1、第二章平面向量 2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念,【知識提煉】 1.向量 既有_，又有_的量. 2.有向線段 帶有_的線段，它包含三個(gè)要素：_、方向、長度.,大小,方向,方向,起點(diǎn),3.向量的表示法 (1)幾何表示：用_表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的_(或稱模)，記作_. (2)字母表示：通常在印刷時(shí)，用黑體小寫字母a，b，c，表示向量，書寫時(shí)，可寫成帶箭頭的小寫字母 ，.還可以用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的向量記為 .,有向線段,長度,4.幾種特殊的向量 (1)零向量：長度為_的向量，記作_. (2)單位向量：長度等于_的

2、向量叫做單位向量. (3)相等向量：長度_且方向_的向量. (4)平行向量：方向_的非零向量，如果向量a和b平行，記作_；規(guī)定零向量與任意向量_.,0,0,1,相等,相同,相同或相反,ab,平行,【即時(shí)小測】 1.思考下列問題. (1)向量 與向量 是相等向量嗎？ 提示：不是.向量 與向量 的方向相反不是相等向量. (2)兩個(gè)向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在的直線一定平行嗎？ 提示：不一定.兩個(gè)向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在的直線平行或重合.,2.有下列物理量：質(zhì)量；溫度；角度；彈力；風(fēng)速. 其中可以看成是向量的個(gè)數(shù)() A.1B.2C.3D.4 【解析】選B.因?yàn)橘|(zhì)量、溫度、角度只有大

3、小，沒有方向，所以他們不是向量，而彈力、風(fēng)速既有大小，又有方向，所以它們可以看成向量.,3.已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是() A.也可以用 表示 B.方向是由M指向N C.始點(diǎn)是M D.終點(diǎn)是M 【解析】選D.終點(diǎn)是N而不是M.,4.如圖，以1cm3 cm方格紙中的格點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，則以A為始點(diǎn)，可以寫出_個(gè)不同的向量.,【解析】由圖可知，以A為始點(diǎn)的向量有 共有7個(gè). 答案：7,【知識探究】 知識點(diǎn)1 向量的物理背景及概念 觀察圖形，回答下列問題： 問題1：上面圖中的兩種力有何特點(diǎn)？你還能舉出物理學(xué)中力的一些實(shí)例嗎？ 問題2：這樣的量與數(shù)量有怎樣的區(qū)別，與有向線段有何區(qū)

4、別？,【總結(jié)提升】 1.理解向量概念應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn) (1)本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移. (2)判斷一個(gè)向量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)因素. (3)向量與向量之間不能比較大小.,2.向量與有向線段的區(qū)別 (1)向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān).只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相等的向量. (2)有向線段是表示向量的工具，它有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.,【拓展延伸】向量與數(shù)量的區(qū)別和聯(lián)系,知識點(diǎn)2 向量與向量的關(guān)系 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題： 問題1：兩個(gè)向量的長

5、度相等，這兩個(gè)向量就是相等向量嗎？與已知向量相等的向量是唯一的嗎？ 問題2：平行向量與共線向量的含義一樣嗎？,【總結(jié)提升】 1.對平行向量、相等向量概念的理解 (1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行，即對任意的向量a，都有0a，這里注意概念中提到的“非零向量”. (2)對于任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).在平面上，兩個(gè)長度相等且指向一致的有向線段表示同一個(gè)向量，因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定的. (3)相等向量是平行(共線)向量，但平行(共線)向量不一定是相等向量.,2.平行向量與共線向量的含義 (1)平行向量與共線

6、向量是同一概念的不同名稱，根據(jù)定義可知，平行(共線)所在的直線可以平行，也可以重合. (2)共線向量所在的直線可以平行，與平面幾何中的“共線”含義不同. (3)平行向量可以在同一條直線上，與平面幾何中“直線平行”不同，平面中兩直線平行是指兩直線沒有公共點(diǎn).,【題型探究】 類型一 向量的概念、零向量、單位向量 【典例】1.下列各量中是向量的是() A.時(shí)間B.加速度C.面積D.長度,2.給出下列說法 零向量是沒有方向的； 零向量的長度為0； 零向量的方向是任意的； 單位向量的模都相等； 由于0方向不確定，故0不能與任一向量平行； 其中正確的是_(填上序號).,【解題探究】1.向量的特征是什么？

7、提示：既有大小又有方向. 2.零向量和單位向量的特征是什么？零向量的方向是怎么規(guī)定的？ 提示：零向量的長度為0.單位向量的長度為1.零向量的方向是任意的.,【解析】1.選B.加速度是既有大小又有方向的量，是向量.而時(shí)間，面積，長度是只有大小的量，是數(shù)量. 2.由零向量的方向是任意的，知錯(cuò)誤，正確；由零向量的定義知正確；由單位向量的模1，知正確.依據(jù)規(guī)定：0與任一向量平行，錯(cuò)誤. 答案：,【方法技巧】 1.判斷一個(gè)量是否為向量的兩個(gè)關(guān)鍵條件 關(guān)鍵看它是否具備向量的兩要素：(1)有大小.(2)有方向.兩個(gè)條件缺一不可. 2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量

8、都相等. (2)單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.,【變式訓(xùn)練】(2015邢臺高一模擬)汽車以100km/h的速度向東行駛 2 h，而摩托車以50 km/h的速度向南行駛2 h.則關(guān)于下列說法：汽車的速度大于摩托車的速度，汽車的位移大于摩托車的位移，汽車行駛的路程大于摩托車行駛的路程.其中正確的個(gè)數(shù)是() A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 【解析】選B.向量不能比較大小，速度、位移是向量.數(shù)量可以比較大小，所以只有正確.,類型二 相等向量與共線向量 【典例】1.給出下列說法 若向量a與b同向，且|a|b|，則ab； 若|a|=|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反； 若ab，則a

9、=b 若ab，則a與b不是共線向量. 向量a與b不共線，則a與b都是非零向量. 其中錯(cuò)誤的說法是_.,2.如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且 (1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)與a共線的向量有哪些？ (3)請一一列出與a，b，c相等的向量.,【解題探究】1.兩個(gè)向量能否比較大小？相等向量與共線向量有怎樣的關(guān)系？ 提示：兩個(gè)向量不能比較大小；相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量. 2.典例2中的正六邊形的對邊有哪些性質(zhì)？表示共線向量的有向線段所在直線有什么位置關(guān)系？ 提示：正六邊形的對邊平行且相等；表示共線向量的有向線段所在直線平行或重合.,【解析】1.

10、不正確因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小 不正確由|a|=|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們方向的關(guān)系 不正確，ab，則向量a與b方向不一定相同，模也不一定相等，無法得到a=b. 不正確，若ab則a與b?？赡懿幌嗟鹊较蚩赡芟嗤?，所以有可能是共線向量.,正確，若向量a與b有一個(gè)為零向量，則a與b一定共線，所以a與b不共線時(shí)，一定有a與b都是非零向量. 答案：,2.(1)與a的長度相等、方向相反的向量有 (2)與a共線的向量有 (3)與a相等的向量有 ；與b相等的向量有 ；與c相等的向量有,【延伸探究】 1.(改變問法)本例2中條件不變，試寫出與向量 相等的

11、向量. 【解析】與向量 相等的向量有,2.(變換條件)本例2中，若|a|=1，則正六邊形的邊長如何？ 【解析】由正六邊形性質(zhì)知，F(xiàn)OA為等邊三角形，所以邊長AF=|a|=1.,【方法技巧】相等向量與共線向量的探求方法 (1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線. (2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在下列說法中，正確的是() A.兩個(gè)有公共起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同 B.模為0的向量與任一非零向量平行 C.向量

12、就是有向線段 D.兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量 【解析】選B.在選項(xiàng)A中，因?yàn)橄蛄康姆较蚝烷L度未知，所以向量的終點(diǎn)也未必相同；在選項(xiàng)C中，向量與有向線段是兩個(gè)不同的概念；在選項(xiàng)D中，這兩個(gè)向量的起點(diǎn)沒有確定，故無法判斷它們是否共線.,2.如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形 (1)寫出與向量 相等的向量. (2)寫出與向量 共線的向量,【解析】(1) 與向量 相等的向量有 (2)與向量 共線的向量,類型三 向量的幾何表示及應(yīng)用 【典例】1.如圖所示，已知AD=3，B，C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，長度大于1的向量的個(gè)數(shù)為() A.3B.4C.5D.6

13、,2.(2015渭南高一檢測)一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100千米到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50走了200千米到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)D點(diǎn) (1)作出向量 ；(2)求| |.,【解題探究】1.典例1中長度大于1的向量的模應(yīng)為多少？ 提示：長度大于1的向量的模為2或3. 2.典例2中畫平面向量的關(guān)鍵是什么？與 相等的向量是哪個(gè)向量？ 提示：畫平面向量的關(guān)鍵確定平面向量的起點(diǎn)和終點(diǎn).與 相等的向量是,【解析】1.選D.根據(jù)題意可得：模等于2的向量有 模等于3的向量有 .故圖中長度大于1的向量共有6個(gè). 2.(1)如圖所示,(2)由題意，易知 與 方向相反，故 與

14、共線即 又 所以四邊形ABCD為平行四邊形 所以 =200(千米),【方法技巧】用有向線段表示向量的方法. (1)用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn) (2)必要時(shí)，需依據(jù)直角三角形知識求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量,【變式訓(xùn)練】在下圖所示的坐標(biāo)紙上，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量，每個(gè)小方格邊長為1 (1) ，使| |= ，點(diǎn)A在點(diǎn)O東偏北45； (2) ，使| |=4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向； (3) ，使| |=7，點(diǎn)C在點(diǎn)B正北方向,【解析】(1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O東偏北45，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向

15、小方格數(shù)相等，又 ，小方格邊長為1，所以點(diǎn)A距O點(diǎn)的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A的位置可以確定，畫出OA如圖所示.,(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且| |=4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B的位置可以確定，畫出AB如圖所示. (3) 由于點(diǎn)C在點(diǎn)B正北方向，且| |=7，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的縱向小方格數(shù)為7，橫向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)C的位置可以確定，畫出 如圖所示.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】飛機(jī)從A地按北偏西15的方向飛行1400 km到達(dá)B地，再從B地按東偏南15的方向飛行1400 km到達(dá)C地，那么C地在A地什么方向？C地距A地多遠(yuǎn)？,【解

16、析】如圖所示， 表示飛機(jī)從A地按北偏西15方向飛行到B地的位移， 則| |=1 400 km. 表示飛機(jī)從B地按東偏南15 方向飛行 到C地的位移，則| |=1 400 km. ABC=60， 又| |=| | 所以ABC為正三角形，,所以| |=1400 km， ACB=60，則ACO=45，所以O(shè)AC=45， 故C在A地北偏東45方向，C地距A地1400 km.,易錯(cuò)案例 向量有關(guān)概念的應(yīng)用 【典例】(2015韶關(guān)高一檢測)給出下列說法 若ab，則a與b的方向相同或相反. 若ab，bc，則ac 若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等. 若a=b，b=c，則a=c. 其中正確的是_(填上序號),【失誤案例】,【錯(cuò)解分析】分析解題過程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？ 提示：錯(cuò)誤的根本原因