1、四邊形綜合題1在ABC中，AB=AC，點F是BC延長線上一點，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與點A在BC的同側，連接BE，點G是BE的中點，連接AG、DG（1）如圖，當BAC=DCF=90時，直接寫出AG與DG的位置和數(shù)量關系；（2）如圖，當BAC=DCF=60時，試探究AG與DG的位置和數(shù)量關系，（3）當BAC=DCF=時，直接寫出AG與DG的數(shù)量關系2如圖，在菱形ABCD中，M，N分別是邊AB，BC的中點，MPAB交邊CD于點P，連接NM，NP（1）若B=60，這時點P與點C重合，則NMP=度；（2）求證：NM=NP；（3）當NPC為等腰三角形時，求B的度數(shù)3菱形ABCD中，兩

2、條對角線AC，BD相交于點O，MON+BCD=180，MON繞點O旋轉，射線OM交邊BC于點E，射線ON交邊DC于點F，連接EF（1）如圖1，當ABC=90時，OEF的形狀是；（2）如圖2，當ABC=60時，請判斷OEF的形狀，并說明理由；（3）在（1）的條件下，將MON的頂點移到AO的中點O處，MON繞點O旋轉，仍滿足MON+BCD=180，射線OM交直線BC于點E，射線ON交直線CD于點F，當BC=4，且=時，直接寫出線段CE的長4如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，（1）求證：四邊形AECF為平行

3、四邊形；（2）若AEP是等邊三角形，連結BP，求證：APBEPC；（3）若矩形ABCD的邊AB=6，BC=4，求CPF的面積5如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），連接AP，過點B作BQAP交CD于點Q，將BQC沿BQ所在的直線對折得到BQC，延長QC交BA的延長線于點M（1）試探究AP與BQ的數(shù)量關系，并證明你的結論；（2）當AB=3，BP=2PC，求QM的長；（3）當BP=m，PC=n時，求AM的長6如圖，菱形ABCD中，點P是CD的中點，BCD=60，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點（1）求證：ADPECP；（2）若BP=n

4、PK，試求出n的值；（3）作BM丄AE于點M，作KN丄AE于點N，連結MO、NO，如圖2所示，請證明MON是等腰三角形，并直接寫出MON的度數(shù)7在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在RtPMN中，MPN=90（1）如圖1，若點P與點O重合且PMAD、PNAB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系；（2）將圖1中的RtPMN繞點O順時針旋轉角度（045）如圖2，在旋轉過程中（1）中的結論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；如圖2，在旋轉過程中，當DOM=15時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；如圖3，旋轉后，若RtPMN的頂點P

5、在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關系，并給出證明；當BD=mBP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系8在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移ADP，使點D移動到點C，得到BCQ，過點Q作QHBD于H，連接AH，PH（1）若點P在線段CD上，如圖1依題意補全圖1；判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；（2）若點P在線段CD的延長線上，且AHQ=152，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路（可以不寫出計算結果）9如圖，QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，QPN=，將QP

6、N繞點P旋轉，旋轉過程中QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）（1）如圖，當=90時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關系是；（2）如圖，將圖中的正方形ABCD改為ADC=120的菱形，其他條件不變，當=60時，（1）中的結論變?yōu)镈E+DF=AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉過程中QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關系，直接寫出結論，不用加以證明10如圖，點P是正方形ABCD內的一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉90，得到線段CQ，連接BP，DQ（1）如圖a，

7、求證：BCPDCQ；（2）如圖，延長BP交直線DQ于點E如圖b，求證：BEDQ；如圖c，若BCP為等邊三角形，判斷DEP的形狀，并說明理由11已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EFBD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F(xiàn)；當直線EF停止運動時，點P也停止運動連接PF，設運動時間為t（s）（0t8）解答下列問題：（1）當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？（2）設四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)

8、關系式；（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時P，E兩點間的距離；若不存在，請說明理由12已知菱形ABCD的邊長為1，ADC=60，等邊AEF兩邊分別交DC、CB于點E、F（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊AEF的外心；（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊AEF的外心為P 猜想驗證：如圖2，猜想AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；拓展運用：如圖3，當E、F分別是邊DC、CB的中點時，過點P任作一直線，分別交DA邊于點M，BC邊于點G

9、，DC邊的延長線于點N，請你直接寫出的值13已知：在四邊形ABCD中，ADBC，BAC=D，點E、F分別在BC、CD上，且AEF=ACD（1）如圖1，若AB=BC=AC，求證：AE=EF；（2）如圖2，若AB=BC，（1）中的結論是否仍然成立？證明你的結論；（3）如圖3，若AB=kBC，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出AE與EF之間的數(shù)量關系，并證明14正方形ABCD的邊長為4cm，點E在邊AB上，將線段AE繞點E順時針旋轉（090）得線段EF，以EF為邊在EF右側作正方形EFGH；（1）如圖，分別連接線段AF、FH、AH，AH交EF于點I；求證FAH的度數(shù)是一個常

10、數(shù)；求證：2AE2=AHIH（2）如圖，若=60，點E為AB的中點，在直線AG上是否存在一點J，使EBJ的周長最?。咳舸嬖?，求出EBJ的最小周長；若不存在，說明理由（3）如圖，若=45，點E從A出發(fā)，按1cm/s的速度沿AB方向運動，直至點C落在GH上停止運動，設點E的運動時間為t（t0），正方形EFGH與正方形ABCD重疊部分的面積為S，請用含t的代數(shù)式表示S15請你認真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題（1）初步探究：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD邊AB、AD上，DECF于點P，小芳看到該圖后，發(fā)現(xiàn)DE=CF，這是因為EDA和FCD都是EDC的余角，就會由ASA判定得出ADE

11、DCF（2）類比發(fā)現(xiàn)：小芳進一步思考，如果四邊形ABCD是矩形，如圖（2），且DECF于點P，她發(fā)現(xiàn)，請你替她完成證明；（3）拓展延伸：如圖（3），若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當B與EPC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論16如圖1，在矩形ABCD中，點E為矩形的邊CD上任意一點，點P為線段AE的中點，連接BP并延長交邊AD于點F，點M為邊CD上一點，連接FM，且DMF=ABF（1）若AD=2，DE=1，求AP的長；（2）求證：PB=PF+FM；（3）若矩形ABCD改為ABCD，如圖2，（2）中的結論成立嗎？若成立，請證明；不成立，說明理由17在菱形ABCD和正三角形BGF中，

12、ABC=60，P是DF的中點，連接PG、PC（1）如圖1，當點G在BC邊上時，猜想PG與PC的關系，并證明（提示：延長GP交CD于點E）（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC、PG還滿足（1）中的結論嗎？寫出你的猜想，并給與證明；（3）如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的關系，直接寫出你猜想18問題情境：小彬、小穎和小明對一道教學問題進行研究已知，如圖1，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是線段OC上一點，過點A作BE的垂線，交線段OB于點G，垂足為點F，易知：OG=OE變式探究：分析完圖1之后，小彬和小穎分別對此進行了研究，并提出了下面兩個問題

13、，請回答：（1）小彬：如圖2，將圖1中的點E改為線段OC延長線上的一點，過點A作BE 垂線，交OB的延長線于點G，垂足為點F求證：OG=OE（2）小穎：如圖3，將圖中的“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”，且ABC=60，其余條件不變，試求的值拓展延伸：（3）小明解決完上述問題后，又提出了如下問題：如圖4，將圖3中的“ABC=60”改為“ABC=”，并且點E，G分別在OC，OB的延長線上，其余條件不變，直接用含“”的式子表示的值19已知矩形ABCD，AB=4，BD=2現(xiàn)有另一個與矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比為2：1最初矩形EFGH的GH邊放置在BCD的平分線處（如圖1），現(xiàn)將矩形EF

14、GH 沿著FG作一條直線l，再連接AH、BH、DH、BE，設BC與EH的交點為M，CD與 GH的交點為N（若沒有交點則不計），回答下列問題（1）如圖1，當矩形ABCD矩形EFGH都不動時，求出矩形ABCD與矩形EFGH重合部分三角形的面積（2）如圖2，現(xiàn)矩形ABCD不動，矩形EFGH沿直線l開始出發(fā)，以1m/s的速度移動設移動時間為t，矩形ABCD與矩形EFGH重合部分的面積為S，求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出相應的取值范圍，并且求出當t為多少時，S為最大值？（3）如圖3，矩形ABCD仍然不動，矩形EFGH運動一段時間后停止在某一個點，并且此時CEH為等腰三角形，這時，在AHC中，AH=HC

15、成立嗎？請說明理由，并求出此時S和t的值20在菱形ABCD中，A=60，以D為頂點作等邊三角形DEF，連接EC，點N、P分別為EC、BC的中點，連接NP（1）如圖1，若點E在DP上，EF與CD交于點M，連接MN，CE=3，求MN的長；（2）如圖2，若M為EF中點，求證：MN=PN；（3）如圖3，若四邊形ABCD為平行四邊形，且A=DBC60，以D為頂點作三角形DEF，滿足DE=DF且EDF=ABD，M、N、P仍分別為EF、EC、BC的中點，請?zhí)骄緼BD與MNP的和是否為一個定值，并證明你的結論21已知矩形ABCD的一條邊AD=8，E是BC邊上的一點，將矩形ABCD沿折痕AE折疊，使得頂點B落在

16、CD邊上的點P處，PC=4（如圖1）（1）求AB的長；（2）擦去折痕AE，連結PB，設M是線段PA的一個動點（點M與點P、A不重合）N是AB沿長線上的一個動點，并且滿足PM=BN過點M作MHPB，垂足為H，連結MN交PB于點F（如圖2）若M是PA的中點，求MH的長；試問當點M、N在移動過程中，線段FH的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段FH的長度22如圖1，ABCD中，AEBC于E，AE=AD，EGAB于G，延長GE、DC交于點F，連接AF（1）若BE=2EC，AB=，求AD的長；（2）求證：EG=BG+FC；（3）如圖2，若AF=5，EF=2，點M是線段AG上的一個動點，連

17、接ME，將GME沿ME翻折得GME，連接DG，試求當DG取得最小值時GM的長23如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，CAB的平分線分別交BD，BC于點E，F(xiàn)，作BHAF于點H，分別交AC，CD于點G，P，連接GE，GF（1）求證：OAEOBG；（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由；（3）試求：的值（結果保留根號）24在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，將COD繞點O按逆時針方向旋轉得到C1OD1，旋轉角為（090），連接AC1、BD1，AC1與BD1交于點P（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形求證：AOC1BOD1請直接寫出AC1 與BD1的

18、位置關系（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，設AC1=kBD1判斷AC1與BD1的位置關系，說明理由，并求出k的值（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=5，BD=10，連接DD1，設AC1=kBD1請直接寫出k的值和AC12+（kDD1）2的值25已知，如圖1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF（1）如圖2，當四邊形EFGH為正方形時，求CF的長和FCG的面積；（2）如圖1，設AE=x，三角形FCG的面積=y，求與x之間的函數(shù)關系式與y的最大值；（3）當CGF是直角三

19、角形時，求x和y值26如圖，點E是矩形ABCD的邊BC的中點，連接DE交AC于點F（1）如圖，求證：AF=2CF；（2）如圖，作DGAC于G，試探究：當AB與AD滿足什么關系時，使得AG=CF成立？并證明你的結論；（3）如圖，以DE為斜邊在矩形ABCD內部作等腰RtDEM，交對角線BD于N，連接AM，若AB=AD，請直接寫出的值27數(shù)學課上，張老師出示了問題1：如圖1，四邊形ABCD是正方形，BC=2，對角線交點記作O，點E是邊BC延長線上一點聯(lián)結OE交CD邊于F，設CE=x，CF=y，求y關于x的函數(shù)解析式及其定義域（1）經(jīng)過思考，小明認為可以通過添加輔助線過點O作OMBC，垂足為M求解你認

20、為這個想法可行嗎？請寫出問題1的答案及相應的推導過程；（2）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=2”改為“四邊形ABCD是平行四邊形，BC=3，CD=2，”其余條件不變（如圖2），請直接寫出條件改變后的函數(shù)解析式；（3）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=2”進一步改為：“四邊形ABCD是梯形，ADBC，BC=4，CD=3，AD=2”其余條件不變（如圖3），請你寫出條件再次改變后y關于x的函數(shù)解析式以及相應的推導過程28如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的兩點，若EF=BE+DF（1）求證：EAF=45；（2）作EFC的平分線FG交AE的延長線于

21、G，連接CG，如圖2求證：BCCF=CG；（3）若F是DC的中點，AB=4，如圖3，求EG的長29已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DECF則DECDCFAD（填“”或“=”或“”）；（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當B與EGC滿足什么關系時，使得DECD=CFAD成立？并證明你的結論；（3）如圖3，若BA=BC=3，DA=DC=4，BAD=90，DECF則的值為30如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形ABE點F是

22、對角線BD上一動點（點F不與點B、D重合），將線段AF繞點A順時針方向旋轉60得到線段AM，連接FM（1）求AO的長；（2）如圖2，當點F在線段BO上，且點M，F(xiàn)，C三點在同一條直線上時，求證：ACM=30；（3）連接EM，若AEM的面積為40，請畫出圖形，并直接寫出AFM的周長答案1在ABC中，AB=AC，點F是BC延長線上一點，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與點A在BC的同側，連接BE，點G是BE的中點，連接AG、DG（1）如圖，當BAC=DCF=90時，直接寫出AG與DG的位置和數(shù)量關系；（2）如圖，當BAC=DCF=60時，試探究AG與DG的位置和數(shù)量關系，（3）當BAC=

23、DCF=時，直接寫出AG與DG的數(shù)量關系【分析】（1）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得BGHEGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，進而求得HAD=90，即可求得AGGD，AG=GD；（2）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得BGHEGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，進而求得HAD是等邊三角形，即可證得AGGD，AG=DG；（3）延長DG與BC交于H，連接AH、AD，通過證得BGHEGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后證得A

24、BHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，進而求得HAD是等腰三角形，即可證得DG=AGtan2如圖，在菱形ABCD中，M，N分別是邊AB，BC的中點，MPAB交邊CD于點P，連接NM，NP（1）若B=60，這時點P與點C重合，則NMP=30度；（2）求證：NM=NP；（3）當NPC為等腰三角形時，求B的度數(shù)【分析】（1）根據(jù)直角三角形的中線等于斜邊上的一半，即可得解；（2）延長MN交DC的延長線于點E，證明MNBENC，進而得解；（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC兩種情況進行討論即可若PN=PC，則PNC=NCP=2x，在PNC中，2x+2x+x=180，解得：x

25、=36，B=PNC+NPC=2x+x=363=108，若PC=NC，則PNC=NPC=x，在PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，B=PNC+NPC=x+x=45+45=903菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，MON+BCD=180，MON繞點O旋轉，射線OM交邊BC于點E，射線ON交邊DC于點F，連接EF（1）如圖1，當ABC=90時，OEF的形狀是等腰直角三角形；（2）如圖2，當ABC=60時，請判斷OEF的形狀，并說明理由；（3）在（1）的條件下，將MON的頂點移到AO的中點O處，MON繞點O旋轉，仍滿足MON+BCD=180，射線OM交直線BC于點E，射線ON交

26、直線CD于點F，當BC=4，且= 時，直接寫出線段CE的長【分析】（1）先求得四邊形ABCD是正方形，然后根據(jù)正方形的性質可得EBO=FCO=45，OB=OC，再根據(jù)同角的余角相等可得BOE=COF，然后利用“角邊角”證明BOE和COF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；（2）過O點作OGBC于G，作OHCD于H，根據(jù)菱形的性質可得CA平分BCD，ABC+BCD=180，求得OG=OH，BCD=18060=120，從而求得GOH=EOF=60，再根據(jù)等量減等量可得EOG=FOH，然后利用“角邊角”證明EOG和FOH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；（3）過O點作OGBC于G，作OHC

27、D于H，先求得四邊形OGCH是正方形，從而求得GC=OG=3，GOH=90，然后利用“角邊角”證明EOG和FOH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證得OEF是等腰直角三角形，根據(jù)已知求得等腰直角三角形的直角邊OE的長，然后根據(jù)勾股定理求得EG，即可求得CE的長4如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（2）若AEP是等邊三角形，連結BP，求證：APBEPC；（3）若矩形ABCD的邊AB=6，BC=4，求CPF的面積【分析】（1）由折疊的性質得到BE=PE，EC與PB垂

28、直，根據(jù)E為AB中點，得到AE=EB=PE，利用三角形內一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形為直角三角形，得到APB為90，進而得到AF與EC平行，再由AE與FC平行，利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；（2）根據(jù)三角形AEP為等邊三角形，得到三條邊相等，三內角相等，再由折疊的性質及鄰補角定義得到一對角相等，根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得證；（3）過P作PMCD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的長，利用面積法求出BQ的長，根據(jù)BP=2BQ求出BP的長，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的長，根據(jù)AFAP求出PF的長，由PM與AD平

29、行，得到三角形PMF與三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的長，再由FC=AE=3，求出三角形CPF面積即可5如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），連接AP，過點B作BQAP交CD于點Q，將BQC沿BQ所在的直線對折得到BQC，延長QC交BA的延長線于點M（1）試探究AP與BQ的數(shù)量關系，并證明你的結論；（2）當AB=3，BP=2PC，求QM的長；（3）當BP=m，PC=n時，求AM的長【分析】（1）要證AP=BQ，只需證PBAQCB即可；（2）過點Q作QHAB于H，如圖易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后運用勾股定理可求得AP（即BQ）=，BH=2易得

30、DCAB，從而有CQB=QBA由折疊可得CQB=CQB，即可得到QBA=CQB，即可得到MQ=MB設QM=x，則有MB=x，MH=x2在RtMHQ中運用勾股定理就可解決問題；（3）過點Q作QHAB于H，如圖，同（2）的方法求出QM的長，就可得到AM的長6如圖，菱形ABCD中，點P是CD的中點，BCD=60，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點（1）求證：ADPECP；（2）若BP=nPK，試求出n的值；（3）作BM丄AE于點M，作KN丄AE于點N，連結MO、NO，如圖2所示，請證明MON是等腰三角形，并直接寫出MON的度數(shù)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質得到AD

31、BC，根據(jù)平行線的性質得到對應角相等，根據(jù)全等三角形的判定定理證明結論；（2）作PICE交DE于I，根據(jù)點P是CD的中點證明CE=2PI，BE=4PI，根據(jù)相似三角形的性質證明結論；（3）作OGAE于G，根據(jù)平行線等分線段定理得到MG=NG，又OGMN，證明MON是等腰三角形，根據(jù)直角三角形的性質和銳角三角函數(shù)求出MON的度數(shù)7在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在RtPMN中，MPN=90（1）如圖1，若點P與點O重合且PMAD、PNAB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系；（2）將圖1中的RtPMN繞點O順時針旋轉角度（045）如圖2，在旋轉過程中（1）中

32、的結論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；如圖2，在旋轉過程中，當DOM=15時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；如圖3，旋轉后，若RtPMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關系，并給出證明；當BD=mBP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系【分析】（1）根據(jù)正方形的性質和角平分線的性質解答即可；（2）根據(jù)正方形的性質和旋轉的性質證明FOAEOD，得到答案；作OGAB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；過點P作HPBD交AB于點H，根據(jù)相似三角形的判定和性質求出PE與PF的數(shù)量關系，根

33、據(jù)解答結果總結規(guī)律得到當BD=mBP時，PE與PF的數(shù)量關系8在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移ADP，使點D移動到點C，得到BCQ，過點Q作QHBD于H，連接AH，PH（1）若點P在線段CD上，如圖1依題意補全圖1；判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；（2）若點P在線段CD的延長線上，且AHQ=152，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路（可以不寫出計算結果）【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；連接CH，先根據(jù)正方形的性質得出DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出HDPHQC，故PH=CH，HPC=HCP，由正方

34、形的性質即可得出結論；（2）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，QHBD可知DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性質得出PD=CQ作HRPC于點R，由AHQ=152，可得出AHB及DAH的度數(shù)，設DP=x，則DR=HR=RQ，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論9如圖，QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，QPN=，將QPN繞點P旋轉，旋轉過程中QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）（1）如圖，當=90時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關系是DE+DF=AD；（2）如圖，將圖中的正方形ABCD改為ADC=120的菱形，其他條件不變，當=60時，（1）

35、中的結論變?yōu)镈E+DF=AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉過程中QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關系，直接寫出結論，不用加以證明【分析】（1）利用正方形的性質得出角與線段的關系，易證得APEDPF，可得出AE=DF，即可得出結論DE+DF=AD，（2）取AD的中點M，連接PM，利用菱形的性質，可得出MDP是等邊三角形，易證MPEFPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，（3）當點E落在AD上時，DE+DF=AD，當點E落在AD的延長線上時，DFDE=AD10如圖，點P是正方形ABC

36、D內的一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉90，得到線段CQ，連接BP，DQ（1）如圖a，求證：BCPDCQ；（2）如圖，延長BP交直線DQ于點E如圖b，求證：BEDQ；如圖c，若BCP為等邊三角形，判斷DEP的形狀，并說明理由【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質證明BCP=DCQ，得到BCPDCQ；（2）根據(jù)全等的性質和對頂角相等即可得到答案；根據(jù)等邊三角形的性質和旋轉的性質求出EPD=45，EDP=45，判斷DEP的形狀11已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發(fā)，沿

37、DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EFBD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F(xiàn)；當直線EF停止運動時，點P也停止運動連接PF，設運動時間為t（s）（0t8）解答下列問題：（1）當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？（2）設四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時P，E兩點間的距離；若不存在，請說明理由【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD在RtAOB中，運用勾股定理求出AB=10再由DFQDCO得出=求出DF由AP=DF求出t（2）過點

38、C作CGAB于點G，由S菱形ABCD=ABCG=ACBD，求出CG據(jù)S梯形APFD=（AP+DF）CGSEFD=EFQD得出y與t之間的函數(shù)關系式；（3）過點C作CGAB于點G，由S菱形ABCD=ABCG，求出CG，由S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由PBNABO，求得PN，BN，據(jù)線段關系求出EM，PM再由勾股定理求出PE12已知菱形ABCD的邊長為1，ADC=60，等邊AEF兩邊分別交DC、CB于點E、F（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊AEF的外心；（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上

39、移動，記等邊AEF的外心為P 猜想驗證：如圖2，猜想AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；拓展運用：如圖3，當E、F分別是邊DC、CB的中點時，過點P任作一直線，分別交DA邊于點M，BC邊于點G，DC邊的延長線于點N，請你直接寫出的值【分析】（1）連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，得出ACBD，BD平分ADC，AD=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點，證得0E=OF=OA，則可得點O即為AEF的外心；（2）連接PE、PA，過點P分別作PICD于I，PJAD于J，求出IPJ的度數(shù)，又由點P是等邊AEF的外心，易證得PIEPJA，可得PI=PJ，即點P在ADC的平分線上，即點P落

40、在直線DB上；連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為AEF的外心設DM=x，DN=y（x0，yO），則CN=y1，先利用AAS證明GBPMDP，得出BG=DM=x，CG=1x，再由BCDA，得出NCGNDM，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出=，進而求出為定值213已知：在四邊形ABCD中，ADBC，BAC=D，點E、F分別在BC、CD上，且AEF=ACD（1）如圖1，若AB=BC=AC，求證：AE=EF；（2）如圖2，若AB=BC，（1）中的結論是否仍然成立？證明你的結論；（3）如圖3，若AB=kBC，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出AE與EF之間的數(shù)量關系，并

41、證明【分析】（1）中所給的是最特殊的一種情況，但對整個題來說，要從（1）中找到基本的解題思路，此題難的是構造全等三角形，從而證明線段相等雖然（1）中沒有要求步驟，但能正確的解出（1）可以給（2）和（3）定一個基調；（2）是將（1）中的等邊三角形變?yōu)榈妊切?，但起關鍵作用的條件沒變，任然可以仿照（1）中的方法去做；（3）中將三角形變?yōu)楦话愕娜切危停?）比較起來還是有兩個條件沒變，而利用這兩個條件能證明兩個三角形相似，從而利用相似的對應邊成比例得出結論14正方形ABCD的邊長為4cm，點E在邊AB上，將線段AE繞點E順時針旋轉（090）得線段EF，以EF為邊在EF右側作正方形EFGH；（

42、1）如圖，分別連接線段AF、FH、AH，AH交EF于點I；求證FAH的度數(shù)是一個常數(shù)；求證：2AE2=AHIH（2）如圖，若=60，點E為AB的中點，在直線AG上是否存在一點J，使EBJ的周長最??？若存在，求出EBJ的最小周長；若不存在，說明理由（3）如圖，若=45，點E從A出發(fā)，按1cm/s的速度沿AB方向運動，直至點C落在GH上停止運動，設點E的運動時間為t（t0），正方形EFGH與正方形ABCD重疊部分的面積為S，請用含t的代數(shù)式表示S【分析】（1）易證A、F、H在以點E為圓心，AE為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理可得FAH=FEH=45；由于FH=EF=AE，要證2AE2=AHIH，只需證

43、到FH2=AHIH，只需證到FHIAHF即可；（2）連接DE與直線AG交于點N，連接NB，如圖，易證AFGAEH，則有FAG=EAH，從而可得DAG=GAE由AD=AB可得點D與點B關于直線AG對稱，從有而ND=NB，從而可求得EN+BN+EB=2+2根據(jù)兩點之間線段最短可得：當點J運動到點N處，EBJ的周長最短，問題得以解決；（3）點E運動的過程中，依次出現(xiàn)圖a、圖b、圖c、圖d、圖e、圖f的情況，只需運用割補法分別求出圖a、圖c、圖e中S與t的關系式，運用方程思想求出圖b、圖d、圖f中對應t的值，就可解決問題15請你認真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題（1）初步探究：如圖（1），點E

44、、F分別在正方形ABCD邊AB、AD上，DECF于點P，小芳看到該圖后，發(fā)現(xiàn)DE=CF，這是因為EDA和FCD都是EDC的余角，就會由ASA判定得出ADEDCF（2）類比發(fā)現(xiàn)：小芳進一步思考，如果四邊形ABCD是矩形，如圖（2），且DECF于點P，她發(fā)現(xiàn)，請你替她完成證明；（3）拓展延伸：如圖（3），若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當B與EPC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論【分析】（2）根據(jù)A=ADC=90，DECF，證明ADE=DCF，得到ADEDCF，得到答案；（3）在AD的延長線上取點M，使CM=CF，證明ADEDCM，得到答案16如圖1，在矩形ABCD中，點E為矩形的邊

45、CD上任意一點，點P為線段AE的中點，連接BP并延長交邊AD于點F，點M為邊CD上一點，連接FM，且DMF=ABF（1）若AD=2，DE=1，求AP的長；（2）求證：PB=PF+FM；（3）若矩形ABCD改為ABCD，如圖2，（2）中的結論成立嗎？若成立，請證明；不成立，說明理由【分析】（1）由矩形的性質和勾股定理求出AE，即可得出AP的長；（2）延長BF、CD交于點N，由矩形的性質得出CNAB，得出N=PBA，NEP=BAP，由ASA證明NEPBAP，得出PB=PN，再證出FN=FM，即可得出結論；（3）延長BF、CD交于點N，由矩形的性質得出CNAB，得出N=PBA，NEP=BAP，由AS

46、A證明NEPBAP，得出PB=PN，再證出FN=FM，即可得出結論【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定等知識；本題綜合性強，難度較大，需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結論17在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60，P是DF的中點，連接PG、PC（1）如圖1，當點G在BC邊上時，猜想PG與PC的關系，并證明（提示：延長GP交CD于點E）（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC、PG還滿足（1）中的結論嗎？寫出你的猜想，并給與證明；（3）如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的關系，直接寫

47、出你猜想【分析】（1）延長GP交DC于點E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂線，在RtCPG中，PCG=60，即可得出PG=PC（2）延長GP交DA于點E，連接EC，GC，先證明DPEFPG，再證得CDECBG，利用在RtCPG中，PCG=60，即可得出PG=PC（3）延長GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，作FEDC，先證GFPHDP，再證得HDCGBC，在RtCPG中，PCG=60，即可得出PG=PC18問題情境：小彬、小穎和小明對一道教學問題進行研究已知，如圖1，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是線段OC上一點，過點A作

48、BE的垂線，交線段OB于點G，垂足為點F，易知：OG=OE變式探究：分析完圖1之后，小彬和小穎分別對此進行了研究，并提出了下面兩個問題，請回答：（1）小彬：如圖2，將圖1中的點E改為線段OC延長線上的一點，過點A作BE 垂線，交OB的延長線于點G，垂足為點F求證：OG=OE（2）小穎：如圖3，將圖中的“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”，且ABC=60，其余條件不變，試求的值拓展延伸：（3）小明解決完上述問題后，又提出了如下問題：如圖4，將圖3中的“ABC=60”改為“ABC=”，并且點E，G分別在OC，OB的延長線上，其余條件不變，直接用含“”的式子表示的值分析】（1）證明AOGBOE，根

49、據(jù)全等三角形的性質證明即可；（2）證明AOGBOE，再根據(jù)ABC=60求出的值，得到答案；（3）證明AOGBOE，再根據(jù)ABC=求出的值，得到答案19已知矩形ABCD，AB=4，BD=2現(xiàn)有另一個與矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比為2：1最初矩形EFGH的GH邊放置在BCD的平分線處（如圖1），現(xiàn)將矩形EFGH 沿著FG作一條直線l，再連接AH、BH、DH、BE，設BC與EH的交點為M，CD與 GH的交點為N（若沒有交點則不計），回答下列問題（1）如圖1，當矩形ABCD矩形EFGH都不動時，求出矩形ABCD與矩形EFGH重合部分三角形的面積（2）如圖2，現(xiàn)矩形ABCD不動，矩形EFGH沿直

50、線l開始出發(fā)，以1m/s的速度移動設移動時間為t，矩形ABCD與矩形EFGH重合部分的面積為S，求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出相應的取值范圍，并且求出當t為多少時，S為最大值？（3）如圖3，矩形ABCD仍然不動，矩形EFGH運動一段時間后停止在某一個點，并且此時CEH為等腰三角形，這時，在AHC中，AH=HC成立嗎？請說明理由，并求出此時S和t的值【分析】（1）首先根據(jù)相似和矩形的性質，判斷出HMD為等腰直角三角形，然后再求出矩形ABCD與矩形EFGH重合部分三角形的面積即可；（2）作過點D作DTEN于點T，再根據(jù)矩形性質得出函數(shù)關系式，可求出最大值；（3）首先連接AE，交CH與點Q，連接H

51、D，則AC=CE=EH=2，所以ACEH是等腰梯形，進而判斷出AHC、BHD是等腰三角形，所以AH=HC成立；然后根據(jù)（2）求出的S關于t的函數(shù)關系式，求出此時S和t的值各是多少即可20在菱形ABCD中，A=60，以D為頂點作等邊三角形DEF，連接EC，點N、P分別為EC、BC的中點，連接NP（1）如圖1，若點E在DP上，EF與CD交于點M，連接MN，CE=3，求MN的長；（2）如圖2，若M為EF中點，求證：MN=PN；（3）如圖3，若四邊形ABCD為平行四邊形，且A=DBC60，以D為頂點作三角形DEF，滿足DE=DF且EDF=ABD，M、N、P仍分別為EF、EC、BC的中點，請?zhí)骄緼BD與

52、MNP的和是否為一個定值，并證明你的結論【分析】（1）首先根據(jù)四邊形ABCD是菱形，A=60，判斷出ABD、BCD是等邊三角形；然后判斷出DME=90，在RtCME中，根據(jù)N為EC的中點，求出MN的長是多少即可（2）首先連接BE、CF，根據(jù)三角形的中位線定理，判斷出MN=，PN=；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出BDECDF，即可判斷出CF=BE，所以MN=PN（3）ABD與MNP的和是一個定值，ABD+MNP=180首先連接BE、CF，延長CE交BD于點G，根據(jù)三角形的中位線定理，判斷出MNE=FCE=FCD+DCEM，ENP=BEG；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出BDECDF，即可判斷出DBE=DCF；最后根據(jù)三角形的外角的性質，以及三角形的內角和定理，判斷出ABD+MNP=180即可21已知矩形ABCD的一條邊AD=8，E是BC