1、1,積分變換,2,傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)展開,3,在工程計(jì)算中, 無論是電學(xué)還是力學(xué), 經(jīng)常要和隨時(shí)間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:,具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中T稱作周期, 而1/T代表單位時(shí)間振動(dòng)的次數(shù), 單位時(shí)間通常取秒, 即每秒重復(fù)多少次, 單位是赫茲(Herz, 或Hz).,t,4,最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T,而Asin(wt+j)又可以看作是兩個(gè)周期函數(shù) sinwt和coswt的線性組合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt,t,5,人們發(fā)現(xiàn), 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三

2、角函數(shù)的線性組合來逼近.,方波,4個(gè)正弦波的逼近,100個(gè)正弦波的逼近,6,研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上,1, 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) 2, 只有有限個(gè)極值點(diǎn) 這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).,7,第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)的區(qū)別:,第二類間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn),8,不滿足狄氏條件的例:,而在工程上所應(yīng)用的函數(shù), 尤其是物理量的變化函數(shù), 全部滿足狄氏條件. 實(shí)際上不連續(xù)函數(shù)都是

3、嚴(yán)格上講不存在的, 但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來近似一些函數(shù), 使得思維簡單一些.,0,),1,sin(,),(,tg,),(,點(diǎn),處存在著無限多個(gè)極值,在靠近,存在第二類間斷點(diǎn),t,t,f,t,t,f,=,=,9,在區(qū)間-T/2,T/2上滿足狄氏條件的函數(shù)的全體也構(gòu)成一個(gè)集合, 這個(gè)集合在通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運(yùn)算上也構(gòu)成一個(gè)線性空間V, 此空間的向量就是函數(shù), 線性空間的一切理論在此空間上仍然成立. 更進(jìn)一步地也可以在此線性空間V上定義內(nèi)積運(yùn)算, 這樣就可以建立元素(即函數(shù))的長度(范數(shù)), 及函數(shù)間角度, 及正交的概念. 兩個(gè)函數(shù)f和g的內(nèi)積定義為:,10,一個(gè)函數(shù)f(t)的長度為,11,而在區(qū)間

4、-T/2,T/2上的三角函數(shù)系1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ., cos nwt, sin nwt, .是兩兩正交的, 其中w=2p/T, 這是因?yàn)閏os nwt和sin nwt都可以看作是復(fù)指數(shù)函數(shù)ejnwt的線性組合. 當(dāng)nm時(shí),12,這是因?yàn)?13,14,而1, coswt, sinwt, ., cos nwt, sin nwt, .的函數(shù)的長度計(jì)算如下:,15,因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t), 可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下:,16,為求an, 計(jì)算fT(t), cosnwt, 即,17,同理, 為求bn, 計(jì)算fT(t), sin n

5、wt, 即,18,最后可得:,19,而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級(jí)數(shù)表示為:,20,如令wn=nw (n=0,1,2,.),21,給定fT(t), cn的計(jì)算如下:,22,23,例 定義方波函數(shù)為,如圖所示:,1,-1,o,t,f(t),1,24,現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則,25,則,26,sinc函數(shù)介紹,27,sinc函數(shù)的圖形:,sinc(x),x,28,前面計(jì)算出,w,29,現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍, 令T=8, 以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t),1,-1,7,T=8,f8(t),t,30,則,31,則在T=8時(shí),w,32,如果再

6、將周期增加一倍, 令T=16, 可計(jì)算出,w,33,一般地, 對于周期T,34,當(dāng)周期T越來越大時(shí), 各個(gè)頻率的正弦波的頻率間隔越來越小, 而它們的強(qiáng)度在各個(gè)頻率的輪廓?jiǎng)t總是sinc函數(shù)的形狀, 因此, 如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù), 則它也可以看作是由無窮多個(gè)無窮小的正弦波構(gòu)成, 將那個(gè)頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是f(t)的各個(gè)頻率成份上的分布, 稱作f(t)的傅里葉變換.,35,對任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上, 則T越大, fT(t)與f(t)相等的范圍也越大, 這就說明當(dāng)T時(shí), 周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t), 即有,36,37,38,如圖,w,39,40,此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式, 簡稱傅氏積分公式,41,傅氏積分定理 若f(t)在(-, +)上滿足條件: