1、三 簡單曲線的極坐標方程,【自主預習】 1.極坐標方程與平面曲線 在極坐標系中,方程f(,)=0叫做平面曲線C的極坐 標方程,滿足條件: (1)平面曲線C上任意一點的極坐標中_滿足 方程f(,)=0.,至少有一個,(2)坐標適合方程_的點都在曲線C上.,f(,)=0,2.圓的極坐標方程,r,2rcos,2rsin,-2rcos,-2rsin,3.直線的極坐標方程(R),+,cos,sin,【即時小測】 1.極坐標系中,圓心在極點,半徑為2的圓的極坐標方程為() A.=2B.=4 C.cos=1D.sin=1,【解析】選A.由圓心在極點,半徑為r的圓的極坐標方程為=r,得圓心在極點,半徑為r的圓

2、的極坐標方程為=2.,2.極軸所在直線的極坐標方程為_. 【解析】如圖,設M(,)是極軸所在直線上的任意一 點,則=0(R). 答案:=0(R),【知識探究】 探究點曲線的極坐標方程 1.在極坐標系中,點M(,)的軌跡方程中一定同時含有,嗎? 提示:不一定,如圓心在極點,半徑為1的極坐標方程為=1,方程中只含有.,2.如何求圓心為C(0,0),半徑為r的圓的極坐標方程?,提示:設圓C上任意一點的極坐標為M(,), 如圖,在OCM中,由余弦定理,得 |OM|2+|OC|2-2|OM|OC|cosCOM=|CM|2, 即2+ -20cos(-0)=r2. 當O,C,M三點共線時,點M的極坐標也適合

3、上式,所以圓 心為C(0,0),半徑為r的圓的極坐標方程為2+ - 20cos(-0)-r2=0.,【歸納總結】 1.曲線的極坐標方程與直角坐標方程 在極坐標系中,由于點的極坐標的表示形式不唯一,即 (,),(,+2),(-,+),(-,-)都表 示同一點,這與點的直角坐標具有唯一性明顯不同.所 以對于曲線上同一點的極坐標的多種表示形式,只要求,點的極坐標中至少有一個能滿足曲線的極坐標方程即可.,2.曲線的極坐標方程與直角坐標方程的相互轉化及應用 (1)與點的極坐標與直角坐標的互相轉化一樣,以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且在兩坐標系中取相同的長度單位.平面內的曲線(含直線

4、)的極坐標方程與直角坐標方程也可以進行互相轉化.,(2)較簡單曲線的極坐標方程可直接求,較復雜曲線的極坐標方程可以先求直角坐標方程,然后再轉化. 特別提醒:極坐標方程對應曲線的形狀往往不易看出,通常是先轉化為直角坐標方程,然后再分析形狀.,類型一圓的極坐標方程 【典例】在極坐標系中,已知圓C的圓心為C ,半徑 為1,求圓C的極坐標方程.,【解題探究】求圓的極坐標方程時需要注意什么問題? 提示:求圓的極坐標方程時需要檢驗特殊點是否適合方程.,【解析】在圓C上任取一點P(,), 在POC中,由余弦定理可得 CP2=OC2+OP2-2OCOPcosPOC, 即 化簡可得,當O,P,C共線時,此方程也

5、成立, 故圓C的極坐標方程為,【延伸探究】 1.試求圓的直角坐標方程.,【解析】圓心的極坐標為 故直角坐標為 又已知圓的半徑為1, 故圓的直角坐標方程為,2.在極坐標系中,試求該圓上的點與點 距離的 最大值.,【解析】圓心 與點 的距離 故圓上的點與點P的距離的最大值為,【方法技巧】求圓的極坐標方程的步驟 (1)設圓上任意一點的極坐標為M(,). (2)在極點、圓心與M構成的三角形中運用余弦定理或解直角三角形列出方程f(,)=0并化簡. (3)驗證極點、圓心與M三點共線時,點M(,)的極坐標也適合上述極坐標方程.,【補償訓練】1.在極坐標系中,圓C過極點,且圓心的極 坐標是 (a0),則圓C的

6、極坐標方程是() A.=-2asinB.=2asin C.=-2acosD.=2acos,【解析】選B.由于圓心的極坐標是 ,化為直角坐標 為(0,a),半徑為a,故圓的直角坐標方程為x2+(y-a)2=a2, 再化為極坐標方程為=2asin.,2.(2016西安高二檢測)將極坐標方程=2cos化成直角坐標方程為_. 【解析】由=2cos得2=2cos, 所以x2+y2-2x=0. 答案:x2+y2-2x=0,類型二直線的極坐標方程 【典例】在極坐標系中,求過點(2,)且與極軸的傾斜 角為 的直線的極坐標方程.,【解題探究】求直線極坐標方程的一般方法是什么? 提示:設出直線上任意一點的極坐標(

7、,),列出,的關系式即可.,【解析】令A(2,),設直線上任意一點P(,), 在OAP中,APO=- , 由正弦定理 得 又因為點A(2,)適合上式, 故所求直線的極坐標方程為,【方法技巧】關于直線的極坐標方程 (1)求直線的極坐標方程的一般方法. 設出直線上的任意一點(,),利用三角形中的定理,如正弦定理、余弦定理等列出,的關系式,即為直線的極坐標方程.,(2)求直線的極坐標方程的注意事項. 當0時,直線上的點的極角不是常量,所以直線的極坐標方程需要轉化為兩條射線的極坐標方程,所以直線的極坐標方程不如直線的直角坐標方程唯一且簡便. 當規(guī)定了“負極徑”的意義,即R時,直線的極坐標方程就是唯一的

8、了.,【變式訓練】 1.(2016銅陵高二檢測)已知點P的極坐標為(1,),求過點P且垂直于極軸的直線的極坐標方程.,【解析】點P(1,)的直角坐標為(-1,0),所求直線的直角坐標方程為x=-1,化為極坐標方程為cos=-1.,2.在極坐標系中,求過點 且與極軸平行的直線方程. 【解析】點 在直角坐標系下的坐標為 即(0,2), 所以過點(0,2)且與x軸平行的直線方程為y=2. 即為sin=2.,類型三直線與圓的極坐標方程綜合題 【典例】(2016衡陽高二檢測)在極坐標系中,曲線 C:=2acos(a0),l: ,C與l有且僅有一 個公共點. (1)求a的值.,(2)O為極點,A,B為曲線

9、C上的兩點,且AOB= ,求|OA| +|OB|的最大值.,【解題探究】(1)如何判斷曲線的形狀? 提示:將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程判斷曲線的形狀.,(2)如何求|OA|+|OB|的最大值? 提示:利用點的極坐標以及三角函數性質求最大值.,【解析】(1)由曲線C:=2acos(a0)得 2=2acos,化為直角坐標方程為(x-a)2+y2=a2, 直線l: 得 由于直線與圓有且只有一個公共點, 所以d= =a,解得a=1,a=-3(舍去).,(2)不妨設A的極角為,B的極角為+ , 當=- 時,|OA|+|OB|取得最大值2 .,【方法技巧】將極坐標方程化為直角坐標方程的關鍵 因為直線

10、和曲線是滿足某種條件的點的集合,所以將極坐標方程化為直角坐標方程的公式仍然用點的極坐標化為直角坐標的公式y=sin,x=cos.,【變式訓練】1.(2016衡水高二檢測)在極坐標系中, 點 到圓=-2cos的圓心的距離為(),【解析】選D.點 的直角坐標為(1,- ),圓= -2cos即2=-2cos的直角坐標方程為(x+1)2+y2 =1,所以點(1,- )到圓心(-1,0)的距離為 .,2.(2016北京高考)在極坐標系中,直線cos- sin-1=0與圓=2cos交于A,B兩點,則|AB| =_.,【解析】直線cos- sin-1=0可化為x- y- 1=0.圓=2cos可化為2(cos2+sin2)=2cos, x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圓心(1,0),半徑長為1.圓 心在直線AB上,所以|AB|=2. 答案:2,自我糾錯極坐標方程化為直角坐標方程 【典例】(2016漳州高二檢測)化極坐標方程 2cos-=0為直角坐標方