1、.（一）函數(shù)的概念1函數(shù)的概念：設(shè) a、 b 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f ，使對于集合a 中的任意一個數(shù) x，在集合 b 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱 f： ab 為從集合 a 到集合 b 的一個 函數(shù)（ function ）記作：y=f(x)， x a其中， x 叫做自變量 ，x 的取值范圍 a 叫做函數(shù)的 定義域（ domain ）；與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做 函數(shù)值 ，函數(shù)值的集合 f(x)| x a 叫做函數(shù)的 值域（ range）注意：1 “ y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；2函數(shù)符號“ y=f(x)”中的

2、f(x) 表示與 x 對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f 乘 x2 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域3區(qū)間的概念（ 1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（ 2）無窮區(qū)間；（ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示4一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域討論（二）映射一般地，設(shè)a、 b 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f ，使對于集合a中的任意一個元素x，在集合 b 中都有唯一確定的元素y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f ：ab為從集合 a 到集合 b 的一個 映射（ mapping ）記作“ f： ab”說明：（ 1）這兩個集合有先后順序， a 到 b 的射與 b 到 a 的映射是截然不

3、同的其中 f 表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹觯?2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。1 例題分析：下列哪些對應(yīng)是從集合a 到集合 b 的映射？（ 1） a=p | p 是數(shù)軸上的點 ， b=r，對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)；（ 2） a= p | p 是平面直角體系中的點， b=（ x， y）| x r， yr，對應(yīng)關(guān)系f：平面直角體系中的點與它的坐標(biāo)對應(yīng)；（ 3） a=三角形 ， b=x | x 是圓 ，對應(yīng)關(guān)系 f：每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；（ 4） a=x | x 是新華中學(xué)的班級 ， b=x | x 是新

4、華中學(xué)的學(xué)生 ，對應(yīng)關(guān)系 f：每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生思考：將（ 3）中的對應(yīng)關(guān)系f 改為：每一個圓都對應(yīng)它的內(nèi)接三角形；（4）中的對應(yīng)關(guān)系f改為：每一個學(xué)生都對應(yīng)他的班級，那么對應(yīng)f： ba 是從集合b 到集合 a 的映射嗎？（三） 函數(shù)的表示法常用的函數(shù)表示法： （ 1）解析法；（ 2）圖象法；（ 3）列表法三、典例解析.1、定義域問題例 1 求下列函數(shù)的定義域： f ( x)1； f ( x)3x2 ；f ( x)x 11x2x21解： x-2=0，即 x=2 時，分式無意義，1x2而 x 2 時，分式有意義，這個函數(shù)的定義域是x | x2.x2 3x+20，即 x- 2 時，根式3x

5、2 無意義，32而 3x 20 ，即 x2 才有意義，時，根式 3x32這個函數(shù)的定義域是 x |x.31當(dāng) x1 0且2x 0 ，即 x1 且 x2 時，根式x1 和分式同時有2x意義，這個函數(shù)的定義域是 x |x1 且 x2另解：要使函數(shù)有意義，必須：x10x12x0x2例 2 求下列函數(shù)的定義域： f ( x)4 x21 f (x)11111x yx2133 3x 7解：要使函數(shù)有意義，必須：x23x4 f ( x)x12( x1) 0 f ( x)xx4x21即：3x3函數(shù) f ( x)4x21 的定義域為：3,3 要使函數(shù)有意義，必須：x 23x 4 0x 4或 x1x12 0x3且

6、 x1x 3或 3x1或x4定義域為： x| x3或 3x1或x4.x01x0要使函數(shù)有意義，必須：10x1xx1110211x函數(shù)的定義域為： x | x1r且x 0, 1,2要使函數(shù)有意義，必須：x10x1xx0x0定義域為：x | x 1或 1x0x230xr要使函數(shù)有意義，必須：x73x70377定義域為： x | x7即 x333例 3若函數(shù) yax 2ax1的定義域是 r，求實數(shù) a 的取值范圍a解：定義域是r, ax 2ax10恒成立，aa0 等價于2100a2a4aa例 4若函數(shù) yf (x) 的定義域為 1， 1，求函數(shù) y1)1f (xf ( x ) 的定義域44解：要使函

7、數(shù)有意義，必須：1x115x333444x1x113x544444函數(shù) yf ( x1 )f (x1) 的定義域為：x |3x34444例 5 已知 f(x)的定義域為 1，1，求 f(2x1)的定義域。分析：法則 f 要求自變量在 1，1內(nèi)取值，則法則作用在 2x1 上必也要求 2x1 在 1，1內(nèi)取值，即 12x11,解出 x 的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域；或者從位置上思考 f(2x1)中 2x 1 與 f(x)中的 x 位置相同，范圍也應(yīng)一樣， 12x11,解出 x 的取值范圍就.是復(fù)合函數(shù)的定義域。（注意： f(x)中的 x 與 f(2x1)中的 x 不是同一個 x，即它們意義不同。

8、）解：f(x)的定義域為 1，1，12x11，解之 0x1，f(2x1)的定義域為 0，1。例 6 已知已知 f(x)的定義域為 1，1，求 f(x 2)的定義域。答案： 1x21x211x1練習(xí)： 設(shè) f ( x) 的定義域是 3， 2，求函數(shù)f (x2) 的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須：3x 22得：1x 22 x 0 0x 220 x 6 4 2 函數(shù) f (x 2) 的定域義為：x | 0x642例 7 已知 f(2x1)的定義域為 0，1，求 f(x)的定義域因為 2x1 是 r 上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此由 2x1， x0,1求得的值域 1，1是 f(x)的定義域。已知 f(3x 1

9、)的定義域為 1，2），求 f(2x+1)的定義域。5 ,2 ）2（提示：定義域是自變量x 的取值范圍）練習(xí)：已知 f(x2)的定義域為 1，1，求 f(x)的定義域若 yfx 的定義域是0,2 ，則函數(shù)fx1f2x1 的定義域是（）1,1111,112, 0,222已知函數(shù)f x1x 的定義域為，函數(shù)y f fx的定義域為，則1x（） a u b b ba a i b b a b2.值域問題利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）.一次函數(shù) y=ax+b(a0)的定義域為 r，值域為 r；反比例函數(shù) yk (k0)的定義域為 x|x0，值域為 y|y0；x二次函數(shù)f( )ax2bx(0) 的定義域為

10、 r，xc a當(dāng) a0 時，值域為 y | y(4acb 2 ) ；當(dāng) a0， y1= ( x122 ，x)24xx3112f x12 2y=x= x+ x1當(dāng) x0 時，則當(dāng) xb 時，其最小值 ymin(4ac b 2 ) ；2a4a當(dāng) a0）時或最大值（ a0）時，再比較f (a), f (b) 的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?.若 x0a,b, 則 a,b 是在 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較f (a), f (b) 的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲?；當(dāng)頂點橫坐標(biāo)是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進(jìn)行討論 .練

11、習(xí)： 1、求函數(shù)y=3+(23x)的值域解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知(2 3x) 0，故 3+(2 3x) 3。函數(shù)的值域為3,.2、求函數(shù)y x 22x5, x 0,5 的值域解：對稱軸x10,5.x 1時 , ymin 4x 5時 , ymax 20 值域為 4,20例 3 求函數(shù) y=4x 1-3x(x 1/3)的值域。解：法一：（單調(diào)性法） 設(shè) f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x 1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而 y=f(x)+g(x)= 4x 1-3x在定義域為x 1/3 上也為增函數(shù)，而且y f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為y|y 4/3

12、。小結(jié) ：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+ 4-x的值域。 (答案： y|y 3 )法二：換元法例 4求函數(shù) yx 21x 的值域解：（換元法）設(shè) 1xt ，則 yt22t 1 (t 0)對稱軸 t10,，且開口向下當(dāng) t 1時 ，ymax 2值域為,2點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y= x-1 x 的值域。（答案： y|y 3/4例 6

13、求 y x 3 x 1的值域4, x1解法一：（圖象法） 可化為y22x ,1x 3 如圖，4,x3觀察得值域y4y4解法二：（零點法） 畫數(shù)軸利用 ab 表示實數(shù) a, b在數(shù)軸上的距離 可得。-1x03練習(xí)： yxx1 的值域呢？（ 1,）（三種方法均可）例 7求函數(shù) y9 x3x2(x0,1 )的值域.解：（換元法） 設(shè) 3xt，則1t3原函數(shù)可化為y t 2t2 ,對稱軸 t11,32t1 時 , ymin2;t3時 , ymax 8值域為2,8x22 x1的值域例 8 求函數(shù) y3t解：（換元法） 令 tx 22x( x1)21 ，則 y1(t 1)3由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值

14、域為1 ,3例 9求函數(shù) y 2 x (x0)的值域解：（圖象法） 如圖，值域為0,1例 10x1求函數(shù) y的值域x2解法一：（逆求法） 解出 x , x12 y 觀察得 原函數(shù)值域為y y11y解法二 ：（分離常數(shù)法） 由 yx2313，可得值域y y1x21axbx 2小結(jié)： 已知分式函數(shù) y(c0) ，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量cxd的要求）內(nèi)，值域為y ya；如果是條件定義域（對自變量有附加條件），cadab采用部分分式法將原函數(shù)化為yc( adbc) ，用復(fù)合函數(shù)法來ccx d求值域。例 113 x求函數(shù) y的值域3x1解法一：（逆求法）3x1yy00y 1原函數(shù)的值域為0

15、,1小結(jié)：如果自變量或含有自變量的整體有確定的范圍，可采用逆求法。1解法二 ：（換元法） 設(shè) 3x1tt，.1y1001.則 y3x1 11111 1 t13x13xtt10110y 1t原函數(shù)的值域為01練習(xí)： y= 2x1 ；（ y (-1，1)） .22x1t例 13函數(shù) yx21x2的值域1解法一：（逆求法）x21y01y10 11y原函數(shù)的值域為1,1解法二：（換元法） 設(shè) x21t ，則22t 1 01y 12t原函數(shù)值域即得例 13求函數(shù) y5的值域2x24x3解令 2x24x 3t ，則 y5tt2( x1)21 10y5所以，值域 y | 0y 5練習(xí) ：1 、 yx219(

16、 x0) ；x2解： x0， yx219(x1 ) 211 ， y11.x 2x另外，此題利用基本不等式解更簡捷：yx219 2 911 (或利用對勾函數(shù)圖x2像法 )2 、 y2x254 x30y5.t.3 、求函數(shù)的值域 y x2 x ； y 24x x2解：令 u2x0,則 x2u 2,原式可化為 y2u 2u(u1) 29,24 u 0， y9-9，函數(shù)的值域是（，.44解：令 t=4x x20得 0x 4在此區(qū)間內(nèi)(4x x2) m ax =4， (4xx 2) m in=0函數(shù) y24xx 2 的值域是 y| 0y24、求函數(shù) y=|x+1|+|x-2|的值域 .2x1( x1)解

17、法 1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：y3( 1x2) ，畫出它的圖象（下圖） ，2x1( x2)由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法 2：函數(shù) y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點x 到兩定點 -1，2 的距離之和，易見y的最小值是3，函數(shù)的值域是3， +.如圖x -1o12-1ox 12-1o12 x5、求函數(shù)y2x4 1x 的值域解：設(shè) t1x則 t0x=1t 2代入得 yf (t )2 (1t 2 )4t2t 24t22(t1)24 t0 y43.分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內(nèi),有不同的對應(yīng)法則的函數(shù),它是一個函數(shù) ,卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個函數(shù);它的定義域

18、是各段函數(shù)定義域的并集,其值域也是各段函數(shù)值域的并集.由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知.識的程度的考察上有較好的作用,時常在高考試題中“閃亮”登場。1求分段函數(shù)的定義域和值域2 x2x 1,0;y例 1求函數(shù) f (x)21xx(0, 2);的定義域、33x2,);2值域 .1-1o12【解析】x-1作 圖 ,利 用 “ 數(shù) 形 結(jié)合 ” 易 知 f ( x) 的 定 義 域 為1,) ,值域為 (1,3 .2求分段函數(shù)的函數(shù)值| x1|2,(| x |1)例 2已知函數(shù) f ( x)12 ,(| x |求 f f (21 ) .1x1)【解析】因為 f ( 21 ) | 211|

19、 223 ,所以 f f ( 12 ) f ( 23 )1324 .1(2 )133求分段函數(shù)的最值4x3(x0)例 3求函數(shù) f ( x)x3(0x 1)的最大值 .x5(x1)【解析】當(dāng)x0 時 ,f max ( x)f (0)3 ,當(dāng) 0x 1 時 , fmax (x) f (1) 4 ,當(dāng) x1 時 ,x 5154,綜上有 fmax ( x)4 .4求分段函數(shù)的解析式例 4在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù) yf ( x) 和 yg( x) 的圖象關(guān)于直線yx 對稱,現(xiàn)將 yg(x) 的圖象沿 x 軸向左平移2 個單位 ,再沿 y 軸向上平移1 個單位 ,所得.的圖象是由兩條線段組成的折線（

20、如圖所示）,則函數(shù)f (x) 的表達(dá)式為（）a.f ( x)2x2(1x0)x2(0x2)y2b.f ( x)2x2(1x0)3x2(0x2)222x2(1x2)1c.f ( x)xx1(2x4)-1-2o 12d.f ( x)2 x6(1x2)x3(2x4)2【解析】當(dāng) x2,0 時 ,y12x 1, 將其圖象沿 x軸向右平移2個單位 , 再沿 y 軸向下平 移 1個 單 位 ,得 解 析 式 為 y21 (x 2)1 112 x 1 ,所 以f ( x) 2x2 ( x 1,0) ,當(dāng) x 0,1時 ,y2x1,將其圖象沿 x 軸向右平移 2個單位 ,再沿 y 軸向下平移1 個單位 ,得解析式 y2( x2) 11 2 x 4,所以1綜上可得 f ( x)2x