1、2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義,【知識提煉】 1.向量的數(shù)乘運(yùn)算 (1)定義：規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)_，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：_，它的長度和方向規(guī)定如下： |a|=|a|； 當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向_； 當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向_.,向量,a,相同,相反,(2)運(yùn)算律：設(shè)，為任意實(shí)數(shù)，則有： (a)=_； (+)a=_； (a+b)=_； 特別地，有(-)a=_=_； (a-b)=_. 2.向量共線的條件 向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使_.,()a,a+a,a+b,-(a),(-a),a-b,b=a,3.向量的線性運(yùn)算 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量

2、的線性運(yùn)算.對于任意向量a，b及任意實(shí)數(shù)，1，2，恒有(1a2b)=_.,1a2b,【即時(shí)小測】 1.思考下列問題. (1)實(shí)數(shù)與向量a的乘積a是向量，那么實(shí)數(shù)與向量a的和+a與差-a是向量嗎？ 提示：+a與-a不是向量，因?yàn)閷?shí)數(shù)與向量a可以作積為a，但不可以做加減法，因?yàn)?a與-a是無意義的.,(2)向量-4a的模是向量2a的模的2倍嗎？ 提示：向量-4a的模是向量2a的模的2倍.因?yàn)閨-4a|=4|a|，|2a|=2|a|，所以|-4a|=2|2a|.,2.存在兩個(gè)非零向量a，b滿足b=-3a，則有() A.a與b方向相同 B.a與b方向相反 C.|a|=|3b| D.|a|=|b| 【解

3、析】選B.因?yàn)?30，所以a與-3a方向相反.且|-3a|=3|a|，即|b|=3|a|.,3.下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是() (-3)2a=-6a；2(a+b)-(2b-a)=3a；(a+2b)-(2b+a)=0. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選C.正確，錯(cuò)誤，應(yīng)為(a+2b)-(2b+a)=0，因?yàn)閮蓚€(gè)向量的和或差仍為向量.,4.化簡3(2a+4b)-2(3a-b)=_. 【解析】3(2a+4b)-2(3a-b)=6a+12b-6a+2b=14b. 答案：14b,5.已知|a|=4，|b|=8，若兩向量方向相同，則向量a與向量b的關(guān)系為b=_a. 【解析】由于|a|=4，|b|=8，

4、則|b|=2|a|，又兩向量同向，故b=2a. 答案：2,【知識探究】 知識點(diǎn)1 向量數(shù)乘運(yùn)算以及運(yùn)算律 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：,問題1：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)，你能說出它們的幾何意義嗎？ 問題2：實(shí)數(shù)與向量能否進(jìn)行加減運(yùn)算？實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)果是實(shí)數(shù)還是向量？ 問題3：a與a的大小和方向有什么關(guān)系？,【總結(jié)提升】 1.向量數(shù)乘定義的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)條件：一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量乘積. (2)結(jié)論：向量數(shù)乘的結(jié)果為一個(gè)向量，其模等于這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值與這個(gè)向量模的乘積，其方向與實(shí)數(shù)的正負(fù)有關(guān).,2.從兩個(gè)角度看數(shù)乘向量 (1)代數(shù)角度. 是實(shí)數(shù)，a是向量，它們的

5、積仍是向量；另外，a=0的條件是=0或a=0. (2)幾何角度. 當(dāng)|1時(shí)，有|a|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(1)或反方向(-1)上伸長到a的倍； 當(dāng)0|1時(shí)，有|a|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(01)或反方向(-10)上縮短到a的倍.,知識點(diǎn)2 向量共線的條件 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題： 問題1：在向量共線的條件中，若向量a=0，則該定理是否成立？ 問題2：若向量a，b共線，則一定有a=b(R)嗎？ 問題3：根據(jù)向量共線的條件，對于非零向量a，b，如何確定實(shí)數(shù)，使b=a？,【總結(jié)提升】 1.對向量共線的條件的說明 (1)在向量共線的條件中之所以限定a0

6、，是由于若a=b=0，雖然仍然存在，可是不唯一. (2)根據(jù)向量共線的條件，對于非零向量a，b，確定實(shí)數(shù)，使b=a時(shí)，分兩點(diǎn)：確定符號，a與b同向時(shí)，為正；a與b反向時(shí)，為負(fù).確定的絕對值，,2.向量共線條件的兩個(gè)應(yīng)用 (1)對于向量a(a0)與b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=a，那么由向量數(shù)乘的定義知，向量a與b是共線的. (2)向量a(a0)與b共線，若向量b的長度是a的長度的倍，|b|=|a|，那么，當(dāng)a與b同向時(shí)，有b=a；當(dāng)a與b反向時(shí)，有b= -a；當(dāng)b=0時(shí)，則=0，總之都可以表示成b=a(其中唯一確定).,【題型探究】 類型一 向量的線性運(yùn)算 【典例】1.在ABCD中， =2a，

7、=3b，則 等于( ) Aa+b Ba-b C2a+3b D2a-3b 2.化簡下列各式 (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a). (2) (a+2b)+3a- (6a-12b). (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.,【解題探究】1.典例1中在ABCD中 與 ， 的關(guān)系是什么？ 提示： 2.典例2中的化簡題目一般按照怎樣的順序進(jìn)行？ 提示：簡單的化簡問題，把握運(yùn)算順序?yàn)椋喝ダㄌ?、?shù)乘向量、向量加減.,【解析】1.選C. =2a+3b. 2.(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式= a+ b+ a- a+b= a+ b.

8、 (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.,【方法技巧】向量線性運(yùn)算的基本方法 (1)類比方法：向量的數(shù)乘運(yùn)算可類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算.例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù). (2)方程方法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算.,【拓展延伸】向量線性運(yùn)算的技巧 (1)不在圖形中的簡單化簡問題依照數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行. (2)在具體圖形中的數(shù)乘向量化簡一般要利用向量的

9、加法(減法)找到向量間的關(guān)系，再利用數(shù)乘向量的運(yùn)算進(jìn)行化簡. (3)具體圖形中的數(shù)乘向量化簡要結(jié)合圖形的性質(zhì)進(jìn)行.,【變式訓(xùn)練】1.若向量a=3i-4j，b=5i+4j，則( a-b)-3(a+ b)+(2b-a)=_. 【解析】( a-b)-3(a+ b)+(2b-a) = a-b-3a-2b+2b-a =- a-b=- (3i-4j)-(5i+4j) =-11i+ j-5i-4j =-16i+ j. 答案：-16i+ j,2.點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且BC=a，CA=b，給出下列等式： =- a-b； =a+ b； =- a+ b； =0. 其中正確的序號為_.

10、,【解析】如圖， =-b+ =-b- a， =a+ b， =-b-a， =b+ (-b-a)= b- a， =b- a+a+ b+ b- a=0. 答案：,類型二 向量共線的條件的應(yīng)用 【典例】1.(2015無錫高一檢測)已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若 ，則x+y=_. 2.設(shè)兩個(gè)向量a與b不共線，若 =a+b， =2a+8b， =3(a-b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線.,【解題探究】1.典例1中A，B，P三點(diǎn)共線，得到 有怎樣的關(guān)系？ 提示：因?yàn)锳，B，P三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得 2典例2中判斷三點(diǎn)A，B，D共線的關(guān)鍵是什么？ 提示：欲證三點(diǎn)A，B，D共線，關(guān)鍵是證存在實(shí)數(shù)

11、，使 ，只要根據(jù)已知條件找出即可,【解析】1.由于A，B，P三點(diǎn)共線，所以向量 在同一條直線上，由向量共線的條件可知，必定存在實(shí)數(shù)使 即 ，所以 故x=1-，y=，即x+y=1. 答案：1,2.因?yàn)?=a+b， =2a+8b， =3(a-b)， 所以 =2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 . 所以 共線，又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.,【延伸探究】若本例2中 =a+b，其他條件不變，且A，B，D共線，試求的值. 【解析】因?yàn)?=a+b+3(a-b)=4a+(-3)b， 因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線， 所以存在實(shí)數(shù)，使得 所以4a+(-3)b=(a+b

12、)， 又因?yàn)閍，b是不共線的兩個(gè)向量， 所以 所以=7.,【方法技巧】用向量共線的條件證明兩直線平行或重合的思路 (1)若b=a(a0)，且b與a所在的直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行. (2)若b=a(a0)，且b與a所在的直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線重合.例如，若 ，則 與 共線，又 與 有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法.,【拓展延伸】用向量共線的條件求參數(shù)的方法 (1)三點(diǎn)A，B，C共線問題：利用 構(gòu)造方程求參數(shù). (2)已知向量ma+nb與ka+pb(a與b不共線)共線求參數(shù)值的步驟 設(shè)：ma+nb=(ka+pb). 整：整理得(m-k)a=(p-n)b，故

13、解：解方程組得參數(shù)值.,【變式訓(xùn)練】1.(2015全國卷)設(shè)向量a，b不平行，向量a+b與a+2b平行，則實(shí)數(shù)=_ 【解題指南】由向量a+b與a+2b平行，得到a+b=k(a+2b)，利用向量相等求解.,【解析】因?yàn)橄蛄縜+b與a+2b平行， 所以a+b=k(a+2b)，則 所以= 答案：,2.(2015蚌埠高一檢測)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量，已知 = 2a+mb， =a+3b，若A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值. 【解題指南】由于A，B，C三點(diǎn)共線，則兩向量 共線，根據(jù)向量共線的條件可得，一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得 ，利用向量相等求m的值. 【解析】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以 共線，即 ，所以2a+

14、mb=(a+3b)，故=2，m=3，解得m=6.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】對于ABC內(nèi)部的一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)使得 =( )成立，則OBC與ABC的面積比為( ) A.12 B.13 C.23 D.與有關(guān),【解析】選A.如圖所示，設(shè)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAGB，以O(shè)A，OC為鄰邊作平行四邊形OAFC，則 因?yàn)?=( )， 所以 所以點(diǎn)O在直線DE上. 又因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以O(shè)BC與ABC的面積比是12.,【延伸探究】若把本題中的條件改為 ，則AOB與AOC的面積之比為_. 【解析】如圖，由平行四邊形法則，知 其中E為AC的中點(diǎn). 所以 所以,設(shè)點(diǎn)A到B

15、D的距離為h，則SAOB= | |h，SAOC=2SAOE=| | h，所以 答案：13,類型三 用已知向量表示未知向量 【典例】1.設(shè)D，E，F(xiàn)分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且 則 與 ( ) A反向平行 B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直,2.如圖所示，四邊形OADB是以向量 =a， =b為鄰邊的平行四邊形又 試用a，b表示,【解題探究】1.典例1中，判斷 與 之間的關(guān)系的解題思路是什么？ 提示：看 能否用 來表示. 2.典例2中利用已知條件可以找到哪些與所求向量和已知向量有關(guān)的等量關(guān)系？ 提示：,【解析】1.選A.因?yàn)?所以 與 平行且方向相反,2. 所以 =b+ a

16、- b= a+ b. 因?yàn)?所以 = ( )= (a+b)， = (a+b)- a- b= a- b.,【延伸探究】 1.(改變問法)在本例2條件中，試用a，b表示 【解析】方法一： 又 = (a+b)， = a+ b， 所以 = a+ b- a- b=- a+ b. 方法二：因?yàn)?所以 = (b-a)=- a+ b.,2.(變換條件)若本例2中 =a， =b，其他條件不變，試用a，b表示 【解析】,【方法技巧】用已知向量表示其他向量的兩種方法 (1)直接法 (2)方程法 當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程

17、.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.如圖，設(shè)ABC的重心為G，O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且 =a， =b， =c，則 =_.,【解題指南】由OG是OGA的一條邊，所以 因此，只要能求得向量 即可.又因?yàn)镚為ABC的重心，所以 ，只要能求得向量 即可. 【解析】易知， 所以 又因?yàn)?所以 故 答案：,2.如圖所示，D，E分別是ABC中邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知 =a， =b，試用a，b分別表示,【解析】由三角形中位線定理，知DE BC，故 即 =-a+b+ a=- a+b. =- a-b+ a= a-b.,規(guī)范解答 向量共線的條件的應(yīng)用 【典例】(12分)(2015合肥高一檢測)如圖所 示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)， 且 (1)用a，b表示向量 (2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.,【審題指導(dǎo)】(1)要用a，b表示向量 ，只需根據(jù)題目中的條件，把所表示的向量放在三角形中，用三角形法則聯(lián)系起來求解. (2)要證B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，只需證明,【規(guī)范解答