-1(n3)， 所以an=nan-1，即 =n(n3)，,所以 =345(n-1)n， 所以 (n3). 又因?yàn)閍1=1，a2=a1=1，所以an= (n2). 答案：,3.由a1=2，an+1=2an，得 a2=2a1=4=22，a3=2a2=222=23，a4=2a3=223=24， 猜想an=2n(nN*). 證明如下： 由a1=2，an+1=2an， 得 所以 =2222=2n.,【規(guī)律總結(jié)】由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的兩種方法 (1)觀察歸納法： 根據(jù)遞推公式，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)； 通過(guò)前幾項(xiàng)觀察哪些因素隨項(xiàng)數(shù)n的變化而變化，哪些因素不變，初步歸納出公式； 取n的特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷得到的通項(xiàng)公式是否正確.,(2)遞推公式法： 觀察數(shù)列相鄰兩項(xiàng)間的遞推關(guān)