1、第三章,數(shù)列、推理與證明,等差數(shù)列,第18講,等差數(shù)列的基本量運(yùn)算,【例1】 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1030，a2050. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若Sn242，求n的值,點(diǎn)評,將等差數(shù)列問題化歸為基本量的關(guān)系來解決是通性通法一般地，5個(gè)基本量a1、an、d、n、Sn中，知道其中三個(gè)，可以求另外兩個(gè)，即“知三求二”,【變式練習(xí)1】 已知等差數(shù)列an中，a3a716，a4a60，求an的前n項(xiàng)和Sn.,等差數(shù)列的判定與證明,點(diǎn)評,判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法有定義法、等差中項(xiàng)法，或者從通項(xiàng)公式、求和公式的形式上判斷證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法有定義法和等差中項(xiàng)法,【解析

2、】(1)由Sn14an2，得Sn4an12 (n2)， 兩式相減得an14an4an1， 即an12an2(an2an1)(n2)， 所以bn2bn1(n2) 又由S2a1a24a12，解得a25. 所以b1a22a1523，所以bn32n1(nN*),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)的綜合應(yīng)用,【例3】 數(shù)列an中，a18，a42，且滿足an22an1an0(nN*) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Sn|a1|a2|an|，求Sn.,點(diǎn)評,本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)的絕對值的和若數(shù)列an滿足an22an1an0(nN*)，則它是等差數(shù)列 等差數(shù)列an中，求Sn|a1|a2|an|

3、，分兩種情形：,【變式練習(xí)3】 已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn12nn2.求下列兩式的值： (1)|a1|a2|a3|a10|； (2)|a1|a2|a3|an|.,(1)|a1|a2|a3|a10| a1a2a3a6(a7a8a9a10) 2S6S102(12662)(1210102)52. (2)當(dāng)1n6，nN*時(shí)，|a1|a2|a3|an|a1a2a3an12nn2； 當(dāng)n7，nN*時(shí) |a1|a2|a3|an| a1a2a3a6(a7a8an) 2S6Sn 2(12662)(12nn2) n212n72.,用函數(shù)方法求等差數(shù)列的最值問題,點(diǎn)評,本題考查的內(nèi)容有兩方面：一是等差數(shù)列

4、及其前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用；二是求數(shù)列中項(xiàng)的最值本題解法采用的是以函數(shù)單調(diào)性的方法判斷數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而求得數(shù)列中項(xiàng)的最大、最小值一般地，如果函數(shù)yf(x)在某一區(qū)間是減函數(shù)，則數(shù)列在由此區(qū)間內(nèi)所有的正整數(shù)組成的集合上是遞減數(shù)列,【變式練習(xí)4】 已知等差數(shù)列an中，a33，S33. (1)試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an； (2)在直角坐標(biāo)系中，畫出anf(n)的圖象； (3)當(dāng)n等于多少時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn取得最小值？并求最小值； (4)求證：S6，S12S6，S18S12成等差數(shù)列,1.已知an為等差數(shù)列，且a72a41，a30，則公差d _,2.等差數(shù)列an前n項(xiàng)的和為Sn，若S1995，則a3

5、a17 _,10,4.已知f(x)a1xa2x2a3x3anxn，且a1，a2，a3，an組成等差數(shù)列(n為正偶數(shù))又f(1)n2，f(1)n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.,本節(jié)內(nèi)容主要考查數(shù)列的運(yùn)算、推理及轉(zhuǎn)化的能力與思想考題一般從三個(gè)方面進(jìn)行考查：一是應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式計(jì)算某些量和解決一些實(shí)際問題；二是給出一些條件求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，或?qū)⑦f推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題間接地求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；三是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.,1等差數(shù)列常用的兩個(gè)性質(zhì)： (1)等差數(shù)列an中，對任意的m，n，p，qN*，若mnpq，則amanapa

6、q.特別地，若mn2p，則aman2ap. (2)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式可以寫成anam(nm)d(n，mN*) 2已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，往往設(shè)此三數(shù)為ad，a，ad可以方便地解決問題,3證明一個(gè)數(shù)列an是等差數(shù)列有兩種方法： (1)用定義證明：即求得an1an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù) (2)利用等差中項(xiàng)：即證明2an1anan2(nN*),4注意幾個(gè)說法： (1)“anpnq(nN*，p，qR)”是“an為等差數(shù)列”的充要條件； (2)“SnAn2Bn(nN*，A，BR)”是“an為等差數(shù)列”的充要條件； (3)“數(shù)列an的通項(xiàng)公式是一次函數(shù)”是“an為等差數(shù)列”的充分不必要條件； (4)“數(shù)列

7、an的前n項(xiàng)和是二次函數(shù)”是“an為等差數(shù)列”的既不充分又不必要條件,1(2010揚(yáng)州一模卷)等差數(shù)列an中，若a1a24，a9a1036，則S10_.,答案：100 選題感悟：運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列問題，是一個(gè)基礎(chǔ)考點(diǎn)，是數(shù)列高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一,2(2010南京市三模卷)正整數(shù)按下列方法分組：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，記第n組中各數(shù)之和為An；由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組：03,13，13,23，23,33，33,43，記第n組中后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差為Bn，則AnBn_.,【解析】由題意可知，An(n1)21(n1)22(n1)23(n1)2(2n1)2n33n23n1，Bnn3(n1)33n23n1， 所以AnBn2n3.,答案：2n3 選題感悟：這是一道等差數(shù)列創(chuàng)新題，是數(shù)列部分的重要題型由分組找規(guī)律，第n1組最后一個(gè)數(shù)是(n1)2，第n組后面有連續(xù)2n1個(gè)正整數(shù)利用等差數(shù)列