1、第十講 列方程解應(yīng)用題 數(shù)學(xué)是一門具有廣泛應(yīng)用性的科學(xué)，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)” 數(shù)學(xué)應(yīng)用題的類型很多，比較簡單的是方程應(yīng)用題，又以一元一次方程應(yīng)用題最為基礎(chǔ)，方程應(yīng)用題種類繁多，以行程問題最為有趣而又多變 行程問題的三要素是：距離(s)、速度(v)、時(shí)間(t)，行程問題按運(yùn)動(dòng)方向可分為相遇問題、追及問題；按運(yùn)動(dòng)路線可分為直線形問題、環(huán)形問題等熟悉相遇問題、追及問題等基本類型的等量關(guān)系是解行程問題的基礎(chǔ)；而恰當(dāng)設(shè)元、恰當(dāng)借助直線圖輔助分析是解行程問題的技巧例題 【例1】 某人乘船由A地順流而下到B地，

2、然后又逆流而上到C地，共乘船4小時(shí)，已知船在靜水中的速度為每小時(shí)7.5千米，水流速度為每小時(shí)2.5千米，若A、C兩地的距離為10千米，則A、B兩地的距離為 千米 (重慶市競賽題)思路點(diǎn)撥 等量關(guān)系明顯，關(guān)鍵是考慮C地所處的位置注： 列方程的方法為解應(yīng)用題提供般的解題步驟和規(guī)范的計(jì)算方法，使問題“化難為易”，充分顯示了字母代數(shù)的優(yōu)越性，它是算術(shù)方法解應(yīng)用題在字母代數(shù)礎(chǔ)上的發(fā)展 【例2】 如圖，某人沿著邊長為90米的正方形，按ABCDA方向，甲從A以65米分的速度，乙從B以72米分的速度行走，當(dāng)乙第一次迫上甲時(shí)在正方形的( ) AAB邊上 BDA邊上 CBC邊上 DCD邊上 (安徽省競賽題)思路點(diǎn)

3、撥 本例是一個(gè)特殊的環(huán)形的追及問題，注意甲實(shí)際在乙的前面390=270(米)處 【例3】 父親和兒子在100米的跑道上進(jìn)行賽跑，已知兒子跑5步的時(shí)間父親能跑6步，兒子跑?步的距離與父親跑4步的距離相等現(xiàn)在兒子站在100米的中點(diǎn)處，父親站在100米跑道的起點(diǎn)處同時(shí)開始跑問父親能否在100米的終點(diǎn)處超過兒子?并說明理由 (重慶市競賽題)思路點(diǎn)撥 把問題轉(zhuǎn)化為追及問題，即比較父親追上兒子時(shí)，兒子跑的路程與50的大小，為了理順步長、路程的關(guān)系，需增設(shè)未知數(shù)，這是解題的關(guān)鍵 【例4】 鐘表在12點(diǎn)鐘時(shí)三針重合，經(jīng)過多少分鐘秒針第一次將分針和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分? (湖北省數(shù)學(xué)競賽選拔賽試題) 思路點(diǎn)撥 先

4、畫鐘表示意圖，運(yùn)用秒針分別與時(shí)針、分針?biāo)傻慕窍嗟冉⒌攘筷P(guān)系，關(guān)鍵是要熟悉與鐘表相關(guān)的知識(shí)注： 明確要求將數(shù)學(xué)開放性問題作為考試的試題，是近一二年的事情，開放題是相對(duì)于常規(guī)的封閉題而言，封閉題往往條件充分，結(jié)論確定，而開放題常常是條件不充分或結(jié)論不確定，思維多向 解鐘表上的行程問題，常用到以下知識(shí)：(1)鐘表上，相鄰兩個(gè)數(shù)字之間有5個(gè)小格，每個(gè)小格表示1分鐘，如與角度聯(lián)系起來，每一小格對(duì)應(yīng)6；(2)分針走一周，時(shí)針走周，即分針的速度是時(shí)針?biāo)俣鹊?2倍 【例5】 七年級(jí)93個(gè)同學(xué)在4位老師的帶領(lǐng)下準(zhǔn)備到離學(xué)校32千米處的某地進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，可是只有一輛能坐25人的汽車為了讓大家盡快地到達(dá)目的地，

5、決定采用步行與乘車相結(jié)合的辦法。如果你是這次行動(dòng)的總指揮，你將怎樣安排他們乘車，才能使全體師生花最短的時(shí)間到達(dá)目的地?最短的時(shí)間是多少?(師生步行的速度是5千米時(shí)，汽車的速度是55千米時(shí)，上、下車時(shí)間不計(jì))思路點(diǎn)撥 人和車同時(shí)出發(fā)，由車往返接運(yùn)，如能做到人車同時(shí)到達(dá)目的地，則時(shí)間最短，而實(shí)現(xiàn)同時(shí)到達(dá)目的地的關(guān)鍵在于平等地享用交通工具，這樣，各組乘車的路程一樣，步行的路程也就一樣學(xué)力訓(xùn)練1甲、乙兩人騎自行車，同時(shí)從相距65千米的兩地相向而行，甲的速度為每小時(shí)17.5千米，乙的速度為每小時(shí)15千米，則經(jīng)過 小時(shí)，甲、乙兩人相距32.5千米2某人以4千米/小時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/

6、小時(shí)的速度從乙地返回甲地，那么此人往返一次的平均速度是 千米/小時(shí)3汽車以每小時(shí)72千米的速度筆直地開向寂靜的山谷，駕駛員撳一聲喇叭，4秒后聽到回響，已知聲音的速度是每秒340米，聽到回響時(shí)汽車高山谷的距離是 米 (江蘇省競賽題)4現(xiàn)在是4點(diǎn)5分，再過 分鐘，分針和時(shí)針第一次重合5甲、乙兩人同時(shí)從A地到B地，如果乙的速度v保持不變，而甲先用2v的速度到達(dá)中點(diǎn)，再用的速度到達(dá)B地，則下列結(jié)論中正確的是( )A甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地 B甲先到B地 C乙先到B地 D無法確定誰先到6甲與乙比賽登樓，他倆從36層的長江大廈底層出發(fā)，當(dāng)甲到達(dá)6樓時(shí)，乙剛到達(dá)5樓，按此速度，當(dāng)甲到達(dá)頂層時(shí)，乙可到達(dá)( )

7、A31層 B30層 C29層 D28層7小明爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，下圖是小明每隔1小時(shí)看到的里程情況，你能確定小明在12：00時(shí)看到的里程表上的數(shù)嗎? 8如圖，是某風(fēng)景區(qū)的旅游路線示意圖，其中B、C、D為風(fēng)景點(diǎn)，E為兩條路的交叉點(diǎn)，圖中數(shù)據(jù)為兩相應(yīng)點(diǎn)間的距離(單位：千米)一學(xué)生從A處出發(fā)，以2千米時(shí)的速度步行游覽，每個(gè)景點(diǎn)的逗留時(shí)間均為0.5小時(shí)(1)當(dāng)他沿著路線ADCEA游覽回到A處時(shí)，共用了3小時(shí)，求CE的長(2)若此學(xué)生打算從A處出發(fā)后，步行速度與在景點(diǎn)的逗留時(shí)間保持不變，且在最短時(shí)間內(nèi)看完三個(gè)景點(diǎn)返回到A處，請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一條步行路線，并說明這樣設(shè)計(jì)的理由(不考慮其他因

8、素) (江西省中考題)9某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開車時(shí)間早到15分鐘，若每小時(shí)行18千米，則比火車開車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，求此人此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)該是多少? (湖北省孝感市競賽題)10甲、乙兩列客車的長分別為150米和200米，它們相向行駛在乎行的軌道上， 已知甲車上某乘客測得乙車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是10秒，那么乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是 秒 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)11甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時(shí)從兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地，從甲地開出的為第一輛汽車，每小時(shí)行30千米，從乙地

9、開出的汽車為第二輛汽車，每小時(shí)行40千米，當(dāng)從甲地開出的第一輛汽車第二次從甲地出發(fā)后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了 千米和 千米 (武漢市選拔賽試題)12某商場有一部自動(dòng)扶梯勻速由下而上運(yùn)動(dòng)，甲、乙兩人都急于上樓辦事，因此列車的錯(cuò)車問題有別于兩人之間的相遇或追及問題(為什么?)解題的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為直線上的兩人相遇或追及問題在乘扶梯的同時(shí)勻速登梯，甲登了55級(jí)后到達(dá)樓上，乙登梯速度是甲的2倍(單位時(shí)間內(nèi)乙登樓級(jí)數(shù)是甲的2倍)，他登了60級(jí)后到達(dá)樓上，那么，由樓下到樓上自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)為 (北京市競賽題)13博文中學(xué)學(xué)生郊游，沿著與筆直的鐵路線并列的公路勻速前進(jìn)，每小時(shí)走4500米，一列

10、火車以每小時(shí)120千米的速度迎面開來，測得從車頭與隊(duì)首學(xué)生相遇，到車尾與隊(duì)末學(xué)生相遇，共經(jīng)過60秒，如果隊(duì)伍長500米，那么火車長為( )米A2075 B1575 C2000 D 1500 (“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)14上午九點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針成直角，那么下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是( )A9時(shí)30分 B10時(shí)5分 C10時(shí)5分 D9時(shí)32分 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)15鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時(shí)向東行進(jìn)，行人速度為3.6千米/小時(shí)，騎車人速度為10.8千米/小時(shí)，如果有一列火車從他們背后開過來，它通過行人用了22秒，通過騎車人用26秒，問這列火車的車身長為多少米? (

11、河北省競賽題)162001年亞洲鐵人三項(xiàng)賽在徐州市風(fēng)光秀麗的云龍湖畔舉行比賽程序是：運(yùn)動(dòng)員先同時(shí)下水游泳1.5千米到第一換項(xiàng)點(diǎn)，在第一換項(xiàng)點(diǎn)整理服裝后，接著騎自行車40千米到第二換項(xiàng)點(diǎn)，再跑步10千米到終點(diǎn)下表是2001年亞洲鐵人三項(xiàng)賽女子組(19歲以下)三名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的成績(游泳成績即游泳所用時(shí)間，其他類推，表內(nèi)時(shí)間單位為秒)運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼游泳成績第一換項(xiàng)點(diǎn)所用時(shí)間自行車成績第二換項(xiàng)點(diǎn)所用時(shí)間長跑成績1911997754927403220194150311056865736521951354745351443195(1)填空(精確到0.01) 第191號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是 米秒； 第

12、194號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是 米秒； 第195號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是 米秒；(2)如果運(yùn)動(dòng)員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191號(hào)運(yùn)動(dòng)員會(huì)追上195號(hào)或194號(hào)嗎?如果會(huì)，那么追上時(shí)離第一換項(xiàng)點(diǎn)有多少米(精確到001)?如果不會(huì)，為什么? （3）如果運(yùn)動(dòng)員長跑也是勻速的，那么在長跑中途中這三名運(yùn)動(dòng)員有可能某人追上摸某人嗎？為什么？17某出租汽車停車站已停有6輛出租汽車第一輛出租車出發(fā)后，每隔4分鐘就有一輛出租汽車開出，在第一輛汽車開出2分鐘后，有一輛出租汽車進(jìn)站，以后每隔6分鐘就有一輛出租汽車回站，回站的出租汽車，在原有的出租汽車依次開出之后又依次每隔4分鐘開出一輛問：第一輛出租汽車開出后，經(jīng)過最少多少時(shí)間，車站不能正點(diǎn)發(fā)