1、.坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換xx(0)設(shè)點(diǎn) P(x,y) 是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn), 在變換 :g的作用下 , 點(diǎn) P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn) P ( x , y ) , 稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸ygy(0)縮變換 , 簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換 .2. 極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示, 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O , 叫做極點(diǎn) , 自極點(diǎn) O 引一條射線(xiàn) Ox , 叫做極軸 ; 再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位 , 一個(gè)角度單位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆時(shí)針?lè)较?, 這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系 .注 : 極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景, 而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩

2、條數(shù)軸為幾何背景; 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可 . 但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)：設(shè) M是平面內(nèi)一點(diǎn) , 極點(diǎn) O 與點(diǎn) M的距離 |OM| 叫做點(diǎn) M的極徑 , 記為; 以極軸 Ox 為始邊 , 射線(xiàn) OM 為終邊的角xOM 叫做點(diǎn) M的極角 , 記為 . 有序數(shù)對(duì) ( , ) 叫做點(diǎn) M的極坐標(biāo) , 記作 M ( , ) .一般地 , 不作特殊說(shuō)明時(shí), 我們認(rèn)為0,可取任意實(shí)數(shù).特別地 , 當(dāng)點(diǎn) M 在極點(diǎn)時(shí) , 它的極坐標(biāo)為 (0,)( R). 和直角坐標(biāo)不同, 平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示.如果規(guī)定0,02, 那么除極

3、點(diǎn)外, 平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(,) 表示 ; 同時(shí) , 極坐標(biāo) (,) 表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1) 互化背景 : 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x 軸的正半軸作為極軸, 并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位, 如圖所示 :(2) 互化公式 : 設(shè) M 是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn), 它的直角坐標(biāo)是( x, y) , 極坐標(biāo)是 (,) (0 ), 于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn) M直角坐標(biāo) ( x, y)極坐標(biāo) (,)xcos2x2y2互化公式sintany ( x 0)yx在一般情況下 , 由 tan確定角時(shí) , 可根據(jù)點(diǎn) M 所在的象限最小正角 .4. 常見(jiàn)曲

4、線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.曲線(xiàn)圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn), 半徑r (02)為 r 的圓圓心為 (r ,0), 半徑2r cos()2為 r 的圓2圓 心 為 (r ,) , 半2r sin(0)2徑為 r 的圓(1)過(guò)極點(diǎn) , 傾斜角為R)或(R)(的直線(xiàn)(2)(0)和(0)過(guò)點(diǎn) (a,0) , 與極軸cosa()垂直的直線(xiàn)22.過(guò) 點(diǎn) (a, ), 與 極)2sina(0軸平行的直線(xiàn)注 : 由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一, 即 ( , ),( ,2),( ,),( ,), 都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo), 這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同 . 所以對(duì)于曲線(xiàn)上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式, 只要求至少有一個(gè)能滿(mǎn)

5、足極坐標(biāo)方程即可. 例如對(duì)于極坐標(biāo)方程, 點(diǎn) M (, ) 可以表示為44( ,2 )或 (4,2 )或 (-, 5 ) 等多種形式 , 其中 , 只有 (, ) 的極坐標(biāo)滿(mǎn)足方程.4444444二、參數(shù)方程1. 參數(shù)方程的概念一般地 , 在平面直角坐標(biāo)系中, 如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)xf (t )x, y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù) , 并且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值 , 由方程組所確定的yg (t )點(diǎn) M ( x, y) 都在這條曲線(xiàn)上 , 那么方程就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程, 聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫做參變數(shù) , 簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù) , 相對(duì)于參數(shù)方程而言, 直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做

6、普通方程 .2. 參數(shù)方程和普通方程的互化.(1) 曲線(xiàn)的參數(shù)方程和普通方程是曲線(xiàn)方程的不同形式, 一般地可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2) 如果知道變數(shù) x, y 中的一個(gè)與參數(shù)t 的關(guān)系 , 例如 xf (t ) , 把它代入普通方程, 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系xf (t)y g(t) , 那么就是曲線(xiàn)yg(t)的參數(shù)方程 , 在參數(shù)方程與普通方程的互化中, 必須使 x, y 的取值范圍保持一致 .注： 普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線(xiàn)的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示

7、，設(shè)圓O 的半徑為 r ，點(diǎn) M 從初始位置 M 0 出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫AO 上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè) M ( x, y) ，則xr cos( 為參數(shù) ) 。yr sin這就是圓心在原點(diǎn)O ，半徑為 r 的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是 OM 0轉(zhuǎn)過(guò)的角度。圓心為 (a, b) ，半徑為 r 的圓的普通方程是 ( x a) 2( yb) 2r 2 ，xar cos它的參數(shù)方程為：yb( 為參數(shù) ) 。r sin4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為中心，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21(a bxa cos為參數(shù)，其中參數(shù)稱(chēng)為離心角；a2b20), 其參數(shù)方程為b sin()y.y2x21

8、(a b 0), 其參數(shù)方程為xb cos焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2b2y( 為參數(shù) ), 其中參數(shù)仍為離心角， 通常規(guī)定參數(shù)的范圍為 aa sin0 ， 2 ）。注： 橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開(kāi)來(lái)，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在0 到 2 的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)0時(shí)，相應(yīng)地也有 0，在其他象限內(nèi)類(lèi)似。225雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程以 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) O 為 中 心 ， 焦 點(diǎn) 在 x 軸 上 的 雙 曲 線(xiàn) 的 標(biāo) 準(zhǔn) 議 程 為 x2y2xa sec1(a 0, b為參數(shù) ) ，

9、 其 中0), 其 參 數(shù) 方 程 為(a2b2yb tan0,2 )且,3 .22焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2x2其參數(shù)方程為xb cot為參數(shù)，其中且a2b21(a 0, b 0),y(0,2)e.a csc以上參數(shù)都是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的離心角。6拋物線(xiàn)的參數(shù)方程2x2 pt2以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)為參數(shù)y2 px( p 0) 的參數(shù)方程為2 pt(t).y7直線(xiàn)的參數(shù)方程.經(jīng)過(guò)點(diǎn) M 0 ( x0 , y0 ) ，傾斜角為() 的直線(xiàn) l 的普通方程是 yy0 tan (xx0 ), 而過(guò) M 0 (x0 , y0 ) ，傾斜角為的直線(xiàn) l 的參數(shù)方程為2xx0t cosyy0(t為參數(shù) ) 。t sinM 0 ( x0 , y0 ) ，傾斜角為xx0t cos注：直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn) l 的參數(shù)方程為y0(t為參數(shù) ) ，其中 t 表示直線(xiàn) l 上以定yt sinuuuuuur點(diǎn) M 0 為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M ( x, y)