1、1 已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B和折痕OP設(shè)BP=t（）如圖，當(dāng)BOP=30時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB上，得點(diǎn)C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）解：（）根據(jù)題意，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2tOP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）點(diǎn)

2、P的坐標(biāo)為（，6）（）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP，OPB=OPB，QPC=QPC，OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90，BOP+OPB=90，BOP=CPQ又OBP=C=90，OBPPCQ，由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11t，CQ=6mm=（0t11）（）過點(diǎn)P作PEOA于E，PEA=QAC=90，PCE+EPC=90，PCE+QCA=90，EPC=QCA，PCECQA，PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，AC=，3（6m）2=（3m）（11t）2，m=，3（t2+

3、t）2=（3t2+t6）（11t）2，t2（11t）2=（t2+t3）（11t）2，t2=t2+t3，3t222t+36=0，解得：t1=，t2=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）法二：BPO=OPC=POC，OC=PC=PC=11t，過點(diǎn)P作PEOA于點(diǎn)E，則PE=BO=6，OE=BP=t，EC=112t，在RtPEC中，PE2+EC2=PC2，即（11t）2=62+（112t）2，解得：t1=，t2=點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）2 如圖，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，連接EP（1

4、）如圖，若M為AD邊的中點(diǎn)，AEM的周長(zhǎng)= cm；求證：EP=AE+DP；（2）隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A、D重合），PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由解：（1）由折疊知BE=EM，B=EMP=90AEM的周長(zhǎng)=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AMAB=4，M是AD中點(diǎn)，AEM的周長(zhǎng)=4+2=6（cm）；現(xiàn)證明EP=AE+PD方法一：取EP的中點(diǎn)G，則在梯形AEPD中，MG為中位線，MG=（AE+PD），在RtEMP中，MG為斜邊EP的中線，MG=EP，EP=AE+PD方法二：延長(zhǎng)EM交CD延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)A=MDQ=90，AM=DM，AME=DMQ，AMEDMQA

5、E=DQ，EM=MQ又EMP=B=90，PM垂直平分EQ，有EP=PQPQ=PD+DQ，EP=AE+PD（2）PDM的周長(zhǎng)保持不變?cè)O(shè)AM=x，則MD=4x由折疊性質(zhì)可知，EM=4AE，在RtAEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4AE）2，整理得：AE2+x2=168AE+AE2，AE=（16x2），又EMP=90，AME+DMP=90AME+AEM=90，AEM=DMP又A=D，PDMMAECPDM=CMAE=（4+x）=8PDM的周長(zhǎng)保持不變3 已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，ADBD以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作RtAED，EAD=30，

6、AED=90（1）求AED的周長(zhǎng)；（2）若AED以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DC向右平行移動(dòng)，得到A0E0D0，當(dāng)A0D0與BC重合時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，A0E0D0與BDC重疊的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）如圖，在（2）中，當(dāng)AED停止移動(dòng)后得到BEC，將BEC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0180），在旋轉(zhuǎn)過程中，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B1，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E1，設(shè)直線B1E1與直線BE交于點(diǎn)P、與直線CB交于點(diǎn)Q是否存在這樣的，使BPQ為等腰三角形？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC=6在RtADE中，AD

7、=6，EAD=30，AE=ADcos30=3，DE=ADsin30=3，AED的周長(zhǎng)為：6+3+3=9+3（2）在AED向右平移的過程中：（I）當(dāng)0t1.5時(shí)，如答圖1所示，此時(shí)重疊部分為D0NKDD0=2t，ND0=DD0sin30=t，NK=ND0tan30=t，S=SD0NK=ND0NK=tt=t2；（II）當(dāng)1.5t4.5時(shí)，如答圖2所示，此時(shí)重疊部分為四邊形D0E0KNAA0=2t，A0B=ABAA0=122t，A0N=A0B=6t，NK=A0Ntan30=（6t）S=S四邊形D0E0KN=SA0D0E0SA0NK=33（6t）（6t）=t2+t；（III）當(dāng)4.5t6時(shí)，如答圖3所

8、示，此時(shí)重疊部分為五邊形D0IJKNAA0=2t，A0B=ABAA0=122t=D0C，A0N=A0B=6t，D0N=6（6t）=t，BN=A0Bcos30=（6t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=122t，BI=BCCI=2t6，S=S梯形BND0ISBKJ=t+（2t6）（6t）（122t）（122t）=t2+t綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=（3）存在=30，75或165，使BPQ為等腰三角形理由如下：經(jīng)探究，得BPQB1QC，故當(dāng)BPQ為等腰三角形時(shí)，B1QC也為等腰三角形（I）當(dāng)QB=QP時(shí)（如答圖4），則QB1=QC，B1CQ=B1=30，即BCB1=30，=30；（II

9、）當(dāng)BQ=BP時(shí)，則B1Q=B1C，若點(diǎn)Q在線段B1E1的延長(zhǎng)線上時(shí)（如答圖5），B1=30，B1CQ=B1QC=75，即BCB1=75，=75；若點(diǎn)Q在線段E1B1的延長(zhǎng)線上時(shí)（如答圖6），B1=30，B1CQ=B1QC=15，即BCB1=180B1CQ=18015=165，=165綜上所述，存在=30，75或165，使BPQ為等腰三角形7用如圖，所示的兩個(gè)直角三角形（部分邊長(zhǎng)及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出），完成以下兩個(gè)探究問題：探究一：將以上兩個(gè)三角形如圖拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CFB的角平分線上時(shí)，連接AP，求線段AP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中出現(xiàn)P

10、A=FC時(shí)，求PAB的度數(shù)探究二：如圖，將DEF的頂點(diǎn)D放在ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)DEF，使DEF的兩直角邊與ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連接MN在旋轉(zhuǎn)DEF的過程中，AMN的周長(zhǎng)是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：探究一：（1）依題意畫出圖形，如答圖1所示：由題意，得CFB=60，F(xiàn)P為角平分線，則CFP=30，CF=BCtan30=3=，CP=CFtanCFP=1過點(diǎn)A作AGBC于點(diǎn)G，則AG=BC=，PG=CGCP=1=在RtAPG中，由勾股定理得：AP=（2）由（1）可知，F(xiàn)C=如答圖2所示，以點(diǎn)A為圓心，以FC=長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC交于點(diǎn)P1、P2，則AP1=AP2=過點(diǎn)A過AGBC于點(diǎn)G，則AG=BC=在RtAGP1中，cosP1AG=，P1AG=30，P1AB=4530=15；同理求得，P2AG=30，P2AB=45+30=75PAB的度數(shù)為15或75探究二：AMN的周長(zhǎng)存在有最小值如答圖3所示，連接ADABC為等腰直