1、習(xí)題課雙曲線的綜合問題及應(yīng)用,1.雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題 雙曲線上的點(diǎn)P與其兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2連接而成的三角形PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,又|F1F2|=2c,則 (1)定義:|r1-r2|=2a.,一般地,在PF1F2中,通過以上三個(gè)等式,所求問題就會(huì)順利解決.,2.直線與雙曲線的位置關(guān)系 (1)判定方法 直線:Ax+By+C=0,雙曲線: (a0,b0),兩方程聯(lián)立消去y,得mx2+nx+q=0.,(2)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,這時(shí),直線一定與雙曲線的漸近線平行. (3)直線與雙曲

2、線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線不一定與雙曲線相切,也可能相交,這時(shí),直線一定與雙曲線的漸近線平行.,做一做1若M是雙曲線 上一點(diǎn),F1,F2為左、右焦點(diǎn),若|MF1|=3|MF2|,則|MF2|等于() A.2B.4C.8D.12 解析：由已知得2a=24=8,所以|MF1|-|MF2|=8,于是2|MF2|=8,|MF2|=4. 答案：B,做一做2已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(- ,0),F2( ,0),P是其上的一點(diǎn),且PF1PF2,|PF1|PF2|=2,則該雙曲線的方程是(),解析：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|=|F1F2|2

3、. 又|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c=2 ,|PF1|PF2|=2,所以(2a)2+22=(2 )2,解得a2=4,b2=1.所以雙曲線方程為 答案：C,做一做3動(dòng)圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡為() A.雙曲線的一支B.圓 C.拋物線D.雙曲線 解析：設(shè)動(dòng)圓半徑為r,圓心為O,x2+y2=1的圓心為O1,圓x2+y2-8x+12=0的圓心為O2,由題意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,所以|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1|O1O2|=4,由雙曲線的定義知,動(dòng)圓圓心O的軌跡是雙曲線的一支. 答案：A,做一做4過雙曲

4、線 的焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦的長度為.,探究一,探究二,思維辨析,探究一利用雙曲線的定義解決軌跡問題 【例1】 若動(dòng)圓P經(jīng)過定點(diǎn)A(3,0),且與定圓B:(x+3)2+y2=16外切,試求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程. 分析：由動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A,以及與定圓B相切,找到動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之間的關(guān)系,再對照雙曲線的定義進(jìn)行判斷求解. 解：設(shè)動(dòng)圓圓心P(x,y),半徑為r. 則依題意有|PA|=r,|PB|=r+4,故|PB|-|PA|=4. 即動(dòng)圓圓心P到兩個(gè)定點(diǎn)B(-3,0),A(3,0)的距離之差等于常數(shù)4,且4|AB|, 因此根據(jù)雙曲線定義,點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.,探究一,探

5、究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,變式訓(xùn)練1動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F1(0,5)與點(diǎn)F2(0,-5)滿足|PF1|-|PF2|=6,則點(diǎn)P的軌跡方程為(),解析：依題意,動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2之間的距離之差等于常數(shù)6,且常數(shù)6|F1F2|=10,但由于不是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差的絕對值,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近點(diǎn)F2的一支.該雙曲線焦點(diǎn)在y軸上,且c=5,a=3,所以b2=25-9=16,故點(diǎn)P的軌跡方程 為 答案：D,探究一,探究二,思維辨析,探究二直線與雙曲線的位置關(guān)系 【例2】 已知直線l:x+y=1與雙曲線C: (1)若a= ,求l與C相交所得的弦長; (2)若l

6、與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求雙曲線C的離心率e的取值范圍. 分析：將l與C的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù),得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長;由l與C相交,知0,從而求出a的取值范圍,可得離心率的取值范圍.,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,變式訓(xùn)練2已知斜率為2的直線被雙曲線 截得的弦長為4,求直線l的方程.,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,對直線與雙曲線位置關(guān)系理解不全面致誤 典例導(dǎo)學(xué)號(hào)03290040求經(jīng)過點(diǎn) ,且與雙曲線4x2-y2=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程.,探究一,探究二,思維辨析,探究

7、一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,變式訓(xùn)練若直線l經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且與雙曲線x2-y2=1只有一個(gè)公共點(diǎn),則符合要求的直線l的條數(shù)是() A.1B.2C.3D.4 解析：依題意,直線l斜率必存在,設(shè)其為k,則直線l的方程為y=k(x-2). 聯(lián)立 消去y整理得(1-k2)x2+4k2x-(4k2+1)=0. 當(dāng)1-k2=0,即k=1時(shí),該方程只有一個(gè)解,直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn); 當(dāng)1-k20時(shí),由=(4k2)2+4(1-k2)(4k2+1)=0,得k無解,所以符合要求的直線只有2條. 答案：B,1 2 3 4 5,1.已知定點(diǎn)A,B,且|AB|=4,

8、動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=3,則|PA|的最小值為(),解析：點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,當(dāng)點(diǎn)P與雙曲線右支頂點(diǎn)M重合時(shí),|PA|最小,最小值為 答案：C,1 2 3 4 5,2.已知雙曲線C: 的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線C的右支上一點(diǎn),且|PF2|=|F1F2|,則PF1F2的面積等于() A.24B.36C.48D.96,答案：C,1 2 3 4 5,3.直線2x-y-10=0與雙曲線 的交點(diǎn)是.,1 2 3 4 5,4.過雙曲線 左焦點(diǎn)F1的直線交曲線的左支于M,N兩點(diǎn),F2為其右焦點(diǎn),則|MF2|+|NF2|-|MN|的值為. 解析：因?yàn)镸,N兩點(diǎn)在雙曲線的左支上,所以由雙曲線定義得|MF2|-|MF1|=2a=4,|NF2|-|NF1|=2a=4,于是|MF2|-|MF1|+|NF2|-|NF1|=4a=8,而|MF1|+|NF1|=|MN|,所以|MF2|+|NF2|-|MN|=8. 答案：8,1 2 3 4 5,5.如圖所示,已知定圓F1:x2+y2+10 x+24=0,定圓F2:x2+y2-10 x+9=0,動(dòng)圓M與定圓F1,F2都外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.,解：圓F1:(x+5)2+y2=1,