1、LQR控制器算法的設(shè)計(jì)與仿真4.1 線性二次最優(yōu)控制的概述應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，能夠解決很多簡(jiǎn)單、確定系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計(jì)問題。但是對(duì)于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。這時(shí)就需要有在狀態(tài)空間模型下建立的最優(yōu)控制策略。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可提出各種不用的性能指標(biāo)。最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指標(biāo)為最小。最優(yōu)控制就是在滿足一定的約束條件下，尋求最優(yōu)控制策略，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值的一種控制方法。

2、對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，如果其性能泛函是狀態(tài)變量或控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的最優(yōu)控制問題就稱為線性二次型最優(yōu)控制問題，而利用線性二次型性能指標(biāo)設(shè)計(jì)的控制器就被稱作線性二次型最優(yōu)(Linear Quadratic Regulator)控制器，縮寫為L(zhǎng)QR控制器15。利用線性二次型最優(yōu)控制算法不僅易于分析、處理和計(jì)算，得到的系統(tǒng)控制方法還具有較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)，而且特別可貴的是，線性二次型最優(yōu)控制得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。而且，MATLAB的應(yīng)用為線性二次型最優(yōu)控制的理論仿真提供了很好的條件，更為實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了方便。

3、因而線性二次型控制器已經(jīng)成為自動(dòng)控制系統(tǒng)中反饋控制設(shè)計(jì)的一種重要的控制方法，在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。4.2 線性二次最優(yōu)控制的原理線性二次最優(yōu)控制的控制原理框圖如圖：KyuR圖4.1 LQR控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig 4.1 Conventional LQR control system structure對(duì)于狀態(tài)方程式所表示的連續(xù)時(shí)間的線性被控對(duì)象有： (4-1)上式中，x(t)為n維狀態(tài)向量；u(t)為m維控制向量；A，B分別為nn及nm階的常數(shù)矩陣。在進(jìn)行線性二次最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，比較令人感興趣的是如何選擇控制向量u(t)，使得給定的性能指標(biāo)達(dá)到最小，線性二次最優(yōu)調(diào)節(jié)器( L

4、QR) 是針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程，尋找最優(yōu)控制，使得控制性能指標(biāo) J 達(dá)到最小，其中 Q、R 分別表示了對(duì)狀態(tài)變量和輸入變量的加權(quán)值。二次型性能指標(biāo)函數(shù)： (4-2)則有如下狀態(tài)反饋控制律： (4-3)式中，K 為最優(yōu)反饋矩陣： (4-4)在式(4-4)中，P為Riccati方程非負(fù)定對(duì)稱解。而Riccati方程為： (4-5)如此，可得到狀態(tài)反饋增益向量K： (4-6) 由此可見最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是選擇合適的加權(quán)矩陣Q和R，并根據(jù)式(4-6)可以算出P，這樣就能求出反饋增益K了。而加權(quán)矩陣Q和R的具體作用為：Q中某元素相對(duì)增加時(shí)，其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量的響應(yīng)速度增加，其他狀態(tài)變量的響應(yīng)速度相對(duì)減慢；

5、R增加時(shí)，控制力減小，角度變化變小，跟隨速度變慢。改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應(yīng)效果，Q主對(duì)角線元素的值在一定范圍之內(nèi)越大，系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間越短，而且抵抗干擾的能力越強(qiáng)，但是Q不能過大，不然將對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定的影響16。 上述推導(dǎo)過程即為線性二次最優(yōu)控制的控制原理。而當(dāng)今現(xiàn)在，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，已經(jīng)可以不使用上述公式進(jìn)行繁瑣的計(jì)算，而利用 MATLAB的lqr命令輕松的得到反饋矩陣K的值：4.3 二次最優(yōu)控制器的參數(shù)調(diào)整二次最優(yōu)控制器的參數(shù)調(diào)整關(guān)鍵在于選擇好合適的加權(quán)矩陣Q和R，這樣就能得出反饋增益K17。其中，加權(quán)矩陣中的Q和R的具體作用為：Q中某元素相對(duì)增加時(shí)，其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量的響

6、應(yīng)速度增加，其他狀態(tài)變量的響應(yīng)速度相對(duì)減慢；R增加時(shí)，控制力減小，角度變化變小，跟隨速度變慢。而在實(shí)際應(yīng)用中，通常將R值進(jìn)行固定，然后對(duì)Q進(jìn)行調(diào)整以得到較好的控制效果18。所以，在這里，選取R=0.003。在LQR控制器設(shè)計(jì)中，選取R=0.003，Q陣為對(duì)角陣： (4-7)其中，Q1,1代表小車位置的權(quán)重(即)，Q2,2代表小車速度的權(quán)重(即)，Q3,3代表擺桿角度的權(quán)重(即)，Q4,4代表擺桿角速度的權(quán)重(即)。而在該實(shí)驗(yàn)中，只考慮小車的位移及擺桿的擺動(dòng)角度問題，所以，可以將Q2,2和Q4,4都定義為0，這樣，只需要調(diào)整Q1,1和Q3,3。則Q的矩陣可以變換為： (4-8)接下來，根據(jù)第二章

7、所建立的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： (4-9) (4-10)可以得到：，那么，首先取Q1,1=Q3,3=1的時(shí)候，在MATLAB的輸入界面輸入以下程序：%最優(yōu)控制A= 0 1 0 0；0 -0.00241 1.72547 0；0 0 0 1；0 -0.00556 26.58199 0；B= 0 1.00503 0 2.32597；C= 1 0 0 0；0 0 1 0；D= 0 0 ；%求向量KQ11=1；Q22=0；Q33=1；Q44=0；Q=Q11 0 0 0；0 Q22 0 0；0 0 Q33 0；0 0 0 Q44；R = 0.003；K = lqr(A,B,Q,R)%計(jì)算LQR控制矩陣Ac

8、 = (A-B*K)；Bc = B；Cc = C；Dc = D；%求階躍響應(yīng)XO=0.01 -0.001 0.001 -0.001；%初始狀態(tài)t=0:0.005:5；U=20*ones(size(t)；Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,t,XO)；yl=Y(:,1)；y2=Y(:,2)；plot(t,yl,r-,t,y2,b-)；legend(小車位置,擺桿角度)；axis(0 5 -30 30)；grid可以得到如下的仿真結(jié)果：K = -18.26 -14.51 66.35 13.42系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。圖4.2 Q1,1=Q3,3=1時(shí)倒立擺系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖Fig.4

9、.2 When Q1,1=Q3,3 = 1 inverted pendulum system step response figure由這個(gè)圖可以看出，小車的位移和角度在2.5秒的時(shí)候就基本能達(dá)到穩(wěn)定，而且就小車位移而言，開始時(shí)候產(chǎn)生的超調(diào)還是相對(duì)較小的。但是，擺桿的角度，在開始時(shí)候的超調(diào)量有些偏大。而倒立擺系統(tǒng)對(duì)擺桿角度的超調(diào)量的要求比較嚴(yán)格，需要將擺桿角度的超調(diào)量控制在盡量小的范圍內(nèi)。又可根據(jù)Q值變化對(duì)系統(tǒng)的影響，增大Q3,3值可以減小超調(diào)量，但是同時(shí)也會(huì)增加系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，反之則超調(diào)量增大，響應(yīng)時(shí)間減?。辉龃驫1,1可以增大系統(tǒng)的超調(diào)量，而減小系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，反之則超調(diào)量減小，響應(yīng)時(shí)間增

10、大。所以，在這里，為了達(dá)到更好的實(shí)驗(yàn)效果，嘗試增大Q3,3值以減小系統(tǒng)的超調(diào)量，同時(shí)，考慮適當(dāng)?shù)脑龃驫1,1來抵消Q3,3變化產(chǎn)生的響應(yīng)時(shí)間增長(zhǎng)的影響。經(jīng)過多次嘗試之后，在Q1,1=5，Q3,3=80時(shí)，得到：K= -47.46 -44.64 230.12 34.07系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下圖所示：圖4.3 Q1,1=5，Q3,3=80時(shí)倒立擺系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖Fig.4.3 When Q1,1= 5, Q3,3 = 80 inverted pendulum system step response figure由圖(4.2)與圖(4.3)對(duì)比，可以看出：當(dāng)Q1,1和Q3,3增大時(shí)，系統(tǒng)擺桿角度的超

11、調(diào)量在減少，但是系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間也會(huì)隨之變長(zhǎng)。因此，要使超調(diào)量較小，并具有較短的響應(yīng)時(shí)間，同時(shí)就要在可能的范圍內(nèi)，將Q1,1和Q3,3都選擇的相對(duì)大一點(diǎn)。因此，在本文中LQR控制器參數(shù)就選取Q1,15，Q3,380，R=0.003此時(shí)，系統(tǒng)的的超調(diào)量和穩(wěn)定時(shí)間都比較令人滿意。4.4 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的LQR仿真根據(jù)直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間方程模型，使用MATLAB對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行建模和仿真實(shí)驗(yàn)19。通過QUARC軟件中的各種模塊，建立了直線一級(jí)倒立擺的最優(yōu)控制仿真圖如下圖所示：圖4.4直線一級(jí)倒立擺的LQR控制仿真模型Fig.4.4 LQR control simulation model of

12、 the linear inverted pendulum系統(tǒng)輸入為小車的外力，狀態(tài)變量是小車位移，擺桿角度，小車速度以及擺桿角速度這四個(gè)變量的實(shí)時(shí)信號(hào)，輸出為小車位置x，擺桿角度信號(hào)，并將輸出信號(hào)反饋給輸入信號(hào)形成閉環(huán)。在本設(shè)計(jì)中，要求倒立擺系統(tǒng)保持豎直倒置的擺桿的穩(wěn)定，所以，系統(tǒng)的擺桿的初始角度，小車初始速度以及擺桿初始角速度均為0。小車的位移輸入是一個(gè)在第1秒產(chǎn)生階躍的一個(gè)階躍信號(hào)，系統(tǒng)通過階躍信號(hào)來使小車的位移發(fā)生變化，使小車左右移動(dòng)，以此觸發(fā)倒立擺系統(tǒng)的LQR控制，控制擺桿的穩(wěn)定。將系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)輸入到仿真系統(tǒng)中，運(yùn)行LQR控制器仿真系統(tǒng)。得出以下各結(jié)果：圖4.5小車位移仿真曲線Fig.4.5 Cart po