1、3.1.3空間向量的數(shù)量積運算,1.空間向量的夾角 已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作 ,則AOB叫做向量a,b的夾角,記作,向量夾角的取值范圍是0,.如果= ,那么向量a,b垂直,記作ab.,做一做1在正四面體ABCD中, 的夾角等于 () A.30B.60C.150D.120 解析： 答案：D,2.空間向量的數(shù)量積 (1)已知兩個非零向量a,b,則|a|b|cos叫做a,b的數(shù)量積,記作ab. (2)數(shù)量積的運算律: (a)b=(ab);ab=ba(交換律); a(b+c)=ab+ac(分配律). (3)數(shù)量積的運算性質(zhì): 若a,b是非零向量,則abab=0. 若a與b同向,則a

2、b=|a|b|; 若a與b反向,則ab=-|a|b|. 特別地,aa=|a|2或|a|= 若為a,b的夾角,則cos = |ab|a|b|.,做一做2正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長等于2,則 等于(),解析：,答案：C,做一做3已知空間向量a,b的夾角為120,且|a|=1,|b|=2,則a(2a-3b)=. 解析：a(2a-3b)=2|a|2-3ab=212-312 =5. 答案：5,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”. (1)若a,b是空間非零向量,則=-. () (2)若a,b,c是空間向量,則(ab)c=a(bc). () (3)若a,b,

3、c是空間向量,且ab=ac,則b=c. () (4)若ab=|a|b|,則空間向量a,b是共線向量. () (5)若a,b是空間非零向量,則(ab)2=a2b2. (),探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一求空間向量的數(shù)量積 【例1】 已知三棱錐O-ABC的各個側面都是等邊三角形,且邊長為2,點M,N,P分別為AB,BC,CA的中點.試求: 分析：求出每個向量的模及其夾角,然后按照數(shù)量積的定義計算求解,必要時,對向量進行分解.,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四

4、,規(guī)范解答,變式訓練1如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F分別是AB,AD的中點,計算,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究二利用數(shù)量積求夾角 【例2】 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求向量 的夾角的大小. 分析：求兩個向量的夾角,可以把其中一個向量平移到與另一個向量的起點重合,從而轉化為求平面角的大小;也可以用兩個向量 的數(shù)量積定義ab=|a|b|cos ,求出cos = 的值,然后確定的大小.,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,

5、探究三,探究四,規(guī)范解答,變式訓練2(1)若非零空間向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)b=0,則a與b的夾角為() A.30B.60C.120D.150 (2)已知空間四面體OABC各邊及對角線長都等于2,E,F分別為AB,OC的中點,則向量 所成角的余弦值為. 解析：(1)設a與b的夾角為,則由(2a+b)b=0,得2|a|b|cos +|b|2=0.又因為|a|=|b|,所以cos =- ,所以=120.,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究三利用數(shù)量積證明垂直問題 【例3】 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1

6、的中點,O是底面ABCD的中心.求證:B1O平面PAC. 分析：要證B1O平面PAC,只須證明B1OAC與B1OPA,即只需證明 均用正方體的棱所在的向量線性表示,再求數(shù)量積證明.,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,變式訓練3導學號03290059已知空間四邊形OABC中,M,N,P,Q分別為BC,AC,OA,OB的中點,若AB=OC,求證:PMQN.,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究四利用數(shù)量積求距離或長度 【例4】 在正四面體ABCD中,棱長為a.M,N分別是棱AB,CD上的點,且|M

7、B|=2|AM|,|CN|= |ND|,求|MN|. 分析：轉化為求向量 的模,然后將向量 分解,再根據(jù)數(shù)量積運算性質(zhì)進行求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,變式訓練4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為2,E,F分別是AB,A1C1的中點,則EF的長是(),答案：C,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,利用向量的數(shù)量積求兩異面直線所成角 典例導學號03290060如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,AB=BC=1,AA1= ,求異面直線BA1與AC所成角的余弦值.,探

8、究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,【答題模板】 第1步:確定兩兩垂直的向量,把待求直線看作向量,用相關向量表示. 第2步:計算直線BA1與AC對應向量的數(shù)量積. 第3步:利用數(shù)量積公式計算兩個向量夾角的余弦值. 第4步:將兩向量夾角的余弦值轉化為兩直線夾角的余弦值.,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,探究一,探究二,探究三,探究四,規(guī)范解答,變式訓練在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BA1與直線AC所成的角為.,答案：60,1 2 3 4 5,1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各對向量夾角為45的是(),解析：四個選項中兩個向量的夾角依次是45,135,90,180,故選A. 答案：A,1 2 3 4 5,2.在棱長為1的正四面體ABCD中,E,F分別是BC,AD的中點,則 等于(),答案：D,1 2 3 4 5,3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,則AC1與CE的位置關系是() A.重合B.平行C.垂直D.無法確定,答案：C,1 2 3